课时3较复杂的因式分解问题课件人教版数学八年级上册-1

17.2用公式法分解因式课时3较复杂的因式分解问题第十七章因式分解理解因式分解各个方法之间的联系和区别.能综合运用提公因式法与公式法、多次运用公式法对多项式进行因式分解.了解十字相乘法对二次三项式的因式分解.问题1：我们学习了哪些因式分解的方法？提公因式法，公式法

问题2：当我们遇到较复杂的因式分解时该如何进行计算？知识点1较复杂的因式分解问题例5分解因式:(1)

x4-y4；

2

a3b-ab分析：在(1)中，

x4-y4可以写成(x²)²-(y²)²的形式，可用公式法分解因式；解(1)原式=(x2)2−(y2)2还能继续分解因式吗？=(x2+y2)(x2−y2)=(x2+y2)(x+y)(x−y)．例5分解因式:(1)

x4-y4；

2

a3b-ab分析：对于2

a3b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.(2)原式=ab(a2−1)

=ab(a+1)(a−1)．注：对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.1.因式分解的步骤：(1)先提取公因式；(2)再用公式法因式分解.2.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止

．不能直接使用公式时可适当变形整理例6把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；

(2)−ax2+2a2x−a3.分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中有公因式-a，提出负号添括号，记得变号.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2；(2)原式=−a(x2−2ax+a2)

=−a(x−a)2.分解因式：

(1)x2y−4y

；

(2)a3−2a2+a

；(3)ax2+2a2x+a3

；

解(1)原式=y(x2−4)

=y(x+2)(x−2)．(2)原式=a(a2−2a+1)=a(a−1)2．(3)原式=a(x2+2ax+a2)

=a(x+a)2．知识点2十字相乘法(1)(𝑥+3)(𝑥+4)

(2)(𝑥-3)(𝑥-4)(3)(𝑥+5)(𝑥+6)

(4)(𝑥-5)(𝑥-6)1.计算下列各式解：原式=𝑥2+4𝑥+3𝑥+12=𝑥2+7𝑥+12原式=𝑥2-4𝑥-3𝑥+12=𝑥2-7𝑥+12原式=𝑥2+5𝑥+6𝑥+30=𝑥2+11𝑥+30原式=𝑥2-5𝑥-6𝑥+30=𝑥2-11𝑥+30思考：你有什么快速计算类似的多项式的方法吗?(𝑥+3)(𝑥+4)=𝑥2+7𝑥+12(𝑥-3)(𝑥-4)=𝑥2-7𝑥+12【观察】这两个等式有什么规律？

十字相乘法分解因式的步骤：(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；(2)分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；(3)交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.一次项系数1

1

当遇到这种二次三项式时我们可以运用这种十字相乘法来分解因式对二次三项式𝑥²+𝑝𝑥+𝑞进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1.基本思路:拆常数项，凑一次项.2.常数项拆为两数之积，一次项系数是常数项的拆为数的和.即:𝑞=𝑎𝑏𝑝=𝑎+𝑏3.符号规律:当𝑞>0时，𝑎、𝑏同号，且𝑎、𝑏的符号与𝑝的符号相同;

当𝑞<0时，𝑎、𝑏异号，且绝对值较大的因数与𝑝的符号相同.

分解因式：(1)x2-3x+2；

(2)x2+3x-10.

分析：(1)1-11-21×(-2)+1×(-1)=-3(2)1-2151×5+1×(-2)=3解：(1)x2-3x+2=(x-1)(x-2)；(2)x2+3x-10=(x-2)(x+5).方法特点分解结果易错点提公因式法多项式各项含公因式单项式×多项式漏提整体公因式（如(a+b)）平方差公式两项、异号、均为平方(和)(差)与完全平方混淆（如x²-4≠(x-2)²）完全平方公式三项、首尾平方、中间±2倍积(二项式)²中间项系数验证错误十字相乘法二次三项式x2+(p+q)x+pq(x+p)(x+q)未优先提公因式导致拆分复杂因式分解的方法因式分解x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解十字相乘法一提二套三查因式分解的一般步骤1.下列因式分解正确的是（）A．𝑎3-𝑎=𝑎2（𝑎-1）

B．𝑎𝑏2-c2=（𝑎𝑏+c）（𝑎𝑏-c）C．𝑎2𝑏-𝑎𝑏2=𝑎（𝑎+𝑏）（𝑎-𝑏）

D．𝑎3+6𝑎2𝑏+9𝑎𝑏2=𝑎（𝑎+3𝑏）22.多项式15𝑎x2-15𝑎与10x2+20x+10的公因式是(

)A．5(x+1)B．5𝑎(x+1)C．5𝑎(x-1)D．5(x-1)DA3.分解因式：

(1)𝑏4-𝑏2-12

(2)2x2-6x+41-4131×3+1×(-4)=-1解：原式=(𝑏2-4)(𝑏2+3)=(𝑏+2)(𝑏-2)(𝑏2+3).1-21-11×(-1)+1×(-2)=5原式=2(x2-3x+2)

=2(x-1)(x-2)．4.先因式分解，再求值：（9x2+12xy+4y2）-（2x-3y）2，其中x=1，y=-1．解：（9x