2025-2026学年福建省泉州实验中学高二上学期9月月考数学试卷

2025-2026学年福建省泉州实验中学高二上学期9月月考数学试卷一、单选题(★★)1.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（）

A．A与B是对立事件B．B与C是对立事件C．A与C是互斥事件D．A与B是互斥事件(★★)2.如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（）

A．B．C．D．(★★)3.已知直线与直线平行，则的值为（）

A．3B．C．1或D．或3(★★)4.已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（）

A．B．C．D．(★★★)5.已知，，，若，，三向量共面，则（）

A．18B．C．D．6(★★★★)6.如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）

A．B．C．D．(★★★)7.已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（）

A．B．C．D．(★★★★)8.棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.已知A，B是随机事件，且，，则下列命题正确的有（）

A．A与B可能为互斥事件B．若，则A与B相互独立C．若，则D．若A与B相互独立，则(★★★)10.如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（）

A．B．四边形为矩形C．D．如果，那么点M在平面内(★★★)11.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（）

A．平面平面B．直线与所成角的余弦值为C．平面与平面夹角的余弦值为D．点到直线的距离的最小值为三、填空题(★★★)12.直线的倾斜角为___________.(★)13.袋中装有3个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，1个黑球，从中任取两个球，则取出的球颜色不相同的概率是______．(★★★★★)14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______.四、解答题(★★)15.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；(1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率．(2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．(★★★)16.如图所示，已知正四面体的棱长为1，记，(1)若点分别为和的中点，求间的距离.(2)（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值.(★★★★)17.甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场.(1)已知.（i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率；（ii）求甲队获得冠军的概率.(2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？(★★★★)18.如图，直四棱柱的所有棱长均为3，且，点是侧棱上靠近点的三等分点，点是线段上的动点（含端点）．(1)若以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立右手空间直角坐标系，请画出轴的位置，并证明；(2)将点与平面内任意一点的连线段，求这些线段长度的最小值；(3)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．(★★★★)19.在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形