2025-2026学年甘肃省多校高一上学期第一次月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省多校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题：“，”，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】易知“，”的否定为“，”故选：D.2.已知集合，，则的子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】B【解析】因为，，所以，所以的子集个数为．故选：B．3.不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】不等式化为：，解得，所以不等式的解集是.故选：B.4.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，阴影部分表示的集合为或．故选：D．5.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，当且仅当时取等，所以，所以“”能推出“”，取，满足，但，“”不能推出“”,故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为不等式对恒成立，所以，解得．故选：C．7.关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（）A.2 B.8 C.10 D.2或10【答案】A【解析】设，是的两个实数根，则，，故，解得或．当时，符合题意；当时，，不符合题意；综上，．故选：A．8.已知，且，当取最小值时，的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，当时，取得最大值，最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，则下列说法正确的是（）A.，都有B.，使得C.D.【答案】ACD【解析】对A与B：因为，所以，都有，故A正确，B错误；对C：因为，所以，所以，故C正确；对D：因为，所以，所以，故D正确．故选：ACD.10.已知，则下列说法正确是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】对于A，当时，满足，但，故A错误；对于B,若，则，故，B正确；对于C，若，满足，但，故C错误；对于D，若，又，则，D正确.故选：BD.11.下列说法中正确的为（）A.已知，则“”是“”的必要不充分条件B.若，则的最小值为2C.若正实数满足，则的最小值为6D.若，且，则的最大值为7【答案】ACD【解析】对于A选项，中，中，所以，不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误；对于C选项，因为，所以则，当且仅当时，即时，取“=”，故C正确；对于D选项，设，则，则，其中，当且仅当时，等号成立，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则取值范围为______．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，，所以，即的取值范围为．故答案为：.13.集合，，若，则由实数组成的集合为____【答案】.【解析】集合，，且，或或，．则实数组成的集合为.故答案为：.14.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______.【答案】5【解析】中，，所以方程有两个不同的实数根，即，若，则或，当时，方程，只有实数根，所以且，得；当时，方程，时，方程有个不等的实数根，分别为和，0不是方程的实数根，若是方程的实数根，则，若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件，若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件，若不是方程的实数根，所以方程有个相等的实数根，即，得，当时，，满足条件，当时，，满足条件，所以，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知全集,集合,集合为小于6的质数.（1）求;（2）求.解：（1）由得或,所以.又,所以.（2）,所以.所以.16.已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由可得：，由可得：或，所以或，.（2），因为,①，则，解得：，②，则或，解得：.故实数的取值范围为：．17.已知，，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值.解：（1）因为，，由可得.根据基本不等式有：因此，令（），则不等式变为，即，因式分解得.因为，所以，即，进而.当且仅当且时取等号，解得，.所以的最小值为.（2）由，两边同时除以（，，故），得..再根据基本不等式有：，当且仅当且时取等号，解得，.的最小值为.18.已知集合．（1）若，求；（2）若，求的取值范围；（3）若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．解：（1）由题意知或，若，则，所以或；（2）当，即时，，此时，符合题意；当，即时，因为，所以，解得，综上，的取值范围是；（3），又“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，因为，由（2）知，所以，解得，所以的取值范围是．19.如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）．（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；（2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．解：（1）因为，，所以，又，所以，即，所以，所以，解得或，即x的取值范围是；（2）由（1）知，当且仅当时等号成立．故当DG长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米．甘肃省多校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题：“，”，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】易知“，”的否定为“，”故选：D.2.已知集合，，则的子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】B【解析】因为，，所以，所以的子集个数为．故选：B．3.不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】不等式化为：，解得，所以不等式的解集是.故选：B.4.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，阴影部分表示的集合为或．故选：D．5.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，当且仅当时取等，所以，所以“”能推出“”，取，满足，但，“”不能推出“”,故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为不等式对恒成立，所以，解得．故选：C．7.关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（）A.2 B.8 C.10 D.2或10【答案】A【解析】设，是的两个实数根，则，，故，解得或．当时，符合题意；当时，，不符合题意；综上，．故选：A．8.已知，且，当取最小值时，的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，当时，取得最大值，最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，则下列说法正确的是（）A.，都有B.，使得C.D.【答案】ACD【解析】对A与B：因为，所以，都有，故A正确，B错误；对C：因为，所以，所以，故C正确；对D：因为，所以，所以，故D正确．故选：ACD.10.已知，则下列说法正确是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】对于A，当时，满足，但，故A错误；对于B,若，则，故，B正确；对于C，若，满足，但，故C错误；对于D，若，又，则，D正确.故选：BD.11.下列说法中正确的为（）A.已知，则“”是“”的必要不充分条件B.若，则的最小值为2C.若正实数满足，则的最小值为6D.若，且，则的最大值为7【答案】ACD【解析】对于A选项，中，中，所以，不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误；对于C选项，因为，所以则，当且仅当时，即时，取“=”，故C正确；对于D选项，设，则，则，其中，当且仅当时，等号成立，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则取值范围为______．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，，所以，即的取值范围为．故答案为：.13.集合，，若，则由实数组成的集合为____【答案】.【解析】集合，，且，或或，．则实数组成的集合为.故答案为：.14.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______.【答案】5【解析】中，，所以方程有两个不同的实数根，即，若，则或，当时，方程，只有实数根，所以且，得；当时，方程，时，方程有个不等的实数根，分别为和，0不是方程的实数根，若是方程的实数根，则，若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件，若，则方程整理为，方程的实数根，分别为，和，，满足条件，若不是方程的实数根，所以方程有个相等的实数根，即，得，当时，，满足条件，当时，，满足条件，所以，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知全集,集合,集合为小于6的质数.（1）求;（2）求.解：（1）由得或,所以.又,所以.（2）,所以.所以.16.已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由可得：，由可得：或，所以或，.（2），因为,①，则，解得：，②，则或，解得：.故实数的取值范围为：．17.已知，，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值.解：（1）因为，，由可得.根据基本不等式有：因此，令（），则不等式变为，即，因式分解得.因为，所以，即，进而.当且仅当且时取等号，解得，.所以的最小值为.（2）由，两边同时除以（，，故），得..再根据基本不等式有：，当且仅当且时取等号，解得，.的最小值为.18.已知集合．（1）若，求；（2）若，求的取值范围；（3）若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．解：（1）由题意知或，若，则，所以或；（2）当，即时，，此时，符合题意；当，即时，因为，所以，解得，综上，的取值范围是；（3），又“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，因为，