专题 相似三角形中（双）A字型模型（3大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题相似三角形中（双）A字型模型（3大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册一、单选题1．如图，在中，，，若，则等于（

）A．4.5 B．3 C．3.5 D．4二、解答题2．如图，在中，，，，．(1)求的值；(2)求的长．三、填空题3．如图，，，，则的长．四、解答题4．如图，在中，，，D、E分别在、上，，．(1)求证：．(2)若，求的长五、单选题5．如图，在中，，高，矩形的边在线段上，点，分别在边，上，，求的长度为（

）A． B． C． D．六、解答题6．如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P．(1)求与的比值．(2)若，求的长．7．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且．(1)求证：平分；(2)求证：．8．如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，．(1)求的值；(2)求与的周长之比；(3)若的面积为4，求的面积．七、单选题9．如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（

）A． B． C． D．10．如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（

）A． B．6 C． D．811．在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？A． B． C．15 D． E．12．如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（

）A．B．与的面积比为C．与的周长比为D．连接，则与的面积比为八、填空题13．如图，，，，，，则．14．如图，在中，点D，E分别在边，上，且，若，则．15．如图，，，，，则．16．如图，，且，，，则的长是．九、解答题17．如图，在中，点分别是上的点，且，若，则的长是多少？18．已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度．19．有一块两条直角边、的长分别为30厘米和40厘米的的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形．甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）．20．如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？21．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求：(1)；(2)的长．22．如图，在中，，为上一点，连接交于点，．(1)求的值；(2)当时，求的长度．23．如图，在中，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动，此时直线，交于点E，记x秒时的长度为y．(1)求出y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)若（1）的图像与x轴交于点M，与y轴交于点N，求的面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号159101112答案BCCCAB1．B【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段．证明，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵∴故选：B．2．(1)(2)3【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.（1）由可知，则，将数据代入计算即可；（2）由（1）知，根据计算即可.【详解】（1）解：∵，，∴，，，，；（2）解：由（1）知，，∴．3．5【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案．【详解】解：，，∴相似比为，即，，，故答案为：5．4．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键．（1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似；（2）根据相似三角形对应边成比例求解即可．【详解】（1）解：，，，，，，，又，；（2）解：由（1）可知，，，，．5．C【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出，列出比例式进行求解即可．【详解】解：设交于点，∵矩形，∴，，∵为的高，∴，∴四边形为矩形，∴，∵，∴设，则：，，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴；∴；故选C．6．(1)(2)2【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．（1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得；（2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）解：∵为的重心，∴，∴，∵，∴，∴，即与的比值为．（2）解：∵是的一条中线，，∴，∵为的重心，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．7．(1)见解析(2)见解析【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．（1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明；（2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明．【详解】（1）证明：∵，，，∴，又∵=，∴，∴，∴平分．（2）∵，∴，∴．由（1）知，∴，∴．8．(1)；(2)；(3)．【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键．（1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果；（2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；（3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．【详解】（1）∵，∴，又∵分别是和的高，∴；（2）∵，∴；故与的周长之比为（3）∵，∴，∵，∴．故的面积为．9．C【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形中，，∴，∴，∵，，，∴，解得：，故选：．10．C【分析】由，推出，设，，在中，则有，可得，求出，的面积即可解决问题．【详解】解：四边形是正方形，，，，，∴，，设，，在中，则有，，，，，，故选：.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．11．A【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．，得出，求出；证明，得出，即可得出，求出结果即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：．故选：A．12．B【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D．【详解】解：，∴，又∵，∴，∴，故选项A错误；与的面积比为，周长比为，故选项B正确，选项C错误；连接，∵，∴与的面积比为，故选：B．13．9【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由，，求得，由，证明，得，进而可求得的值．【详解】解：∵，，，∴，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：9．14．15【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先得出，相似比为，进而得出，即可得出答案．【详解】∵，且，∴，相似比为，∴，∴．故答案为：15．15．5【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，再由得，即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案为：5．16．【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，特殊三角函数值等知识点的应用，解决此题的关键是合理的运用特殊三角函数值和正确的计算；先根据相似三角形得到角相等，再运用三角函数特殊值即可解决问题；【详解】解：∵，，∴，在中，，，∴，∴，在中，，，∴；故答案为：．17．6【分析】本题考查相似三角形的面积比与相似比，根据已知面积求出根据得，从而可得，再根据即可求解．【详解】∵，∵，∴，∴，∴，∵，∴，．18．6【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果．【详解】解：∵，，，，，．19．见解析【分析】在图中设正方形的边长为x，则，，由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的对应边成比例即可求出x的值；在图中首先由三角形的面积公式求出的长度，然后由相似三角形的判定定理得出，设，根据相似三角形的对应边成比例求出y的长度，比较出x，y的大小即可得出结论．【详解】解：在图中设正方形的边长为x，则，，，，，，即，解得，，，在图中，，，，，，，，设，则，解得，，，图方法符合要求．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生理论联系实际的能力．20．秒和2秒【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键．先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可．【详解】解：设经过秒钟与相似．已知点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．可得，．因为，所以．分两种情况讨论：情况一：当时，，将，，，代入，可得：，可得．解得；情况二：当时，．将，，，代入，可得：，可得，解得．因为点从点移动到点所需时间为，点从点移动到点所需时间为，而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意．综上所述：秒和2秒后和相似．21．(1)(2)【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．（1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案；（2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案．【详解】（1）解：，，，即；（2），，，，．22．(1)(2)15【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例：（1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论；（2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴．23．(1)，(2)18【