考研类试卷考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编11

［考研类试卷］考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编11

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O,若A的秩为3,则A相似于

2设二次型f(xi,X2,X3)在正交变换x=Py下的标准形为2yi2+y22-y32,其中P=(ei,

e?,ea),若Q=(ei,-e3,e2)tf(xi,X2,X3)在正交变换x=Qy下的标准形为()

(A)2yr-y22+y32o

222

(B)2yi+y2-y3o

222

(C)2yi-y2-y3o

(D)2yi2+y22+y32o

-2-i-nri00

-12-1,B=010

3设矩阵A=L-1-1200则A与B()

(A)合同，且相似。

(B)合同，但不相似。

(C)不合同，但相似。

(D)既不合同，也不相似。

-12-

4设A=L21」，则在实数域上与A合同的矩阵为

「-211r2一r

(A)。(B)

-1-2」L—12-

「211「1一2・

(C)。(D)

()L]2JL-21.

5设二次型f(X|,X2,X3)=a(x/+X22+X32)+2X1X2+2X2X3+2X1X3的正、负惯性指数分别

为1.2,则()

(A)a>lo

(B)a<—2O

(C)—2<a<1o

(D)a=l或a=—2。

二、填空题

6二次型f(xi,X2,X3)=(X1+X2)2+(X2・X3)2+(X3+X1)2的秩为o

7设二次型f(xi,X2,X3)=xTAx的秩为1,A中各行元素之和为3,则f在正交变换

x=Qy下的标准形为o

8二次型f(xi,X2,X3)=K】2-X22+2aXlX3+4x2X3的负惯性指数是1,则a的取值范围是

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

'02-3'1-20'

-13-3相似于矩阵B=060

9设矩阵A二_1-2a_031.。(I)求a,b的值；

(II)求可逆矩阵P,使piAP为对角矩阵。

o-1r

2-30

0

10已知矩阵A=L°°」。(I)求A"；(H)设三阶矩阵B=(ai,a21a3)满足

B2=BA,记Bi°°=(仇，p2,p3),将例，p2,由分别表示为ai,az,的线性组合。

11a]1-

1a1，P=1

11设矩阵1“卜2」。已知线性方程组Ax=p有解但不唯一，试

求：(I)a的值；(II)正交矩阵Q,使QrAQ为对角矩阵。

12设二次型f(xi,X2,X3)=xTAx=ax12+2x22-2x?2+2bxix?(b>0),其中二次型的矩阵A

的特征值之和为1,特征值之积为一12。(I)求a,b的值；(H)利用正交变换将

二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

13设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量ou=(l—，2,-l)T,

a2=(0,—1,1)丁是线性方程组Ax=0的两个解。(I)求A的特征值与特征向量；

(H)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A；(HI)求A及(A—2E),其中E

为三阶单位矩阵。

14设三阶实对称矩阵A的特征值入尸1,M=2,屹二-2,ai=(l,一1,1)1是A的

属于兀的一个特征向量。记B=A5—4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。(1)验证仍

是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(11)求矩阵人

0-14

-13a

15设A=14ao](正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为

1

须1,2,1)T,求a,Q。

1-11

000

16A为三阶实对称矩阵，A的秩为2,且L-lJJL1求A的所

有特征值与特征向量；(1【)求矩阵人。

■101■

01I

—10a

17已知A=L°。一J二次型f(xi,X2,X3)=”(ATA)x的秩为2。(I)求实数

a的值；(II)求正交变换x=Qy,将f化为标准形。

18设二次型f(xi,X2,

仇一

X3)=2(a।xi+a2X2+a3X3)2+(bix1+62x2+63x3(I)证明二次型f对应

的矩阵为2a0rl郎、([])若5p正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化

下的标准形为2y，+丫22。

19设二次型f(xi,X2,x3)=2x/-x22+ax32+2xix2-8xixa+2x2x3在正交变换x=Qy下的标

22

准形为Xiyi4-X2y2,求a的值及正交矩阵Qo

20设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n.Aij是A=(aij)nxn中元素aij的代数余子式(i.

身£A_

j=l,2,...n),二次型f(xi,X2,Xn)=iEI'kiXj。(I)记

w>1佻A

X,■1XIAI

X2.........Xn),把f(Xl,X2.........Xn)=iTXXiXjo写成矩阵形式，并证明二次

型f(x)的矩阵为A/；(II)二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由。

222

21设二次型f(xi,X2,X3)=axi+ax2+(a—1)X3+2XIX3—2x2x3o(I)求二次型f的

矩阵的所有特征值；(II)若二次型f的规范形为yJ+yz?,求a的值。

22设A为mxn实矩阵,E为n阶单位矩阵。已知矩阵BHE+ATA,试证：当，＞0

时，矩阵B为正定矩阵。

23设有n元实二次型f(X|,X2,...»Xn)=(X|+aiX2)2+(X2+a2X3)2+...+(Xn-l+an-

22

ixn)+(xn+anxi),其中ai(i=l,2....n)为实数。试问：当ai,ai,...»an满足条

件时，二次型f(Xl,X2....Xn)为正定二次型。

2

24设A为三阶实对称矩阵，且满足A+2A=OO已知A的秩r(A)=2o(I)求A的

全部特征值；(1【)当卜为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中