《概率论与数理统计》期中试卷

《概率论与数理统计》期中试卷

概率论与数理统计是一门重要的数学课程，它主要研究随机现象的概率分布和

统计规律。下面是一份概率论与数理统计的期中试卷及答案，供参考。

第一部分：选择题(共60分)

1.在一个班级中，有40%的学生喜欢阅读，30%的学生喜欢运动，20%的学生既

喜欢阅读又喜欢运动。求这个班级中既不喜欢阅读也不喜欢运动的学生所占

的比例。

A.10%B.20%C.30%D.40%

答案：A

2.一批产品的质量符合正态分布，平均值为80,标准差为5。求这批产品中质

量大于85的比例。

A.0.1587B.0.3413C.0.4772D.0.8413

答案：A

3.设事件A和事件B相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.4。求P(A且B的补事

件)。

A.0.4B.0.2C.0.6D.0.8

答案：B

4.某种疾病的发病率为0.02,一种新的检测方法的准确率为0.98。如果一个

人被检测出患有该疾病，那么他确实患有该疾病的概率是多少？

A.0.02B.0.98C.0.0196D.0.0192

答案：D

5.某种产品的寿命服从参数为X的指数分布，已知该产品的平均寿命为5

年。求参数X的值。

A.0.2B.0.5C.1D.5

答案：C

第二部分：计算题(共40分)

1.设X为某种产品的寿命,其概率密度函数为f(x)=kx(l-x),0<x<lo求k的

值。

答案：由概率密度函数的性质可知，J,[0,l]f(x)dx=lo

f[0,l]kx(l-x)dx=l

解得k=6o

2.设某批产品的质量服从正态分布，平均值为口，标准差为。。已知超过90

的产品不超过5%,求口和。的值。

答案：根据正态分布的性质，可知P(X>90)=0.05。

根据标准正态分布表，查得z=1.645。

则有：(90-u)/o=1.645

解得u=90-1.645o

代入P(X>90)=0.05,得到：

P(X>90)=P(；X-n)/o>1.645)

查正态分布表可得P((X-P)/G>1.645)=1-0.95=0.05

解得o=5«

3.在某个班级中，学生的身高服从正态分布，平均身高为170cm,标准差为

5cm。求身高在165cm和175cm之间的学生所占的比例。

答案：根据正态分布的性质，我们有:

P(165<X<175)=P((X-u)/o<(175-u)/o)-P((X-u)/0<(165-u)/0)

查正态分布表可得P(Z<l)=(175-170)/5=l-0.8413=0.1587

查正态分布表可得P(Z<l)=(165-170)/5=0-0.1587=0.8413

所以P(165<X<175)=0.8413-0.1587=0.68260

4.某校学生的成绩服从正态分布，平均成绩为80分，标准差为10分。某次考

试有100人参加，成绩在60分以上的人数约为多少？

答案：根据正态分布的性质，我们有：

P(X>60)=l-P(X<60)=l-P((X-u)/o<(60-n)/o)

查正态分布表可得P(Z<2)=(60-80)/10=0.0228

所以P(X>60)=l-0.0228=0.9772

所以成绩在60分以上的人数约为0.9772*100=97.72人。

第三部分：应用题(共40分)

1.某医院进行了一项临床试验，将100名患者随机分成两组，一组接受新药治

疗，一组接受常规治疗。经过一段时间的观察，新药组中有30名患者痊

愈，常规组中有20名患者痊愈。试判断新药的治疗效果是否显著。

答案：我们可以使用假设检验的方法来判断治疗效果是否显著。

设H0为“新药的治疗效果不显著”，H1为“新药的治疗效果显著”。

根据题目给出的数据，我们可以计算出新药组和常规组的治愈率分别为

0.3和0.2o

假设H0成立，那么新药组和常规组的治愈率应该相等，即

pl=p2=0.25o

现在我们可以使用Z检验来进行假设检验。

计算z值：Z=(0.3-0.2)/sqrt((0.25*(1-0.25)/100+0.25*(1-

0.25)/100))=0.1/0.049=2.04

查Z分布表可得，对于显著性水平为0.05的双侧检验，Za/2=l.S6o

由于计算得到的Z值大于Za/2,所以我们可以拒绝原假设H0,即新药

的治疗效果是显著的。

2.某商品的售价服从正态分布，平均售价为100元，标准差为20元。现从该

商品中随机抽取了100个样本，样本平均售价为110元。试判断该商品的平

均售价是否高于100元。

答案：我们可以使用假设检验的方法来判断平均售价是否高于100元。

设H0为“商品的平均售价不高于100元”，H1为“商品的平均售价高

于100元”。

现在我们可以使用t检验来进行假设检验。

计算t值：t=(110-100)/(20/sqrt(100))=10/2=