齿轮机构设计

第7章齿轮机构制定

本章以渐开线直齿圆柱齿轮传动为主线，阐述圆柱齿轮传动的运动制定和承

载能力制定。运动制定主要包括啮合原理及啮合特点、基本参数和几何尺寸计算

等内容；承载能力制定主要包括制定计算准则、齿轮失效、力分析和强度计算等

内容。在此基础上，简明介绍直齿锥齿轮传动制定及齿轮润滑制定。

基本要求：

1)了解齿轮传动的特点、应用及类型；

(2)理解齿廓啮合基本定律，掌握渐开线齿廓的形成及其性质，并能在后续

相关内容中运用；熟练掌握渐开线圆柱齿轮的基本参数、标准齿轮的几何尺寸计

算，能够正确计算；掌握范成法切齿原理、标准齿轮和变位齿轮切制特点以及变

位齿轮的尺寸变化。

(3)深入理解直齿轮传动运动制定应满足的六个条件及重合度、不根切最少

齿数、无侧隙啮合方程等内容，并正确运用重合度等公式进行计算；掌握圆柱齿

轮传动的几何尺寸计算及中心距变动系数、齿顶高变动系数等概念；了解标准齿

轮传动、高度变位齿轮传动及角度变位齿轮传动的特点。

(4)理解斜圆柱齿轮齿廓曲面的形成、基本参数与螺旋角的关系、当量齿轮

及当量齿数的概念；理解平行轴斜齿轮传动运动制定的条件，并正确运用其几何

尺寸公式进行计算；了解交错轴斜齿轮传动的特点。

(5)了解齿轮精度选择的方法，五种失效形式的特点、生成机理及予防或减

轻损伤的措施；掌握齿轮材料选择要求、常用钢铁材料选用及其热处理特点。

(6)熟练掌握齿轮传动的受力分析，特别是平行轴斜齿轮轴向力的大小和方

向确实定，直齿锥齿轮传动轴向力与径向力的关系；理解几个载荷修正系数的意

义及其影响因素，减小其影响的方法；

(7)熟练掌握直齿圆柱传动的齿而接触疲惫强度计算和齿根弯曲疲惫强度

的计算基本理论依据，推导公式的思路，公式中各个参数和系数的意义，掌握其

确定方法；参照示范例题，掌握齿轮传动制定的步骤，正确地进行直齿轮传动的

强度制定计算；了解平行轴斜齿轮传动和直齿锥齿轮传动的当量齿轮的意义，掌

握平行轴斜齿轮传动和直齿锥齿轮传动强度计算特点。

(8)掌握齿轮四种结构形式的特点和选择，并能画出齿轮零件的工作图；掌

握齿轮传动润滑油种类、粘度及润滑方式的选择。

7.1概述

7.1.1优缺点及分类

齿轮传动机构的特点：

齿轮机构是现代机械中应用最广泛的传动机构，用于传递空间任意两轴或多

轴之间的运动和动力。

齿轮传动主要优点：传动效率高，结构紧凑，工作可靠、寿命长，传动比准

确。

齿轮机构主要缺点：制造及安装精度要求高，价格较贵，不宜用于两轴间

距离较大的场合。

齿轮传动机构的分类:

平行轴齿轮传动机构①

按轴的相对位置相交轴齿轮传动机构、交错轴齿轮传动

机构②

按齿线相对齿轮体母线

直齿、斜齿、人字齿、曲线齿

相对位置

按齿廓曲线渐开线齿、摆线齿、圆弧齿

按齿轮传动机构的工作

闭式传动、开式传动、半开式传动文

条件

按齿面硬度软齿面1W350HB）、硬齿面O350HB）

说明：

①平行轴齿轮传动机构又称为平面齿轮传动机构.

②相交轴齿轮传动机构和交错轴齿轮传动机构统称为空间齿轮传动机构.

③闭式传动的齿轮封闭在箱体内，润滑优良；开式传动的齿轮是完全外露

的，不能确保优良润滑；半开式传动的齿轮浸在油池内，装有防护罩，不封闭。

平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）

直齿

斜齿

曲齿

人字齿

齿轮齿条

内齿轮

相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）

直齿

斜齿

曲线齿

交错轴齿轮传动机构

斜齿

阳3。

蜗杆蜗轮

准双曲面齿轮

7.1.2传动的基本要求：

在齿轮传动机构的研究、制定和生产中，一般要满足以下两个基本要求：

1.传动平稳一在传动中坚持瞬时传动比不变，冲击、振动及噪音尽量小。

2.承载能力大一在尺寸小、重量轻的前提下，要求轮齿的强度高、耐磨性

好及寿命长。

7.2.1齿廓啮合基本定律

图示为一对作平面啮合的齿轮，两轮的齿廓曲线分别为G和设轮1绕

轴a以角速度5转动，轮2绕轴以角速度以转动，图中点K为两齿廓的接触

点，过点K作两齿廓的公法线nn,公法线nn与连心线0a交于点C。由三心定

理可知，点C是两轮的相对速度瞬心，故有：

Vc=OQ%=02c?

由此可得:

条件：无论两齿廓在何处接触，过接触点作两齿廓的公法线必需通过固定节点Co

节点C在两轮运动平面上的轨迹是两个圆，称为齿轮的节圆。因为两轮在节点C

处的相对速度等于零，所以一对齿轮的啮合传动可以视为其节圆的纯滚动。

设两轮节圆半径分别为n'和"，则

"=竺=工=常数

叼00q

共枕齿廓：

凡是满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共扼齿廓，共甄齿廓的齿廓曲线

称为共加曲线。理论上可以作为共钝齿廓的曲线有很多种，但是合计到制定、制

造、测量、安装及使用等问题，目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧等。

因渐开线齿廓能较全面地满足上述要求，因此现代的齿轮绝大多数都是采纳断开

线齿廓。

7.2.2渐开线齿廓

渐开线的形成

如图示，当直线rn沿圆周作纯滚动时，直线上任意一点K的轨迹AK称为

该圆的渐开线。

这个圆称为基圆,其半径用n表示；

直线n-n称为渐开线的发生线，

。k(二NAOK)称为渐开线AK段的展角。

渐开线的性质

由渐开线的形成可知，渐开线具有以下性质：

1)发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的弧长，即弦KB二弧AB。

(2)渐开线上任一点的法线必与基圆相切。

(3)发生线与基圆的切点B为渐开线上点K的曲率中心，而线段BK是相应的

曲率半径。

由图可知：

渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之,

则曲率半径愈小；渐开线在基圆上起始点A处的曲率半径为零。

⑷渐开线的形状决定于基圆的大小。

如图示，基圆愈大，渐开线愈平直；当基圆半径趋丁•无穷大时，渐开线将成

为一条垂直于N3K的直线。后而介绍的齿条的齿廓就是这种直线齿廓。

⑸基圆内无渐开线。

渐开线齿廓的压力角

如图所示，点K为渐开线上任意一点，其向经用n表示。假设用此渐开线

为齿轮的齿廓，当齿轮绕点。转动时，齿廓上点K速度的方向应垂直于直线0K,

即沿直线mmo我们把法线BK与点K速度方向线rmi之间所夹的锐角称为渐开线

齿廓在该点的压力角，用cik表示，其大小等于NKOB。

由△KOB可得：

cosa.=—⑸

rk

上式说明：渐开线上各点的压力角是不同的，离基圆愈远［矢径rk愈大），

其压力角愈大；渐开线起始点A的压力角为零。

由图可知:

渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反

之，则曲率半径愈小；渐开线在基圆上起始点A处的曲率半径为零。

渐开线函数

由图可得：

TOTy(a+，),.

tga=-=-=—AB=-----------=a+9

3=fga,-a.............Q))

即nn：A

上式说明：展角Ok是压力角ak的函数，称为渐开线函数。

工程上用invak表示0k,即有

iiiuai-8k-Itttt-g.

工程中已将不同压力角的潮开线函数计算出来制成表格以备查用，详见表

2

如图示，假设以渐开线起始点A的矢径0A为极轴，则渐开线上任意一点K

的位置可用极坐标描述。联立(a)、(b)两式，可得渐开线的极坐标参数方程式为:

r=r,/cosa

人卜k，.............(9.3)

8=JMva=fga-a.

1.啮合线是一条定直线

图示为一对渐开线齿廓gl、g2在任意位置啮合，啮合接触点为点K。过点K

作这对齿廓的公法线MN2,依据渐开线的性质可知，公法线N此必同时与两基圆

相切，即公法线MN2为两基圆的一条内公切线。由于两基圆的大小和位置均同定

不变，其内公切线只有一条。因此，不管两齿廓在任何位置啮合，它们的接触点

一定在这条内公切线上〔如图中的点K，)。这条内公切线是接触点K的轨迹，

称为啮合线，亦即一定渐开线齿廓的啮合线是一条定直线。

2.能满足定传动比要求

如上所述，无论两齿廓在任何位置啮合，接触点的公法线是一条定直线，而

且该直线与连心线0。，的交点C是固定点。因此，一对渐开线齿廓能实现定传动

比传动。因图中△0NC和△()此C相似,则传动比为：

1I

=竺=2=包=常数

吗QC勺3

3.啮合角恒定不变

两齿廓在任意位置啮合时，接触点的公法线与节圆公切线之间所夹的锐角称

为啮合角。因为两渐开线齿廓接触点的公法线始终是定直线，所以其啮合角始终

不变，而且在数值上恒等于节圆压力角，用Q'表示。在齿轮传动中，两齿廓间

正压力的方向是沿其接触点的公法线之间，该方向随啮合角的改变而变化。渐开

线齿廓啮合的啮合角不变，故齿廓间正压力的方向也始终不变，这关于齿轮传动

的平稳性是十分有利的。

=竺=2=包=常数

吗QC勺3

由上式可知：一对渐开线齿廓啮合的传动比决定于其基圆的大小，而齿轮一

经制定加工好后，它们的基圆也就固定不变，因此当两轮的实际中心距略有偏差

时，仍能坚持原传动比，此特点称为渐开线齿廓啮合的可分性。这一特点对渐开

线齿轮的制造、安装都是十分有利的。

7.3渐开线标准直齿圆柱齿轮机构

图示为直齿外齿轮的一部分。齿轮上每个凸起的部分称为齿，相邻两齿之间

的空间称为齿槽，齿轮各部分的名称及符号规定如下：

(1)齿顶圆过齿轮各齿顶所作的圆，其直径和半径分别用山和二表示。

(2)齿根圆过齿轮各齿槽底部的圆，其直径和半径分别用&和壬表示。

(3)分度圆齿顶圆和齿根圆之间的圆，是计算齿轮儿何尺寸的基准圆其

直径和半径分别用d和r表示。

(4)基圆形成渐开线的圆，其直径和半径分别用山和口表示。

(5)齿顶高、齿根高及齿全高齿顶高为分度圆与齿顶圆之间的径向距离,

用匕表示；齿根高为分度圆与齿根圆之间的径向距离，用片表示；齿全高为齿

顶圆与齿根圆之间的径向距离，用h表示，显然h=h“+h'。

(6)齿厚、齿槽宽及齿距在半径为n的圆周上，一个轮齿两侧齿廓之间

的弧长称为该圆上的齿厚，用Sk表示；在此圆周上，一个齿槽两侧齿廓之间的

弧长称为该圆上的齿槽宽，用ek表示；此圆周上相邻两齿同侧齿廓之间的弧长

称为该圆上的齿距，用Pk表示，显然Pk=Sk+ek。分度圆上的齿厚、齿槽宽及齿距

依次用s、e及p表示，p=s+e。基圆上的齿距又称为基节，用Ph表示。

标准齿轮：基本参数取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，分度圆齿厚等

干齿槽宽的直齿圆柱齿轮称为标准齿轮，不能同时具备上述特征的直齿轮都是非

标准齿轮。

标准齿轮及其几何尺寸计算公式

由齿轮各部分名称的定义可以得到标准齿轮的几何尺寸计算公式，如（外齿

轮）：

分度圆直径d=mz

基圆直径dh=dcosa

口=

齿顶圆直径d+2%=(z+2Gm

d：=d]-2%=(Z]-2我;-2c)幽

齿根圆直径

标准齿轮的几何尺寸计算公式详见付表

基木参数

(1)齿数z在齿轮整个圆周上轮齿的总数。

(2)模数m分度圆的周长二九d二zp,则有：

丸

由于兀是无理数，给齿轮的制定、制造及检测带来不便。为此，人为地将比

值P/兀取为一些简单的有理数，并称该比值为模数，用m表示，单位是mm。我

国已制定了模数的国家标准，因此，分度圆直径d二吻，分度圆齿距p二nnu

模数m是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数愈大，其尺

寸也愈大如上图所示。

3）分度圆压力角a

齿轮轮齿齿廓在齿轮各国上具有不同的压力角，我国规定分度圆压力角a的

标准值一般为20°。此外，在某些场合也采纳a°、15°°及25°等的齿轮。

至此，我们可以给分度圆下一个完整的定义：分度圆就是齿轮上具有标准摸

数和标准压力角的圆。

（4）顶高系数h*a和顶隙系数/

齿轮齿顶高和齿根高的计算式分别是：

力/=（力。+c）m

其中ha和c“分别称为齿顶高系数和顶隙系数。

GB1356-88规定了ha和c”的标准值：

1）正常齿制当m21mm时，h*a=l,c*=0.25；当mV1mm时,h*a=l,c*=0.35

2）短齿制h*a=0.8,c*

7.3.3标准齿轮的几何尺寸

标准齿轮：基本参数取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，分度圆齿厚等

于齿槽宽的直齿圆柱齿轮称为标准齿轮，不能同时具备上述特征的直齿轮都是非

标准齿轮。标准齿轮的几何尺寸公式见下表。

名符计算公式

称O

分度圆d

d、=mZ]=tnz

直径2

齿顶高ha

齿根高

ht%=（%;+c,）.

全齿高h

h=ha+=（2/;+c*'）fn

齿顶圆心

d=d±2h-（Zi±2为;）也=d[±2h「氏±2及;）w

直径a

齿根圆击

d,1=d]干2%=（2]+2〃；+2c*）tn

直径

干力；干

d/2=d2+2hA=（z222—）w

基同直d

b%=外cosa=fnz、cosa=dcosa=mzcosa

径22

齿距pp-"f

齿厚s

s-吆

齿槽宽e一%

中心距a

a=±d])=^氏士与)

乙乙

顶隙c

c=cm

基圆齿距Pt>p=cosa

注：凡含“士”或“千”的公式，上面符号用于外啮合，下面符号用于内啮合.

7.3.4内齿轮和齿条

内齿轮

图为一直齿内齿轮的一部分，它与外齿轮的不同点是：

(1)内齿轮的齿廓是内凹的，其齿厚和齿槽宽分别对应于外齿轮的齿槽宽和齿

厚。

(2)内齿轮的齿顶圆小于分度圆，齿根圆大于分度圆。

(3)为了使内齿轮与外齿轮组成的内啮合齿轮传动能正确啮合，内齿轮的齿顶

圆必需大于基圆。

图为一标准齿条。当标准外齿轮的齿数增加到无穷多时:齿轮的基圆及其他

圆都变成互相平行的直线，同侧渐开线齿廓也变成互相平行的斜直线齿廓，这样

就形成标准齿条。

齿条的主要特点：

(1.)由于齿条齿廓为直线，所以齿廓上各点具有相同的压力角，且等于齿廊的

倾斜角，此角称为齿形角，标准值为20°。(2)与齿顶线平行的任一条直线

上具有相同的齿距和模数。

(3)与齿顶线平行且齿厚等于齿槽宽的直线称为分度线(中线)，它是计算齿

条尺寸的基准线。

7.4齿轮的切削加工和变位齿轮

7.4.1齿轮的切削加工原理

1.范成法切齿原理

齿轮加工方法很多，以切削加工方法最为常用。范成法是利用一对齿轮啮合

原理切削加工齿廓的。如图所示，假设将标准齿条作为刀具，另一齿轮为被切齿

轮毛坯。当刀具以作等速移动，齿轮毛坯以3作等速转动时，刀具齿廓就

能切出被加工齿轮的齿廓。

标准齿条型刀具的齿形

它与标准齿条基本相同，只是齿顶增加了。力的高度，目的是为了切出被切

齿轮的径向间隙。因齿条刀的分度线等分其齿高，故又称为中线。刀顶线与直线

齿廓之间的过渡处不是直线，而是以半径为P的圆角刀刃。它不能切出渐开线齿

廓，只能切出齿根部分的过渡曲线。刀顶线是用来切制被切齿轮齿根圆的。

刀顶线

齿条刀切齿的工作原理图

2.标准齿轮的切制

如图所示，齿条刀中线与齿轮坏分度圆相切并作纯滚动。因为刀具中线上的

齿厚等于齿槽宽，所以被切齿轮齿槽宽等于齿厚，即e=s。此外，由于分度21与

中线相切，则齿根高等于齿条刀顶线至分度圆的距离出,〉/加。因为齿轮坯的齿

顶圆是预先已按标准齿轮的齿顶圆直径加工好了的，故其齿顶高等于九:勿，这样

切出的齿轮是标准齿轮。

£

+

°M

m)

(

五

+

c

)

m

3.变位齿轮的切制

变位齿轮：当齿条刀中线不与齿轮坯分度圆相切，而是相距(相割或相离)

x小时，如图(a).(c)所示的位置。刀具的移动速度片/3时，此时平行于刀

具中线的一条直线(节线)与轮坯的分度圆相切并作纯滚动，这种改变刀具位置,

使中线距离轮坯分度圆为初时，加工出的齿轮称为变位齿轮，x称为变位系数。

距离x勿为齿条中线由切制标准齿轮的位置沿轮坯径向离开或靠近齿轮坯中心所

移动的距离，称为径向变位量(简称变位量)，△二xm

正变位齿条刀中线远离齿轮中心，变位系数取正值(x>0),称为正变位，所

切出的齿轮称为正变位齿轮，

负变位齿条刀中线靠近齿轮中心，变位系数取负值(x<0),称为负变位，所切出

的齿轮称为负变位齿轮。

用同一把齿条刀切出齿数相同的标准齿轮、正变位齿轮及负变位齿轮。它们

的模数、压力角、分度圆、齿距及基圆等均相同。

由于x的不同，虽然它们的齿廓渐开线均由相同的基圆展出，但所取的部位

不同，如图所示。

它们的齿顶高、齿根高、齿厚及齿槽宽各不相同。

以下讨论变位齿轮几何尺寸的变位。

变位齿轮几何尺寸的变化

1.分度圆齿厚和齿槽宽

图所示分度圆齿厚和齿槽宽及标准齿条刀切制正变位齿轮的状况。齿条刀中

线远离轮坏中心的径向变位量是X/〃>0,刀具节线上的齿厚较刀距中线上的齿厚

减小2KJ。由于轮坯分度圆与刀具节线作纯滚动，被切出齿轮分度圆齿槽宽应等

于刀具节线上的齿厚，即被切齿轮分度圆齿槽宽也减小2KJ。由图中关系可知，

KJ=^Mgao故正变位齿轮分度圆齿槽宽为：

e=学-2KJ=mq-2xtga）

而分度圆齿厚为

s=——+2KJ=冽（一+2xtga）

22

关于负变位齿轮，上述两式同样适用，仅将变位系数x用负值代入。

2.任意圆上的齿厚

图为外齿轮的一个轮齿，设s,为轮齿任意半径n的圆周上的弧齿厚，s为其

分度圆上的弧齿厚，并设s,和s分别对应的中心角为（"和小，由图知

-Mtt

价=0-2ZB0C=--2AB0C

Z.BOC=3j-3=inv^-inva

则任意圆齿厚为:

Sj=--inva)

r

假设以不同圆的半径二和该圆上的渐开线压力角a代入上式，即可求得相应

的弧齿厚。

齿顶圆齿厚

r

SQ=s--2r(inva-inva)

raa

式中。"为齿顶圆压力角

基圆齿厚

r

S5=s--2r(inva^-inva)=scosa+?nzcosainva

rd

3.齿根高和齿顶圆

如图所示，加工正变位齿轮，刀具中线与节线分开，移出xmo因此齿根高

比标准齿轮减小，即

hj=(4；+c*)wxm=(4；+c*-7i)m

c

三口

相应齿根圆半径为

关于负变位齿轮，用负值代入上述两式。

4.齿顶高和齿顶圆

变位齿轮的齿顶圆在切齿加工前已加工好，与轮齿切削加工无关。变位齿轮

的齿顶高及齿顶圆均与标准齿轮不同，其变化的状况与一对齿轮啮合传动要求有

关，将在下节介绍。

7.5渐开线直齿圆柱齿轮啮合传动制定

7.5.1制定应满足的条件

1.正确啮合条件

一对渐开线齿廓能确保定传动比传动，但这尹不说明任意两个渐开线齿轮都

能搭配起来正确啮合传动。为了正确啮合，还必需满足一定的条件。图示一对渐

开线齿轮同时有两对齿参加啮合，两轮齿工作侧齿廓的啮合点分别为K和K'。

为了确保定传动比，两啮合点K和K'必需同时落在啮合线MN2上；否则，将出

现卡死或冲击的现象。这一条件可以表述为&匕=勺卫‘2=双="1和

勺〃2分别为齿轮1和齿轮2相邻同侧齿廓沿公法线上的距离，称为法向齿距，

用自八%表示。因此，一对齿轮实现定传动比传的正确啮合件为两轮的法向齿

距相等。又由渐开线性质可知，齿轮法向齿距与基圆齿距相等，则该条件又可表

述为两轮的基圆齿距相等，即

%2=Pn

将PM=如21cos/和2cos的代入上式得

mxcos%=m2cosa2

式中川八和和a八明分别为两轮的模数和压力角。由于齿轮的模数和压力

角都已标准化，要使上式成立，可以取

啊=吗=m}

%=%=a

来确保两轮的法向齿距相等。因此，渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件最

终表述为：两轮的模数和压力角分别相等。

2.连续传动的条件

(1)啮合传动过程

齿轮传动是通过其轮齿交替啮合而实现的。图所示为一对轮齿的啮合过程。

主动轮1顺时针方向转动，推动从动轮2作逆时针方向转动。一对轮齿的开始啮

合点是从动轮齿顶圆L与啮合线NN的交点B2,这时主动轮的齿根与从动轮的

齿顶接触，两轮齿进入啮合。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点将沿着啮合

线向左下方移动。一直到主动轮的齿顶圆厂与啮合线的交点主动轮的齿顶

与从动轮的齿根马上脱离接触，两轮齿结束啮合，Bi点为终止啮合点。线段瓦瓦

为啮合点的实际轨迹，称为实际啮合线段。当两轮齿顶圆加大时，点丛、分别

趋于点M、N2,实际啮合线段将加长。但因基圆内无渐开线，故点及、B?不会超

过点M、反，点M、反称为极限啮合点。线段硒是理论上最长的实际啮合线

段，称为理论啮合线段。

2)连续传动条件

连续传动条件为确保齿轮定传动比传动的连续性，仅具备两轮的基圆齿

距相等的条件是不够的，还必需满足4坊28。否则，当前一对齿在点瓜分开

时，后一对齿尚末进入点&啮合，这样，在前后两对齿交替啮合时将引起冲击,

无法确保传动的平稳性。

重合度把实际啮合线段硒与基圆齿距口的比值称为重合度，用£a表不。

"4

重合度表达式

在实际应用中，£。值应大于或等于一定的许用值［£月，即

42［%］

上式中许用重合度［£/的值是随齿轮机构的使用要求和制造精度而定，推

举的［£/值,见表7.4。

表9.4卜』推荐值

使用场合一般机械汽三、拖拉机金属切削机床

卜]1.41.1〜1.21.3

7.5渐开线直齿圆柱齿轮啮合传动制定

重合度计算公式

外啮合齿轮的重合度计算公式可参照右图推出：实际啮合线段

=B^P+B2Pf而

---------------------yyiz[।

=81M—PN、=——-cosc(Zgc由-tga)

2

yyiz।

B[P=-PN)=——-cQsaftga^-£gc)

2

将上述关系代入式(7.14)并化简得：

.尸+B2P

pbmncosa协3cos以

，-[zx{tga^-tga)+z2(tgaa2-tga)]

=2冗

式中：啮合角0'="8。伞,小)，两轮齿顶圆压力角与i=arccos(〃Jz)、

久2=arccos(如/2)

O

重合度的物理意义

重合度的大小说明同时参加啮合的轮齿对数的多少。如£尸1表示，齿轮传

动的过程中始终只有一对齿啮合。假设£产1.3的状况如图所示，在实际啮合线

为坊的BA和ABJ段有两对轮齿同时在啮合，称为双齿啮合区；而在节点P

四周AAJ,只有一本轮齿在啮合，称为单齿啮合区。

总之，明值愈大，说明同时参加啮合轮齿的对数愈多，这对提升齿轮传动

的承载能力和传动的平稳性都有十分重要的意义。

3.无齿侧隙啮合条件

齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩檄发热

膨胀而卡死，齿廓之间必需留有间隙，此间隙称为齿侧间隙，简称侧隙。但是，

齿侧间隙的存在会产生齿间冲击，影响齿轮传动的平稳性。因此，这个间隙只能

很小，通常由齿轮公差来确保。关于齿轮运动制定仍按无齿侧间隙（侧隙为零）

进行制定。

一对齿轮啮合过程中，两节圆作纯滚动。因此，两齿轮的节圆齿距应相等,

即夕尸R，。为确保无齿侧间隙啮合，一齿轮的节圆齿厚必需等于另一齿轮节圆

齿槽宽，即s尸&或这样有〃产S/+e,+r尸S2+0,故p;s/+s?

即齿轮啮合传动的无侧隙啮合条件是：节圆齿距等于两轮节圆齿厚之和。

4.齿廓不根切条件

（1）根切现象及其产生原因

根切现象如图所示，用范成法切制齿轮的过程中，有时刀具会把齿轮艰部

己加工好的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为根切。根切将削弱齿根的强度,

甚至可能降低重合度，影响传动质量，应尽量避免。

产生原因图为齿条刀的齿顶线超过极限啮合点N1（啮合线与被切齿轮基

圆的切点）的状况。当刀具以速度v移动到达位置n时，刀刃齿廓将被加工轮齿

的渐开线齿廓完全切出。范成加工持续进行，刀具移动距离s到达位置in,刀刃

齿廓与啮合线NN交于点K。与此同时，齿轮相应转过6角，其基圆转过的弧长

=丫皿=^cosa=scosa

而刀具两位置的垂直距离为切太scosa,则N}N}=因此有

NM<MR0该式说明渐开线齿廓上的点儿落在刀刃的左内侧

,即点,V；四周的渐开线被刀刃切掉而产生根切,

如图中的阴影部分所示。

(2)避免根切的方法

以上分析可知，产生根切的原因是刀具的齿顶线超过极限啮合点因此可

以利用移距变位的方法避免根切。

如图所示，为了避免根切齿条刀采纳正变位，变位量为。这样使刀具齿顶

线通过极限啮合点用，刚好不根切。由此可得不根切的条件为:

N}M>我;冽-xm

N=CN,sina=rsin2a=—tnzsin2a

因2,所以有

—zsin2a2力:-x

2a

避免根切的几种方法

1)标准齿轮不产生根切的最少齿数条件

—zsin2a2h；-x

因标准齿轮x=0,由2式得不根切条件为

zZ斗

sina

因此得出标准齿条刀加工标准齿轮不产生根切的最少齿数z总：

2K

7=___

mix2

sina

当h：=1、a=20,时，可以得到标准齿轮不产生根切的最少齿数=17o

2）变位齿轮不产生根切的最小变位系数

—zsin2a2人:-x

由（7.16）2式得不根切条件

xZh：--zsin2a

fl2

卜+1.2

='--zsmct

因此有2

z二£

将皿曲a式代入上式并整理，可得变位齿轮不产生根切的最小变位系

数为

人求E‘%

Z源比.

上式说明：当z<Zw时，为了避免根切，必需采纳正变位且；当

时，可以采纳负变位5:。），只要满足X2为.”的条件就不会产生根切。

3）改变齿顶高系数和压力角

Zr2」

由式Z的病2可知，减小齿顶高系数九：或加大压力角Q,均可提升齿

轮避免根切的能力。但是，这样需要采纳非标准刀具，成本将增加，一般状况不

宜采纳。

4.无侧隙啮合条件及无侧隙啮合方程式

(1)无侧隙啮合条件

齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩榛发热

膨胀而卡死，齿廓之间必需留有间隙，此间隙称为齿侧间隙，简称侧隙。但是，

齿侧间隙的存在会产生齿间冲击，影响齿轮传动的平稳性。因此，这个间隙只能

很小，通常由齿轮公差来确保。关于齿轮运动制定仍按无齿侧间隙(侧隙为零)

进行制定。

一对齿轮啮合过程中，两节圆作纯滚动。因此，两齿轮的节圆齿距应相等，

即夕尸为确保无齿侧间隙啮合，一齿轮的节圆齿厚必需等于另一齿轮节圆

齿槽宽，即s,=e2或修=e,。这样有尸；=s",=s；+，，故

0=s；+s；

即齿轮啮合传动的无侧隙啮合条件是：节圆齿距等于两轮节圆齿厚之和。

(2)无侧隙啮合方程式

节圆齿厚S/,夕二，：

ar1>i

S/=Sj--2r2(inva-inva)

ri

I

s2=s2--2r2(inva-inva)

Sj==)n(—+zx^ga)s?=搐1一+2x2tgaj

式中22

11

生=r2_cosamz

r="r=2"

7

勺r2cosa222

1cosacosa

P<

而cosacosa

将以上各式代入式。=s；+s；并化简得

inva=i«va+^—1__^12.tga

zi+Z2

上式称为无侧隙啮合方程式。该式说明：一对齿轮的变位系数确定后，只有

按此式求得的啮合角。.安装，才干确保无侧隙啮合传动。关于标准齿轮传动，

因X!=X2=0,则有a

6.确保齿顶厚条件

关于正变位齿轮，过大的变位可能引起齿顶变尖（S=0）或齿顶厚过G的

现象。为了确保齿轮的齿顶强度，齿顶厚不能太小，一般要求$20.25,关

于表面淬火的齿轮,要求£>0.4mo

7.5.2齿轮机构啮合传动的几何尺寸

1.中心距a与中心距变动系数y

1)中心距a

由图可得一对变位齿轮的中心距。

•，./,cosa1...

a=勺+勺=＜。+r)-------r=一加fZ/+z)cosa/cosa

2cosa22

关于一对标准齿轮而言，因必二必二。，"=〃，则其中心距”为

1/、

a=-fn(z2+z2)

此中心距称为标准安装中心距，简称标准中心距。此时，两轮的分度圆相切

并与其节圆重合，既确保无侧隙啮合，乂确保顶隙是标准值。顶隙可以避免啮合

轮齿的顶部与根部相抵干涉，同时用作储存润滑油。

2)中心距变动系数y

现以ym表示变位齿轮中心距与标准中心距之差(又称中心距变动量)，则

仃

cosa)

----r一]I

(cosaJ

故

I

a-a

y=-----

m

1,/cosa.}

y=-(zi+z2)-------r-q

2cosa}

式中y称为中心距变动系数。

2.齿顶高九与齿顶高变动系数Ay

假想有一把标准齿条刀具，它可以同时双面切削两个正变位齿轮，其变位量

分别为"和公。两轮均具有标准齿高制和标准顶隙c加从图中可

以看出，两轮齿廓与刀具的直线齿廓分别在点4、和点A?、B?接触，而且轮1

上的点Ai和轮2上的点A?分别处在同一刀刃齿廓两侧不同位置，点Bi和B,也是

如此。因此，当抽去假想齿条刀具，并让两齿轮按此位置安装时，虽然两轮之间

具有标准齿顶隙，但却出现齿侧间隙。为了实现无侧隙啮合，可把两轮中心

靠近，直至无侧隙为止，并设中心距缩短量为勿。显然，此时顶隙也将减小

」又〃，不再是标准顶隙。因此为了实现无侧隙啮合的同时也确保标准顶隙，必需

将两轮齿顶削去，以。这样齿顶高九为

Ki=（%；+勺一少，加

%二（%：+彳2一少）加

式中Ay称为齿高变动系数。相应全齿高为

%=%+力//+++c*>

=(2h：+c*")m-ziyfn

设中心距减小4%前后的中心距分别为。'和。,则有

Aym=a-a=dt+fx;+x2)tn-(a+ytn)=5+x2)?n-ym

故Ay=(x+x)-y

以上仅就正变位齿轮进行分析。但可以证实：关于外啮合传动，无论为和

刈取何值，恒为正值。变位齿轮的全齿高恒大于或等于标准齿轮的全齿高。

外啮合变位齿轮传动的几何尺寸计算参看下表。

表9.5直齿IS柱齿轮传动主要几何尺寸计算公式

名称符号计算公式

分度圆直径dd]=mz]d2=mz2

标准中心距aa=i(d2±dJ)=y(z2±z1)

1.2(x+x)

啮合角ainva=inva+-----r-----7tgcc

z1+z2

1.cosa

实际中心距aa=a------r

cosa

中心距变动系数y=(a-a)/m

齿高变动系数匈

齿顶高%%/=6：+4-4刖力必=仅：+叼-印加

齿根高

=d丁心

齿顶圆直径Qi£+2hanl}QZ=d?z+2ha^z

齿根圆直径%dfl-dj-2%df2-d2-2hf2

基圆直径Wdbl=dfonadb2=d2cona

中圆直径d,d2=df,j/cosctd2=db2/cosa

鼠=jzQgaz-tga)+z(iga-tga)]

重合度%2a2

2K

7.5.3齿轮传动的类型

依据（必+左）及修、必取值不同，可把齿轮传动分为三种基本类型，即

标准齿轮传动、高度变位齿轮传动及角度变位齿轮传动。它们的传动特点比较详

见下表。

7.6斜齿圆柱齿轮传动的运动制定

7.6.1渐开线斜齿圆柱齿轮

1.直圆柱齿轮齿廓曲面的形成

因渐开线直齿圆柱齿轮沿其轴向有一定宽度，故渐开线齿廓沿齿轮轴向形成

一齿面。该齿面的形成原理如图所示，发生面S沿基圆柱作纯滚动时，它上面的

一条与基圆柱母线NN平行的直线KK展成直齿轮的齿面，称为渐开柱面。

斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成

斜齿轮的齿面形成原理如前页图所示，发生而S沿基圆柱作纯滚动时，它上

面的一条与基圆柱母线成夹角Bb的斜直线KK展成斜齿轮的齿面，称为渐开螺旋

面。

基圆柱螺旋角

渐开螺旋面与齿轮端面（垂直于齿轮轴线的截面）的交线仍是渐开线；但它

与基圆柱面以及和基圆柱同轴线的任一圆柱面的交线均为螺旋线。基圆柱螺旋线

AA（见图b）的切线与齿轮轴线所夹的锐角Bb称为基圆柱螺旋角，简称基圆螺

旋角。显然，3,愈大，轮齿的齿向愈偏斜；但假设8尸0时，斜齿轮就变成直齿

轮。

2.斜齿轮基本参数

由于斜齿轮的齿面为渐开螺旋面，故其端面齿形与法面(垂直于轮齿方向的

截面)齿形是不同的。因此，端面和法面的参数也不同。斜齿轮切齿刀具的选择

及轮齿的切制以法面为准，其法面参数取标准值。而斜齿轮的几何尺寸计算却按

端面参数进行，为此必需建立端面参数与法面参数之间的换算关系。

(1)分度圆柱螺旋角B和基圆柱螺旋角3

斜齿轮分度圆柱螺旋线的切线与其轴线所夹的锐角称为分度圆柱螺旋角，简

称分度圆螺旋角或螺旋角，用B表示。斜齿轮不同截面的齿形参数的关系取决于

螺旋角，且用它表示斜齿轮轮齿倾斜的程度。B和3之间的关系如图所示，将

斜齿轮的分度圆柱和基圆展开，可得

tan£=如？/£tan用=乃*/Z.

其中L为螺旋线的导程，即为螺旋线绕基圆柱一周后上升的高度，斜齿轮任

-圆柱面的螺旋线的导程应相同。因此

Pn=Pt-OS0

即'cos?

故络cosB

法面压力角an与端面压力角at

为了便于分析，用斜齿条说明法面压力角心与端面压力角之间的关系。

在图中，角4,的对边工C和角心的对边工8存在如下关系：

AC=ABcos0

合计到而=而，则有

也叫=至工COM

tanatCC'AB

吉）

tanaM=tanatcosfl

法面齿顶高系数力Z与端面齿顶高系数Kat

关于斜齿轮，其法面齿顶高与端面齿顶高是相同的，因此有：

ha=4)根”=卜；鸣

故：

,♦，♦心,*c

%=%—=%c°s£

叫

同理，其顶隙系数也存在如下关系：

C；COS?

(5)法面变位系数为与端面变位系数乂

斜齿轮的变位距离不管是从法面看还是从端面看均应相同，即

5=%啊,故有：

xt=勺COSB

斜齿轮的法面齿形及当量齿数

由于斜齿轮的强度计算、制造等都是以法面为准，因此需要知道斜齿轮的法

面齿形。但法面齿形比较复杂，不易准确计算。这样可以找一个与斜齿轮法面齿

形相当的直齿轮齿形来近似代替，这个相当的直齿轮称为斜齿轮的当量齿轮。当

量齿轮的齿数称为当量齿数，用Zv表示。

如图所示，过斜齿轮分度圆柱螺旋线上的一点C作轮齿的法截面，此截面将

分度圆柱剖开，其剖面为一椭圆，C点四周的齿形可看作斜齿轮的法面齿形。椭

圆的长半轴a和短半轴b分别为：

b=r;a=r/cos8

式中r为斜齿轮的分度圆半径，

1

r=—mz

2t

椭圆上节点C处的曲率半径P为

Mr

p=—=------

bcos°

一对斜齿圆柱齿轮按其轴平行安装，即组成平行轴斜齿圆柱齿轮机构。它与

直齿轮机构一样，用于传递平行轴之间的运动和动力。

直齿轮啮合时，齿面的接触线与齿轮的轴线平行，如图所示。由于轮齿沿整

个齿宽既同时进入啮合又同时退出啮合，则轮齿上的载荷也是突然加上又突然卸

掉。这样容易引起冲击和振动，不适于高速传动。

一对斜齿轮啮合时，齿面接触线是斜直线，接触线先由短变长，而后又由长

变短，直至脱离啮合。因此，斜齿轮传动较平稳，冲击、振动较小，适用于高速、

重载传动。

(1)正确啮合条件

一对平行轴斜齿轮要正确啮合，除应满足直齿轮的正确啮合条件外，还应确

保两轮啮合的齿向相同。因此，斜齿轮的正确啮合条件为：

①模数相等：川片%2或/〃”=/*

②压力角相等：a“尸a成或otl=at2

③螺旋角大小相等：

其中〃+〃号用于内啮合，表示两轮的螺旋角旋向相同；〃-〃用于外啮合，表示

两轮的螺旋角旋向相反。

(2)连续传动条件

从端面看，斜齿轮的啮合与直齿轮完全一样。但由于斜齿轮的轮齿沿齿宽方

向倾斜了B角度，故当一对轮齿在前端面结束啮合时，该对轮齿在沿齿宽方向的

各个端面内仍在啮合，一直到其后端面结束啮合，这对齿才完成整个啮合过程。

如图所示，上图为直齿轮啮合，轮齿全齿宽b在B2B2位置同时开始啮合，到BB

位置同时脱开啮合；以下图为斜齿轮啮合，B旦线位置表示上端面进入啮合，此

时下端面尚未进入啮合，直到BB线位置表示下端而脱开啮合。因此，斜齿轮一

对齿的实际啮合区比直齿轮增加了4£二市〃£„。这样，斜齿轮的总重合度一由

两部分组成：1)与直齿轮一样的重合度，称为端面重合度£“；2)沿齿宽方向

(轴向)增加的重合度，称为轴面重合度£日。即

式中：端面重合度£°,可用端面啮合角。，和端面齿顶压力角。。.

,2代入式(7.15)求得，即

1、，、、

%=——[zj(tan--tan%)+z?(tan&5-tana)]

2兀*t

轴面重合度EB，应如下计算：

Sa=AL/p^t=btanfib/pbt

故

mncos%

tan/.=tan0cosap=------------

ifdtcosB

由以上分析可知：斜齿轮的重合度大于直齿轮的重合度，随螺旋角B和齿宽

B的增加而增加大，有时可达10。但由于B增大轴向力也增大，对传动不利，如

图所示。通常取3=8^15'o有时为了抵消轴向力，可以采纳由左右对称的斜齿

轮组成的人字齿轮，其B可以增大，一般取6