湖南省永州市道县敦颐高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省永州市道县敦颐高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数，则复数（其中表示的共轭复数）表示的点在（

）上A．x轴 B．y轴 C． D．2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．4．可化为（

）A． B． C． D．5．在等差数列中，，，（

）A． B． C． D．6．的展开式中的常数项是（

）A．第673项 B．第674项C．第675项 D．第676项7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．二、多选题9．定义在R上的函数满足，当时，，则满足（

）A． B．是偶函数C．在上有最大值 D．的解集为10．函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（

）A．函数s=f（t）的定义域为[-3，+∞）B．函数s=f（t）的值域为（0，5]C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应D．当时，11．已知函数，则下列说法不正确的是（

）A．是非奇非偶函数 B．是增函数C．是周期函数 D．的值域是三、填空题12．已知正项等比数列的前n项和为且，则的最小值为.13．如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为.14．已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为．四、解答题15．如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积16．如图，已知平面．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的大小．17．如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.18．某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N(μ，σ2)．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：10.129.9710.019.9510.029.989.2110.0310.049.999.989.9710.019.9710.0310.11经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.9974，0．997416≈0.9592，19．设函数（）.（1）讨论函数的极值；（2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.《湖南省永州市道县敦颐高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CADCCDCCADBD题号11答案BC1．C【分析】结合复数的运算公式，化解复数，再结合复数的几何意义，即可求解.【详解】复数，所以对应的点在直线上.故选：C2．A【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域.【详解】函数有意义，等价于，解得，，故函数的定义域为.故选：A.3．D【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解.【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得，，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示：图中，，过点向作垂线，垂足为，则，所以圆台的高，则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：，故选：.4．C【分析】由逆用两角和的正弦公式求解即可.【详解】原式.故选：C【点睛】本题主要考查了逆用两角和的正弦公式化简，属于基础题.5．C【分析】由等差数列性质可知，，仍为等差数列，代入即可求解.【详解】由等差数列的性质可知，在等差数列中，，仍为等差数列，所以，所以．故选：C．6．D【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式的展开式为，令，解得，此时，所以二项式的展开式的常数项为第项.故选：D.7．C【分析】由分段函数在两个区间上的单调性分别求出的范围，再考虑由时左右函数值的大小关系得到的的范围，求其交集即得【详解】当时，,依题须使恒成立，则；当时，由在上递增，须使，即；又由解得.综上可得，的取值范围是.故选：C.8．C【分析】根据综合条件，结合双曲线定义，利用余弦定理计算即得.【详解】令双曲线的焦距为，依题意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以双曲线C的离心率为.

故选：C9．AD【分析】赋值法可以求出，，判断出AB选项；C利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而得到在上有最大值；D选项利用C选项中判断的函数的单调性进行解不等式，得到答案.【详解】定义在R上的函数满足，令得：，解得：，A正确；令得：，因为，所以，故是奇函数，B错误；任取，，且，则令，，代入得：，因为当时，，而，所以，故，即，从而在R上单调递减，在上有最大值为，C错误；由A选项得到，而在R上单调递减，故，解得，解集为，D正确.故选：AD10．BD【分析】由函数的定义域值域与单调性结合图象逐一判断即可求解【详解】对于A：由图象可知：函数s=f（t）在没有图象，故定义域不是[-3，+∞），故A错误；对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确；对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增，又当时，，则在上单调递增，故D正确；故选：BD11．BC【分析】画出分段函数的图象，由图象可分析奇偶性，单调性，周期性和值域，进而作出判定.【详解】画出分段函数的图象，如图所示.由图可知：可知函数为非奇非偶函数，故A正确；函数在的部分有增有减，不是单调函数，故B错误；函数在部分最小正周期为，但是,∴函数在定义域内不是周期函数，故C错误；函数的最小值为，函数没有最大值，部分值域为部分值域为,∴函数的值域是，故D正确.∴错误的是，故选：BC.12．24【分析】由等比数列的性质可得成等比数列，结合已知条件可得,利用基本不等式可求最小值.【详解】正项等比数列的前n项和为，则，由已知，可得，由等比数列的性质可得成等比数列，则，综上可得，当且仅当时等号成立.综上可得，的最小值为24.故答案为：2413．【分析】由题意建立直角坐标系，根据等腰梯形求边长，高，表示出点的坐标，再根据向量数量积的坐标公式以及三角函数性质，可得答案.【详解】如图，以为原点，建立直角坐标系.由题意，梯形的高长为，则.因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，.则其中，，故当时，.故答案为：14．【分析】作出图形，计算出的大小，可得出，利用余弦定理求出，然后利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可解得该双曲线离心率的值.【详解】如下图所示：设，由题意可得，，则，且，所以，，因为，则，由余弦定理可得，所以，，由双曲线的定义可得，即，故该双曲线的离心率为.故答案为：15．（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理化简即可．（2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面积，可得四边形的面积．【详解】解：（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，，，解得.在中，，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据和证明平面，即可证明；（Ⅱ）由题可得即为二面角的平面角，根据已知求解即可.【详解】（Ⅰ）平面，平面，，，，平面，平面，平面平面；（Ⅱ）由（1）得平面，平面，，，即为二面角的平面角，在直角三角形中，，则，，即二面角的大小为.17．（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，则直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，根据焦点弦公式，求出的值，即可得到抛物线方程.（2）假设满足条件的点P存在，设，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN关于x轴对称，所以，即可求出的值.当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.【详解】解：（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，，的方程为.由得.设，，则，∴，，∴抛物线C的方程为.（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），由得，，，.∵直线PM，PN关于x轴对称，∴，，.∴，∴时，此时.②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题.18．（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05.【解析】（1）由题设可知X～B(16,0.0026)，故可求P(X≥1)以及数学期望.（2）根据题设中已知的正态分布可新的均值（即μ的新估计值）和剩下数据的方差，从而可求σ的新估计值.【详解】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.9974，∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026)．P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408；X的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)，s≈0.20，得，.∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在之外，∴需要对当天的生产过程进行检查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后，剩下数据的平均数，可得μ的估计值为10.01.∵，剔除之外的数据9.21之后，剩下数据的方差为，∴σ的估计值为.【点睛】思路点睛：新旧均值与方差的关系，需结合已知的公式来转化，如此题中，知道均值，可以求诸样本数据之和，从而可计算剔除一个数据后的样本均值，又如知道方差，可以求出诸样本数据的平方和，从而可计算剔除一个数据后的诸样本数据的平方和，从而计算新的方程.19．（1）当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，此时最小值不满足题意；当时，由（1）得是函数在上的极小值点，分类讨论，即可求解.【详解】解：（1）.当时，，在R上单调递增；无极值当时，，解得，由，解得.函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增，∴函数在上的最小值为，即，矛盾.当时，由（1）得是函数在R上的极小值点.①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.②当即时，