2025年全国甲卷试卷数学及答案

2025年全国甲卷试卷数学及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是A.1B.2C.3D.4答案：C2.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则公差d等于A.1B.2C.3D.4答案：B3.抛掷一枚均匀的骰子，出现点数为偶数的概率是A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6答案：A4.圆x^2+y^2=4的圆心到直线3x+4y-1=0的距离是A.1/5B.1/7C.3/5D.4/5答案：C5.若函数f(x)=e^x-x在x=0处的导数为A.0B.1C.eD.-1答案：B6.在直角三角形中，若两条直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是A.5B.7C.9D.25答案：A7.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}答案：B8.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是A.πB.2πC.π/2D.4π答案：B9.在三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于A.75°B.105°C.120°D.135°答案：A10.若复数z=3+4i的模为A.5B.7C.9D.25答案：A二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在区间(0,1)内单调递增的有A.f(x)=x^2B.f(x)=e^xC.f(x)=ln(x)D.f(x)=sin(x)答案：A,B2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，则公比q等于A.2B.-2C.4D.-4答案：A,C3.下列命题中，正确的有A.偶函数的图像关于y轴对称B.奇函数的图像关于原点对称C.所有连续函数都可导D.所有可导函数都连续答案：A,B,D4.在直角坐标系中，点(1,2)关于直线y=x的对称点是A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,-2)D.(-2,-1)答案：B5.下列函数中，在x=0处可导的有A.f(x)=x^3B.f(x)=|x|C.f(x)=e^xD.f(x)=ln(x+1)答案：A,C,D6.在三角形ABC中，若角A=30°，角B=60°，则角C等于A.90°B.120°C.150°D.180°答案：A,B7.下列集合中，是空集的有A.{x|x^2<0}B.{x|x=1且x=2}C.{x|x>5且x<3}D.{x|x是偶数且x是奇数}答案：A,B,C,D8.下列函数中，是周期函数的有A.f(x)=sin(x)B.f(x)=cos(x)C.f(x)=tan(x)D.f(x)=x^2答案：A,B,C9.在直角三角形中，若两条直角边的长度分别为5和12，则斜边的长度是A.13B.17C.19D.25答案：A10.下列命题中，正确的有A.所有奇函数都是单调函数B.所有偶函数都是单调函数C.所有周期函数都是连续函数D.所有连续函数都是周期函数答案：C三、判断题（每题2分，共10题）1.函数f(x)=x^3在x=0处可导。答案：正确2.集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的并集是{1,2,3,4,5}。答案：正确3.函数f(x)=e^x在x=0处的导数是1。答案：正确4.在三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于75°。答案：正确5.复数z=1+i的模是√2。答案：正确6.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是2π。答案：正确7.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=8，则公差d等于3。答案：正确8.在直角坐标系中，点(1,2)关于直线y=x的对称点是(2,1)。答案：正确9.函数f(x)=|x|在x=0处不可导。答案：正确10.所有连续函数都可导。答案：错误四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数f(x)=x^2-4x+5在区间[1,3]上的最大值和最小值。答案：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2。计算f(1)=2，f(2)=1，f(3)=2。因此，最大值为2，最小值为1。2.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_1=3，d=2。答案：S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)=n/2(23+(n-1)2)=n(n+1)。3.求函数f(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4处的导数。答案：f'(x)=cos(x)-sin(x)，因此f'(π/4)=cos(π/4)-sin(π/4)=√2/2-√2/2=0。4.求抛物线y=x^2与直线y=x的交点。答案：联立方程x^2=x，解得x=0或x=1。因此，交点为(0,0)和(1,1)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)内的单调性。答案：求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。在区间(-2,-1)内，f'(x)>0，函数单调递增；在区间(-1,1)内，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(1,2)内，f'(x)>0，函数单调递增。2.讨论函数f(x)=e^x在x=0处的连续性和可导性。答案：函数f(x)=e^x在x=0处连续，且导数为f'(x)=e^x，因此f'(0)=1，函数在x=0处可导。3.讨论集合A={x|x>0}和集合B={x|x<1}的交集和并集。答案：交集A∩B=