2.6.1 利用一元二次方程解决平均增长率（降低率）问题 教学设计 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2.6.1利用一元二次方程解决平均增长率（降低率）问题教学设计2024-2025学年北师大版数学九年级上册授课专业和授课专业和年级授课章节XxXx题目Xx授课时间2025年10月设计意图本节课旨在通过北师大版数学九年级上册中一元二次方程的应用，引导学生解决平均增长率（降低率）问题。通过实际案例的解析，让学生深刻理解一元二次方程在现实生活中的应用，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。核心素养目标1.发展逻辑推理能力，通过建立和求解一元二次方程，理解平均增长率（降低率）问题的数学模型。

2.培养数学建模意识，学会从实际问题中提取数学信息，建立数学模型。

3.提升应用意识，理解数学与生活的联系，能够在实际问题中运用数学知识解决问题。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已掌握了一元二次方程的基本概念、解法，以及简单的应用问题解决能力。他们对函数、方程的概念有初步的理解，并能进行基本的代数运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学的兴趣因人而异，但普遍对实际问题解决和应用题较为感兴趣。学习能力方面，部分学生能快速理解和掌握新知识，而另一部分可能需要更多的指导和支持。学习风格上，有的学生偏好通过视觉和动手操作来学习，有的则更倾向于逻辑推理和抽象思维。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在解决平均增长率（降低率）问题时，可能难以将实际问题转化为数学模型，或者在建立方程时遇到困难。此外，解一元二次方程时可能对求解过程和公式记忆不牢固，影响解题效率。同时，学生在分析方程解的实际意义时，可能难以准确理解增长率与降低率的关系。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版数学九年级上册教材，以便查阅相关内容。

2.辅助材料：准备与一元二次方程相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备计算器、黑板或电子白板，用于展示解题过程和方程求解。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习；确保实验操作台整洁，为可能的小组实验做准备。教学流程（一）导入新课（用时5分钟）

1.结合生活实例，提出问题：某商品原价为100元，连续两年降价，第一年降了10%，第二年又降了10%，现在的价格是多少？

2.引导学生回顾一元二次方程的解法，并提问：如何用一元二次方程表示这个问题？

3.提出本节课的学习目标：学习利用一元二次方程解决平均增长率（降低率）问题。

（二）新课讲授（用时15分钟）

1.讲解一元二次方程在解决平均增长率（降低率）问题中的应用，举例说明如何建立数学模型。

-举例：某商品连续两年增长，第一年增长了20%，第二年增长了15%，求这两年的平均增长率。

-分析：设第一年的价格为x元，则第二年的价格为x(1+20%)=1.2x元，第三年的价格为1.2x(1+15%)=1.38x元。设平均增长率为r，则x(1+r)^2=1.38x，解得r。

2.讲解一元二次方程的求解方法，包括配方法、公式法、因式分解法等。

-举例：解方程x^2-5x+6=0。

-分析：通过因式分解法，将方程分解为(x-2)(x-3)=0，得到x1=2，x2=3。

3.讲解增长率与降低率的关系，以及如何根据实际问题确定方程的系数。

（三）实践活动（用时15分钟）

1.学生独立完成练习题，巩固所学知识。

-练习题：某商品原价为200元，连续两年降价，第一年降了20%，第二年又降了20%，现在的价格是多少？

2.学生分组讨论，分析不同情况下的增长率（降低率）问题。

-讨论内容：如何确定增长率（降低率）问题的方程系数？如何根据实际问题求解增长率（降低率）？

3.学生展示解题过程，教师点评并总结。

（四）学生小组讨论（用时10分钟）

1.学生分组讨论如何将实际问题转化为数学模型。

-举例回答：某城市人口连续两年增长，第一年增长了5%，第二年增长了3%，求这两年的平均增长率。

2.学生讨论一元二次方程的求解方法，并分享各自的解题思路。

-举例回答：解方程x^2-6x+9=0，学生可分享配方法、公式法、因式分解法等解题方法。

3.学生讨论如何根据实际问题确定方程的系数。

-举例回答：某商品连续两年降价，第一年降了15%，第二年又降了15%，求这两年的平均降低率。

（五）总结回顾（用时5分钟）

1.回顾本节课的学习内容，强调一元二次方程在解决平均增长率（降低率）问题中的应用。

2.总结本节课的重难点，强调如何将实际问题转化为数学模型，以及如何求解一元二次方程。

3.布置课后作业，巩固所学知识。

教学流程用时总计：45分钟。教学资源拓展1.拓展资源：

-介绍一元二次方程的几何意义，如抛物线的性质，通过图形帮助学生理解方程的解与几何图形的关系。

-探讨一元二次方程在实际生活中的应用，如物理学中的抛体运动、经济学中的增长模型等。

-引入复数和虚数单位i的概念，解释一元二次方程解的几何意义，以及复数在电子工程、量子物理等领域的应用。

2.拓展建议：

-学生可以尝试解决一些历史数学问题，如费马大定理的证明思路，以了解一元二次方程在数学发展史上的地位。

-鼓励学生通过编程软件（如GeoGebra、Desmos等）来可视化一元二次方程的图形，观察参数变化对图形的影响。

-提供一些在线数学资源，如KhanAcademy、Mathway等，供学生自主学习和练习，以加深对一元二次方程的理解。

3.拓展活动：

-组织学生进行小组项目，要求他们选择一个与一元二次方程相关的实际问题，如设计一个抛物线模型来模拟抛体运动。

-设计一个“数学竞赛”环节，让学生在规定时间内解决一系列一元二次方程问题，以增强他们的解题技巧和速度。

-安排一次“数学讲座”，邀请数学老师或专业人士来讲解一元二次方程在现代科学和技术中的应用。

4.拓展阅读：

-推荐阅读《数学之美》等书籍，了解数学在各个领域的应用和数学思维的重要性。

-引导学生阅读《几何原本》等经典数学著作，了解一元二次方程的起源和发展。

5.拓展实践：

-安排学生进行实地测量活动，如测量抛物线轨迹，通过实际操作来验证一元二次方程的解。

-鼓励学生参与数学建模竞赛，将一元二次方程应用于解决实际问题，如人口增长、资源消耗等。重点题型整理1.题型：已知某商品原价和连续两年降价的百分比，求现在的价格。

例题：某商品原价为200元，连续两年降价，第一年降了15%，第二年又降了15%，现在的价格是多少？

答案：设现在的价格为x元，则有200(1-0.15)^2=x，解得x=147.00元。

2.题型：已知某商品连续两年的增长率，求这两年的平均增长率。

例题：某商品连续两年增长，第一年增长了20%，第二年增长了15%，求这两年的平均增长率。

答案：设平均增长率为r，则有(1+0.2)(1+0.15)^2=(1+r)^2，解得r≈0.197，即平均增长率为19.7%。

3.题型：已知某商品的现价和连续两年的增长率，求原价。

例题：某商品现价为120元，连续两年增长，第一年增长了10%，第二年增长了5%，求原价。

答案：设原价为x元，则有x(1+0.1)(1+0.05)=120，解得x=100元。

4.题型：已知某商品连续两年的降低率，求这两年的平均降低率。

例题：某商品连续两年降低，第一年降低了20%，第二年降低了15%，求这两年的平均降低率。

答案：设平均降低率为r，则有(1-0.2)(1-0.15)^2=(1-r)^2，解得r≈0.224，即平均降低率为22.4%。

5.题型：已知某商品的现价和连续两年的降低率，求原价。

例题：某商品现价为150元，连续两年降低，第一年降低了10%，第二年降低了5%，求原价。

答案：设原价为x元，则有x(1-0.1)(1-0.05)=150，解得x=200元。板书设计①一元二次方程解决平均增长率（降低率）问题

-平均增长率（降低率）的定义

-一元二次方程的应用

-建立数学模型的方法

②关键步骤

-确定增长率（降低率）的方程系数

-列出并解一元二次方程

-分析方程解的实际意义

③公式与计算

-平均增长率（降低率）的计算公式

-一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）

-复数解的应用（如果涉及）教学评价与反馈1.课堂表现：

-观察学生在课堂上的参与度，包括提问、回答问题、小组讨论等。

-评估学生的注意力集中程度，以及对于新知识的接受和理解能力。

2.小组讨论成果展示：

-评价学生在小组讨论中的表现，如是否能够积极参与、是否能够正确应用所学知识解决问题。

-观察小组合作的效果，包括沟通能力、分工合作和解决问题的能力。

3.随堂测试：

-通过随堂测试评估学生对一元二次方程解决平均增长率（降低率）问题的掌握程度。

-测试可能包括选择题、填空题和简答题，以全面评估学生的理解能力和应用能力。

4.学生自