第五章 三角函数（举一反三讲义培优篇）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30第五章三角函数全章十三大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇）【人教A版】题型1题型1象限角及其判定1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）2024°是第几象限角（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解题思路】根据终边相同的角的定义计算判断象限即可.【解答过程】因为2024°=5×360°+224°，所以2024°与224°终边相同，因为224°是第三象限角，所以2024°是第三象限角.故选：C.2．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若α是第二象限角，则90°−α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【解题思路】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可.【解答过程】因为α是第二象限角，所以k⋅360°+90°<α<k⋅360°+180°,k∈Z所以−k⋅360°−180°<−α<−k⋅360°−90°,k∈从而−k⋅360°−90°<90°−α<−k⋅360°,k∈Z所以90°−α是第四象限角．故选：D.3．（2025高一·全国·专题练习）若α是第一象限角，则−α2是（A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【解题思路】根据题意求出−α【解答过程】由题意知，k⋅360°<α<k⋅360°+90°，k∈Z，则k⋅180°<α2<k⋅180°+45°，所以−k⋅180°−45°<−当k为偶数时，−α2为第四象限角；当k为奇数时，所以−α故选：D.4．（24-25高一下·全国·课堂例题）在下列说法中：①0°~90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角.其中说法错误的序号为.【答案】①②④【解题思路】利用象限角的性质判断①③④，举反例判断②即可.【解答过程】对于①，0°,90°角不属于任何象限，故①错误，对于②，120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，故②错误，对于③，钝角α的范围是90°<α<180°，显然是第二象限角，故③正确.对于④，锐角的集合是α|0°<α<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，故④错误.故答案为：①②④.5．（24-25高一·全国·课堂例题）若角α是第二象限角，试确定角2α，α3【答案】2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角；α3【解题思路】根据象限角的表示方法，得到2α和α3【解答过程】因为α是第二象限角，所以90°+k⋅360°<α<180°+k⋅360°(k∈Z可得180°+2k⋅360°<2α<360°+2k⋅360°,k∈Z所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．又由k⋅120°+30°<α当k=3n,k∈Z时，n⋅360°+30°<α3当k=3n+1,k∈Z时，n⋅360°+150°<α3当k=3n+2,k∈Z时，n⋅360°+270°<α3综上所述，α3题型2题型2弧长公式与扇形面积公式的应用1．（24-25高一下·贵州·月考）已知一个扇形的圆心角为π6，且所对应的弧长为π2，则该扇形的面积为（A．π B．3π4 C．π2 【答案】B【解题思路】应用扇形的弧长及面积公式计算求解.【解答过程】设扇形的半径为r，因为扇形的圆心角为π6，且所对应的弧长为π则π2=则该扇形的面积为12故选：B.2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（

A．6 B．6π C．12 D．【答案】C【解题思路】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解.【解答过程】设扇形半径为r，由扇形的圆心角为3rad，面积为24，得24=12所以该扇形的弧长为3r=12.故选：C.3．（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（

）A．1000cm2 B．900cm2 C．【答案】B【解题思路】设AD与BC的延长线交于圆心O，圆心角∠AOB=α，扇形半径OA=r，根据弧长公式结合题意列方程组求出α,r，再由扇形面积公式即可计算得解.【解答过程】如图，AD与BC的延长线交于圆心O，设圆心角∠AOB=α，扇形半径OA=r，则60=αr30=αr−20，解得则该扇面的面积为12.故选：B.4．（24-25高一下·河南南阳·期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为20π3,8π3，AB的长度为6，则扇环【答案】28【解题思路】设BC所在扇形的半径为rr>0，圆心角为α，根据弧长公式求出r【解答过程】设BC所在扇形的半径为rr>0，圆心角为α，则αr=8π所以扇环ABCD的面积为12故答案为：28π5．（24-25高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α=60°，R=10 cm(2)若扇形的周长为20 cm，面积为9(3)若扇形的周长为定值C，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.【答案】(1)50(2)α=(3)当α=2时，扇形面积有最大值，为C【解题思路】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案；（2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案；（3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案.【解答过程】（1）由α=60∘=（2）由Rα+2R=2012αR2=9，解得（3）由2R+αR=C，得R=C则S=1由0<α<2π，则S≤C2当α=2时，扇形面积有最大值C2题型3题型3\t"/gzsx/zj145224/_blank"\o"三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系"三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系1．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）若θ∈(π2,π)A．105 B．55 C．−5【答案】A【解题思路】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得sinθ,【解答过程】因为θ∈(π2,由tanθ=sinθcosθ所以sinθ+故选：A.2．（24-25高一下·北京西城·期中）如果tanα=2，则sinα+2cosA．−45 B．45 C．−【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用正余弦齐次式法求解.【解答过程】由tanα=2，得sin故选：B.3．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知α∈−π2,0，则A．−1 B．−2cosα−1 C．1 【答案】A【解题思路】将sinα1+cosα1−【解答过程】原式=sin因为α∈−π2,0，则故选：A.4．（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知1+sin2α2cos2α+【答案】1【解题思路】化简等式，可求出sin2α,cos【解答过程】因为1+sin所以1+sin所以1=2cos因为sin2所以sin2故答案为：1.5．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知tanθ=2，θ(1)sinθ+(2)sin2(3)sinθ+【答案】(1)3(2)6(3)1−2【解题思路】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可；（2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可；（3）根据同角的三角函数基本关系式求出cos2θ，【解答过程】（1）由tanθ=2，θ则sinθ+（2）由tanθ=2，θ则sin2（3）由tanθ=sinθ因为sin2θ+cos2θ=1则sin2又θ为第三象限角，所以sinθ=−则sinθ+题型4题型4\t"/gzsx/zj145224/_blank"\o"三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系"三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系1．（25-26高一上·全国·课后作业）求证：(1)2cos(2)sin2【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解题思路】（1）利用作差法直接证明即可；（2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证.【解答过程】（1）因为2=2=2cos所以2cos（2）因为左边==2所以原等式成立.2．（24-25高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：(1)sin2(2)21−【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【解题思路】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证；（2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证.【解答过程】（1）左边====cos则恒等式成立.（2）右边==2−2=2=21−则恒等式成立.3．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）求证：(1)1−2sin(2)sin4【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解题思路】（1）利用平方关系和商关系可证结论；（2）利用平方关系可证结论.【解答过程】（1）证明：左边=cos2x+=cos（2）证明：左边=cos2x+sin4．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：2cos（2）求证：1+2sin【答案】（1）2；（2）证明见解析【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明.【解答过程】（1）原式===1+1=2.（2）左边=sin2=sinα+cos所以原等式成立.5．（24-25高一·全国·随堂练习）求证：(1)sin4(2)sin4(3)cosα【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解题思路】（1）利用平方差公式及sin2（2）利用提取公因式及sin2（3）利用通分，因式分解等式的运算结合sin2【解答过程】（1）sin4故sin4（2）sin=sin故sin4（3）cos======2故cosα题型5题型5同角基本关系式和诱导公式的综合应用1．（24-25高一上·全国·周测）已知角α终边上一点P1,2，则sinπ2A．2 B．−2 C．0 D．2【答案】B【解题思路】由三角函数的定义可得出tanα【解答过程】由题意，点P1,2为角α终边上一点，由三角函数定义可得tan所以sinπ故选：B．2．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知tanπ−α=−2，则sinA．2 B．0 C．−25 【答案】C【解题思路】根据诱导公式可得tanα=2【解答过程】由诱导公式可得tanπ−α=−所以sin2α−3sinαcos故选：C.3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知tan7π−α=3，则A．−2 B．−12 C．1【答案】A【解题思路】利用诱导公式，商数关系求解.【解答过程】因为tan7所以tanα=−3所以原式=−故选：A.4．（24-25高一上·全国·周测）若θ为第二象限角，且tanθ−π=−12，则【答案】−4【解题思路】利用正切函数的诱导公式求出tanθ【解答过程】由tanθ−π=−1原式==1+因为θ为第二象限角，所以sinθ>0，且−1≤所以原式=1+故答案为：−4.5．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知fα(1)化简fα(2)若fα=2，求(3)若fα+π3【答案】(1)f(2)−(3)答案见解析【解题思路】（1）根据诱导公式和同角三角函数商的关系化简可得；（2）由齐次式可得；（3）由fα+π3=3同角三角函数得【解答过程】（1）fα（2）由fα=2得故sin2（3）由fα+π3=3得又sin2α+π当α+π3为第一、四象限角时，当α+π3为第二、三象限角时，因sinα−故当α+π3为第一、四象限角时，当α+π3为第二、三象限角时，题型6题型6三角函数的零点问题1．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知函数y=2sinωx−π3(ω>0)在区间πA．13,1∪C．43,7【答案】A【解题思路】综合应用三角函数的图象与性质即可解决.【解答过程】由题意，函数y=2sinωx−π因为x∈π3,由函数y=2sinωx−π得k−1π≤ωπ3−π当k=0时，−1≤ω3−13当k=1时，0≤ω3−13当k=2时，1≤ω3−综上，实数ω的取值范围为13故选：A.2．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）将函数fx=2sin2x+π6的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数gx的图象，若A．5π12,7π12 B．5【答案】B【解题思路】根据三角函数图象平移可得gx，结合三角函数的性质分析可知gx在−m,m的两个零点情况，进而列出关于【解答过程】依题意，gx由x∈−m,m，可得t=2x−因y=2sint在注意到区间−2m−π6,2m−则y=2sint在−2m−π故需使0<2m−π6≤故选：B.3．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）设函数fx=sinωx+φ−12ω>0，若对于任意实数φ，函数A．13,1 B．1,43 C．【答案】B【解题思路】根据题意，将问题转化为研究y=sinωx−12在任意一个长度为【解答过程】因为φ为任意实数，故函数f(x)的图象可以任意平移，从而研究函数fx在区间0,2即研究函数y=sinωx−1令y=sinωx−12=0，得sinωx=12，则它在y轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π故相邻三个零点之间的距离为2πω，相邻四个零点之间的最小距离为所以要使函数fx在区间0,2则需相邻三个零点之间的距离不大于2π，相邻四个零点之间的最小距离大于2即2πω≤2π8π故选：B.4．（24-25高一下·山东淄博·期中）已知函数fx=cos2ωx+π3+1【答案】[【解题思路】由题意可得π3【解答过程】由0≤x≤π，得π又函数f(x)在[0,π所以3π≤2ωπ即ω的取值范围为[4故答案为：[45．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知函数fx(1)求函数y=fx在−(2)若函数y=fx在区间−π2【答案】(1)−π3(2)11【解题思路】（1）根据题意，求得f(x)=2sin（2）由x∈−π2【解答过程】（1）解：由函数fx的图象，可得A=2，T=4×(则ω=2ππ=2将点(7π12解得φ=π3+2kπ(k∈Z)令2kπ−π所以函数y=fx在−π3,π（2）解：因为x∈−π2当−2当2x+π3=0要满足有5个零点，则4π≤2a+π所以实数a的取值范围是116题型7题型7三角函数的图象与性质的综合应用1．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）设函数fx=cosA．fx的一个周期为B．fx在πC．fx+πD．y=fx的图象关于直线x=【答案】B【解题思路】根据fx−2【解答过程】对于A，fx−2π=cosx−2对于B，当x∈π2,π时，x+π3∈5π6函数fx=cosx+π对于C，fx+π=cosx+π+π3对于D，易知fx=cosx+π当k=3时，可得x=−π3+3π=故选：B.2．（24-25高一下·四川泸州·阶段练习）关于函数fx=2sinA．fx的一个周期为π B．fx在区间C．fx的图象关于直线x=π4对称 D．f【答案】D【解题思路】对于AC，可利用反例判断其错误，对于B，根据fx【解答过程】对于A，fπ而fπ4=2故π不是fx对于B，因为f−x=2sin故fx在区间−π4对于C，f−f2π3=2故fx的图象不关于直线x=对于D，令fx=0,x∈−故sinx=0−π<x<π或cos故零点的个数为3，故选：D.3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）若函数fx=sinωx−φ（ω>0，φ<①若ω=3，则函数fx的图象关于直线x=②若fx在区间0,π8上单调递增，则③若fx在区间π,2π内没有零点，则④若fx的图象与直线y=−1在0,2π上有且仅有1个交点，则ω其中，判断正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题思路】由题设可得fx=sinωx−π4，代入验证法判断①；由区间单调性及正弦函数性质有−π4<【解答过程】由T=2πω，则fT=所以φ=π4，故当ω=3，则fπ4=sin3×当x∈0,π8，则ωx−π4所以−π4<当x∈π,2π，则ωx−π4若2ωπ−π若ωπ−π4≥0，则ω≥14所以k=0，可得14综上，ω的取值范围是0,1当x∈[0,2π]又fx的图象与直线y=−1在0,2π上有且仅有1个交点，故所以78≤ω<158，即故选：C.4．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)求fx在区间−(3)若fx在区间0,a上有两个零点，求实数a【答案】(1)fx的最小正周期为π，单调递增区间为kπ(2)fx的最大值和最小值分别为14(3)2π【解题思路】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求出周期，再由y=sin（2）令2x−π3=t∈−5π（3）转化为sin2x−π3=0在0,a上有两个解，求出【解答过程】（1）因为fx=12sin令2kπ−π2≤2x−π3可得fx的单调递增区间为kπ−（2）由题意x∈−π4,π又t∈−5π6,π故fx的最大值和最小值分别为14，（3）fx在区间0,a等价于12sin2x−π3=0在由x∈0,a，得2x−要想sin2x−π3则π≤2a−π3故a的取值范围为2π35．（24-25高二下·新疆塔城·期中）已知fx(1)求函数fx(2)求fx(3)当x∈π4,【答案】(1)最小正周期为π，对称轴方程为x=(2)单调增区间为[k(3)最大值为1，最小值为−【解题思路】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果；（2）利用整体代入法即可求出函数单调区间；（3）根据x∈[π4,3π【解答过程】（1）最小正周期T=π，令2x+所以x=kπ2（2）令2kπ所以kπ−3π8（3）当x∈[π4,所以−1≤sin(2x+π当2x+π4=当2x+π4=所以当x∈[π4,3π4]题型8题型8\t"/gzsx/zj145229/_blank"\o"三角形中的三角恒等式"三角形中的三角恒等式1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在△ABC中，若sinBsinC=cos2A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【解题思路】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.【解答过程】由sinBsinC=cos2A2⇒所以：cosBcosC+sinB因为B,C为三角形内角，所以B=C.所以△ABC为等腰三角形.故选：A.2．（24-25高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】C【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得sinA【解答过程】因为coscos所以sinA因为sin则−又A+B=π所以cosC=−所以−所以cosA−B又A,B为△ABC的内角，所以A−B=0.所以A=B，故△ABC为等腰三角形.故选：C.3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在△ABC中，sinC=sinA+sinBA．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】B【解题思路】利用三角公式得到cosC=0，求出C=90°【解答过程】在△ABC中，因为sinC=所以sinC即sinC展开，整理化简得：cosC因为A,B为三角形内角，所以sinA+sinB≠0因为C为三角形内角，所以C=90°，所以△ABC为直角三角形.故选：B.4．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）在△ABC中，若sinA=2sinCcosB【答案】等腰三角形【解题思路】利用公式sinA=【解答过程】∵A+B+C=180∴sin代入条件可得sinCcosB−即C−B=0⇔C=B，所以三角形是等腰三角形.故答案为：等腰三角形.5．（24-25高一·上海·假期作业）在△ABC中，①若sinB+C2=45，求【答案】725【解题思路】①将C=π−A−B代入已知条件，利用诱导公式化简即可求cosB−A②利用二倍角公式降幂，然后利用cosC=−【解答过程】①sinB+所以cos(A−B)=②由二倍角公式可得sinA即2sin所以2所以cosA即cosA−B因为0<A<π，0<B<π，所以−π<A−B<π，所以A−B=0，A=B，所以△ABC是等腰三角形.题型9题型9三角恒等变换的综合应用1．（2025·四川绵阳·一模）已知θ为第一象限角，且tanθ+π3+tanA．9 B．3 C．13 D．【答案】B【解题思路】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出tanθ=【解答过程】由题意知θ为第一象限角，且tanθ+故tanθ+tanπ31−则1−cos故选：B.2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知2sin2α+sin2αA．−15 B．15 C．−5【答案】B【解题思路】用二倍角公式、商数关系结合已知求得tanα=【解答过程】因为2sin所以2tan2α+2即2tan2α−tanα−3=0，且1−所以tanα+故选：B.3．（2025·山东淄博·二模）设β∈(0,π2)，若sinα=3sinA．−24 B．24 C．−【答案】A【解题思路】先对sinα=3sinα+2β【解答过程】由sinα=3sin(α+2β)则sin(α+2β)cos2β−因此tan(α+2β)=sin2β而tanβ=22故选：A.4．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算cos220∘+【答案】2【解题思路】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化简分子，求得结果.【解答过程】分母===1−==3分子======3所以原式=3故答案为：2.5．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）设α，β都是锐角，且cosα=3(1)求2cos(2)求cosβ【答案】(1)-5(2)3365或【解题思路】（1）方法一：首先根据平方关系求得sinα的值，再将待求式子分子分母同乘sin方法二：首先根据半角公式求解sinα2及（2）首先根据sin(α+β)=1213，利用平方关系求得cos【解答过程】（1）方法一，因为α是锐角，cosα=352=4方法二，因为0<α2<π42cos（2）因为sinα+β=12若cosα+β则cos=−5若cosα+β则cosβ=cos=5故cosβ=3365题型10题型10结合三角函数的图象变换求三角函数的性质1．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数fx=sin2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度得到函数gx的图象，以A．π,0 B．C．π3,0 【答案】D【解题思路】利用函数图象平移规则得出g(x)的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果.【解答过程】如图，不妨取y轴右侧的连续三个交点，分别记为A,C,B,gx=sin2x−φ由△ABC的面积为3π2及对称性知，12进而Aπ3,32即sin2π3−2φ=所以gx=sin解得x=π6+kπ所以π6,0是函数故选：D.2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数fx=2sin4x−π3的图象向右平移π3A．图象关于直线x=πB．曲线gx与直线y=3C．gx的一个单调递增区间为D．图象关于点π6【答案】B【解题思路】先根据平移变换的知识求出gx，根据三角函数的对称性性质将x=π3和x=π6代入gx求值检验即可判断选项AD；根据函数gx图象结合g【解答过程】因为fx−所以fx向右移π3个单位得函数解析式为又y=2sin4x+π所以gx对于A，因为gπ3=2sin2×对于B，因为g0所以由gx=2sin2x+π相邻交点距离的最小值为π6对于C，令2kπ所以当k=0时gx的单调递增区间为−对于D，因为gπ6=2sin2×故选：B.3．（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数y=sinx图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的1ωω>0，再向左平移π5个单位，得到函数f①fx的图象关于点−π5,0对称；

②③fx在0,π5内单调递减；

④ω所有真命题的序号是（

）A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④【答案】B【解题思路】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数fx的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出ω【解答过程】因为函数y=sinx图象上各点横坐标变为原来的1ωω>0倍，再向左平移所以函数fx的解析式为：f(x)=当x∈0,2π时，因为函数fx在0,2π上有且只有5个零点，所以2kπ<ω因为10k−10k+3011=所以当k=0时，0<ω≤51125≤ω<当k∈N∗时，10k−10k+30此时不等式组的解集为空集，故④正确；①：因为f(−π5)=sin(−故本命题是真命题；②：因为x∈0,2π，所以又因为2511≤ω<3011，所以即当ω=2.5π时，ω③：因为x∈0,π5又因为2511≤ω<3011，所以故选：B.4．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数f(x)=sinx的图象向右平移π6个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则【答案】π3+k【解题思路】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数y=g(x)，再由正弦函数的性质求解.【解答过程】将函数f(x)=sinx的图象向右平移π6再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，可得g(x)=令π2+2kπ解得π3+kπ则g(x)的单调递减区间为π3+kπ故答案为：π3+kπ5．（24-25高一下·广东江门·期中）已知函数fx=Asinωx+φ+B（A>0(1)求fx(2)求fx(3)若将fx的图象向右平移π3个单位，再向上平移1个单位得到gx的图象，当x∈【答案】(1)f(x)=2(2)单调递增区间是[kπ−(3)[−2,【解题思路】（1）利用函数图象列出A+B=1−A+B=−3，解得A，B，结合函数的周期，求解ω，利用函数的最大值求解φ（2）利用正弦函数的单调性求解函数的单调区间即可；（3）求出g(x)=f(x−π3)+1=2【解答过程】（1）由图象可知：A+B=1−A+B=−3，解得：A=2，B=−1又由于T2=7π12由图象知f(π12)=1，sin所以2×π12+φ=π2（2）由2kx−π2≤2x+π3≤2kπ∴函数的单调递增区间是[kπ−5（3）依题可得g(x)=f(x−π3)+1=2则2x−π3∈[−即g(x)的值域为[−2,3题型11题型11函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）将函数y=sinx−3cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的12，再将图象向左平移φ个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，其中A．5π12 B．π12 C．π【答案】A【解题思路】根据辅助角公式化简可得y=2sinx−π3，根据图象变换可得新函数的解析式为y=2sin【解答过程】y=sinx−3因为新函数图象关于y轴对称，所以2φ−π3=因为0<φ<π2，所以故选：A.2．（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知函数fx=3A．函数fx的最小正周期为B．函数fx的最大值为C．把函数fx的图象向右平移π6个单位长度得D．函数fx在区间π【答案】D【解题思路】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而判断各选项.【解答过程】fxA选项：函数fx的最小正周期为T=B选项：fx=2sinC选项：把fx的图象向右平移π6个单位可得D选项：fx=2sin2x+π解得π6+kπ即函数fx的单调递减区间为π6+k又π6,π所以函数fx在π故选：D.3．（24-25高一下·天津和平·期末）已知函数fx=sin5π12−2x+sinπ12+2x，将fx的图象向左平移θ（θ>0A．π6 B．π4 C．π3【答案】A【解题思路】先利用三角恒等变换化简fx，根据图象变换求出gx的解析式，进而根据【解答过程】由题意可得f=2所以gx因为gx与fx的图象关于所以f−x=gx所以−2x+π3+2x+2θ+又由θ>0可得θ的最小值为π6故选：A.4．（24-25高一上·山西太原·期末）已知f(x)=23(1)求f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在π【答案】(1)π(2)−3,【解题思路】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简fx（2）先由平移变换得到gx【解答过程】（1）f(x)=2令π2+2kπ故f(x)的单调递减区间为π3（2）由题意得gx因π6≤x≤7π8可得−3≤2cos故gx在π6,5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知定义域为R的函数y=fx的解析式为f(1)求函数y=fx(2)已知方程fx=a在区间−π(3)将函数y=fx的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数y=gx的图象．函数y=hx的解析式为hx=mfx−m，x∈【答案】(1)π(2)3(3)−【解题思路】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简fx（2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可；（3）利用函数的平移变换求出gx，按m的正负分情况讨论h【解答过程】（1）由题意可得f(x)=4=4=sin所以T=2（2）由（1）可知，当x∈−π4

方程fx=a有两个不同的解，由正弦函数的图象可知（3）将函数y=fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2可得y=2sin纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18可得y=2sin3x−当x1∈0,π3当x2∈π6,因为h(x)=mf(x)−m=m①当m>0时，h(x)∈−m,m由题意可得−1,2⊆则−1≥−m2≤m3−1，解得m≥1②当m<0时，h(x)∈m由题意可得−1,2⊆则−1≥m3−12≤−m，解得m≤−综上所述，m∈−题型12题型12三角函数的应用1．（24-25高一下·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位H（单位：m）随时间t（单位：h,0≤t<24）的变化近似满足关系式Ht=A+BA．12h B．14h C．16h D．18h【答案】C【解题思路】根据最值求得A=10,B=4,【解答过程】由题知A+B=14,A−B=6,解得A=10,B=4,所以令Ht≥8，即sinπ12t−由正弦函数图象与性质可知，−π6≤所以该港口一天内水位不小于8m的时长为22−6=16小时．故选：C.2．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asinωt+φA>0,ω>0,0<φ<π2A．−5安 B．5安 C．−53安 D．5【答案】D【解题思路】通过函数的图象求出A,T，然后利用周期公式求出ω，将点1300,10代入表达式，即可求出φ的值，得到函数解析式，代入【解答过程】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和−10，可得A=10.由周期T=150=再将点1300,10代入I=10sin所以π3+φ=π因为0<φ<π2，所以k=0时，φ=π将t=1200代入得，故选：D.3．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则下列结论错误A．点P再次进入水中用时20sB．当水轮转动25s时，点P处于最低点C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面2D．点P第三次到达距水面1+3【答案】D【解题思路】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得.【解答过程】由题意，角速度ω=2又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为π6，点P当水轮转动25秒时，半径OP0转动了25×π15=当水轮转动28.75秒时，由于28.75=25+3.75，又ω×3.75=π4，所以距水面高度为逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为1+3所以第三次到达距水面高度为1+3m时需要转动一周后再逆时针转动π6所以点P第三次到达距水面1+3故选：D．4．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y=sin(ωt+φ)(ω>0,φ<π)，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0<【答案】1【解题思路】利用已知条件可求得周期T，再借助正弦曲线即可求解.【解答过程】∵该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0<t1∴T=t3−t1=3，∵T=2由y>0.5可得sin(∴2kπ+π∴3k+∴在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.故答案为：1.5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点P0

(1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数；(2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？【答案】(1)y=6(2)5s【解题思路】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角φ∈−π2,0是以Ox为始边，OP0为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为（2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动2π【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系，设角φ∈−π2,0是以易知OP在xs内所转过的角为4×2π

故点P的纵坐标为6sin2π当x=0时，y=0，可得sinφ=−12则y=6sin（2）在转动的一个周期T内，点P在水中转动2π3，而故点P在水中的时间是T3题型13题型13三角函数的新定义问题1．（24-25高一上·四川巴中·期末）定义运算a    bc    d=ad−bc，如果fx=10                 5A．π2 B．π C．3π2【答案】C【解题思路】根据2cosφ=3tanφ，利用切化弦和同角三角函数关系转化成sinφ【解答过程】f(x)=10因为2cosφ=3tan即2cos2φ=3所以(sinφ+2)(2sinφ−1)=0，解得而0<φ<π2，所以即f(x)=10sin而y=f(x)的图象的一条对称轴为x=π所以10sin即ω×π4+解得ω=43+4k所以正数ω取最小值为43，此时函数f(x)的最小正周期为2π故选：C．2．（24-25高一下·吉林·期末）对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为函数f(x)的“下确界”.若函数f(x)=3cos2x−π3+1，x∈−πA．−π6,π2 B．−π【答案】A【解题思路】由下确界定义，f(x)=3cos2x−π3+1【解答过程】由题意f(x)=3cos2x−π3+1又f(−π由3cos(2x−π2kπ−2π3≤2x−k=0时，−π所以−π故选：A．3．（24