椭圆及其标准方程(第一课时)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程（第一课时）

一、情景引入问题1用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线，也就是截面与圆锥侧面的交线是一个圆。如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？一、情景引入

用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conicsections).椭圆圆一、情景引入什么是圆锥曲线，圆锥曲线是怎么产生？抛物线双曲线

二、新知探究追问1在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

移动的笔尖（动点）到两定点F1，F2的距离和为定长（绳长）追问2当动点到两定点的距离和与两定点距离的大小关系发生变化时动点的轨迹会发生什么变化？追问3当动点到两定点的距离和恰好等于两定点间的距离时，轨迹是怎么样的？追问4

动点到两定点的距离和能小于两定点间的距离吗？二、新知探究

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距.F1F2M••

追问

椭圆定义中关键要素有哪些？1.在平面内--前提条件；2.两个定点F1,F2的距离为定值2c；3.动点M到两个定点F1,F2的距离之和是定值2a（常数）；4.

问题2你能用精确的数字语言刻画椭圆吗？三、概念生成问题3

遵循解析几何研究几何图形的基本思路，在了解椭圆的概念后，我们下一步应该研究什么？

下面我们根据椭圆的几何特征,选择适当的坐标系,建立椭圆的方程.四、新知探究问题4回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？建系设点列式代换化简类比这个方法，求椭圆的标准方程四、新知探究建立适当的平面直角坐标系设曲线上任意一点M的坐标为(x,y)找出限制条件P(M)，并列出几何等式把坐标代入限制条件P(M)

列出方程化简方程问题5

观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单?建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”F1F2方案二OxyMOxy方案一四、新知探究MF1F2Oxy求椭圆方程的步骤(以方案一为例)(1)建系：(2)设点:(3)列式:(4)代换:(5)化简:F1F2以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0),椭圆的焦距为2c(c>0).M设M(x,y)为是椭圆上的任意一点，点M与焦点F1、F2的距离的和为2a(a>0)|MF1|+|MF2|=2a>2c两边平方整理得追问

那如何化简会比较简便？①四、新知探究两边同时平方得到的结果方便计算吗？即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0移项，得平方，得整理，得平方，得四、新知探究上式两边同时除以

，得

①

你能从图中找出表示

yOxF1F2M四、新知探究

这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2-b2.|MF1|=|MF2|=a，|OF1|=|OF2|=c,|MO|=

那么方程①就是当M在y轴上时，得令的线段吗？问题5如图所示,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别为(0,－c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?F1F2M••xyO由椭圆的定义得：由于得方程x,y交换位置四、新知探究分母哪个大，焦点就在哪个轴上焦点位置的判断：当焦点在x轴上时，标准方程为当焦点在y轴上时，标准方程为四、新知探究归纳总结：a,b,c三者之间的关系：概念辨析下列方程哪些表示椭圆？

若是,则判定其焦点在何轴？解法一:(定义法)你还能用其他方法求它的标准方程吗?试比较不同方法的特点.五、典例解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设椭圆的方程为由椭圆的定义知c=2，则∴所求椭圆的标准方程为.例1：已知椭圆得两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点求它的标准方程.解法二:(待定系数法)五、典例解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设椭圆的方程为依题意，可得方程组为解得∴所求椭圆的标准方程为.例1：已知椭圆得两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点求它的标准方程.六、巩固练习141.如果椭圆

上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）

焦点在x轴上；（2）

焦点在y轴上；（3）

本节课你学会了哪些主要内容？2.椭圆的标准方程：当焦点在x轴上时当焦点在y轴上时1.椭圆的定义：3.椭圆方程的求法：

定义法,待定系数法.七、课堂小结1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点坐标分别为(0,-4)，(0,4)，a=5;(2)