第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三讲义培优篇）高一数学人教A版2019必修第一册（解析版）

2/30第一章集合与常用逻辑用语（举一反三讲义·培优篇）【人教A版（2019）】题型1题型1集合中元素的个数问题1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合A=yy=4A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解题思路】x∈Z，4x+3∈Z，x+3可能的取值为±1,±2,±4，分别代入可得【解答过程】因为x∈Z，所以x+3∈Z．又y∈Z，所以4x+3所以x+3可能的取值为±1,±2,±4，分别代入可得A={±4,±2,±1}，所以集合A中共有6个元素．故选：D.2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合A=xmx2−2x+3=0,m∈R，若A．(−∞,0)∪(0,1C．(−∞,0)∪(0,1【答案】A【解题思路】利用集合A的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得.【解答过程】由集合A中恰有2个元素，得方程mx因此m≠0Δ=4−12m>0，解得m<1所以m的取值范围是(−∞故选：A.3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知x,y,z为非零实数，代数式xx+yy+zz【答案】3【解题思路】针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论即可.【解答过程】当x,y,z都为正数时，xx当x,y,z中有两个正数时，不妨设x>0,y>0,z<0，则xx当x,y,z中有一个正数时，不妨设x>0,y<0,z<0，则xx当x,y,z都为负数时，xx所以M=−4,0,4所以M中元素个数为3．故答案为：3.4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知U⊆R为一个数集，集合A={s(1)设U=1,3(2)设U=Z，证明：若x∈A，则7【答案】(1)8个；(2)证明见解析．【解题思路】（1）需要对s,t的取值进行分类讨论，然后计算出s2（2）设x=s2+【解答过程】（1）s=t=1时，ss=t=3，ss=t=5，ss=1，t=3时，s=3，t=1时，s=1，t=5时，s=5，t=1时，s=3，t=5时，s=5，t=3时，所以A=4（2）因为x∈A，所以设x=s2+∴7x∈A，所以得证．5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合A=x(1)当a=2时，A中只有一个元素，求b的值；(2)当b=2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)b=±2(2)a=0或a≥1【解题思路】（1）借助根与系数的关系计算即可得；（2）分a=0及a≠0进行讨论，若a=0，可计算出结果，若a≠0，则需借助根与系数的关系计算.【解答过程】（1）当a=2时，A=x由A中只有一个元素，则有Δ1=b（2）当b=2时，A=x由A中至多有一个元素，故A中可能没有元素或1个元素，当a=0时，A=x当a≠0时，对axΔ2=4−4a≤0，解得综上所述：a=0或a≥1.题型2题型2根据元素与集合的关系求参数1．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知集合A=−1,a2−2a+1,a−4，若4∈A，则A．−1，3 B．−1 C．−1，3，8 D．−1，8【答案】D【解题思路】由集合与元素的关系分类讨论即可求解.【解答过程】由题意若a2−2a+1=4，解得a=3或a=−1，若a−4=4，解得当a=−1时，A=−1,4,−5当a=3时，A=−1,4,−1当a=8时，A=−1,4,49综上所述，a的值可能为−1，8.故选：D.2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合A=x2mx−3>0,m∈R，若1∉A且3∈A，则实数mA．12,32 B．12,【答案】A【解题思路】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果.【解答过程】由1∉A且3∈A，得2m−3≤0,解得12故选：A．3．（24-25高一上·山东·期中）设集合M=2,3,a2−3a,a+2a+7，N=a−1,3，已知【答案】−2【解题思路】利用元素与集合的关系，分类讨论a2−3a=4与【解答过程】因为M=2,3,a2−3a,a+2a+7若a2−3a=4，解得a=4或当a=4时，此时a+2此时N=3,3当a=−1时，此时a+2此时M=2,3,4,4若a+2a+7=4，，解得a=−1前面已经分析a=−1不满足要求，当a=−2时，此时a2此时集合M={2,3,10,4}，N=−3,3综上，a=−2，所以a的取值集合为−2.故答案为：−2.4．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合A中有三个元素：a−3，2a−1，a2+1，集合B中也有三个元素：0，1，(1)若−3∈A，求实数a的值；(2)若x2∈B，求实数x【答案】(1)a的值为0或−1(2)x的值为−1【解题思路】（1）若−3∈A，则a−3=−3或2a−1=−3，再结合集合中元素的互异性，能求出a的值．（2）当x取0，1，−1时，都有x2∈B，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数【解答过程】（1）集合A中有三个元素：a−3，2a−1，a2+1，∴a−3=−3或2a−1=−3，解得a=0或a=−1，当a=0时，A={−3，−1，1}，成立；当a=−1时，A={−4，−3，2}，成立．∴a的值为0或−1．（2）集合B中也有三个元素：0，1，x，x2当x取0，1，−1时，都有x2∵集合中的元素都有互异性，∴x≠0，x≠1，∴x=−1．∴实数x的值为−1．5．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合A=x(1)若1∈A，求a的值；(2)若A中只有一个元素，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【答案】(1)a=−3(2)a=0或a=1时，(3)a|a=0或a≥1【解题思路】（1）将x=1代入方程中即可求解，（2）（3）将问题转化为：关于x的方程ax2+2x+1=0【解答过程】（1）由于1∈A，所以x=1是ax2+2x+1=0的实数根，故（2）当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时x=−1当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，Δ=4−4a=0，即故当a=0或a=1时，原方程只有一个解，此时A只有一个元素．（3）若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由（1）知当a=0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2+2x+2=0为一元二次方程，Δ=4−4a<0，即a>1时，Δ=0，即a=1时，方程有两个相等的根，AA中最多有一个元素，a|a=0或a≥1.题型3题型3有限集合子集、真子集的确定1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设A=xx2−8x+15=0，B=xax−1=0，若A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解题思路】先解出集合A，再由A∩B=B得到B⊂A，最后根据包含关系求出实数a即可；【解答过程】A=x因为A∩B=B，所以B⊂A，所以B=∅,3对应实数a的值分别为0,1其组成集合的子集个数为23故选：D.2．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合M为非空集合，且M⊆x∈N∣x≥3，若m∈M，则72m∈M，满足上述条件的集合MA．12 B．15 C．31 D．32【答案】B【解题思路】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合M中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果.【解答过程】∵72=3×24=4×18=6×12=8×9，∴满足“m∈M，则72m∈M”的M的集合是但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，∴将集合3,24,4,18,6,12,8,9看作有4个元素，求其非空子集个数为：24故选：B.3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若A=1,2,3，B={x|x=mn,m∈A,n∈A,m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为【答案】6【解题思路】用穷举法求出集合B=2,3,6，再求集合B【解答过程】由题意，当m=1，n=2或n=3时，mn=2或mn=3；当m=2，n=1或n=3时，mn=2或mn=6；当m=3，n=1或n=2时，mn=3或mn=6；综合以上可知，B=2,3,6所以集合B的非空真子集的个数为23故答案为：6.4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合A=s(1)设U={1,3,5}，求：集合A的非空真子集个数；(2)设U=Z，证明：若x∈A，则7x∈A【答案】(1)254(2)证明见解析【解题思路】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数；（2）结合条件设x=s2+3t2【解答过程】（1）当s=t=1时，s2+3t2=4当s=t=5时，s2+3t2=100当s=3,t=1时，s2+3t2=12当s=5,t=1时，s2+3t2=28当s=5,t=3时，s2所以A=4,12,28,36,52,76,84,100，它有8个元素，有2（2）因为x∈A，所以设x=s所以7x=7s5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=x∈(1)若b=4，存在集合M使得P为M的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.【答案】(1)−4(2)b【解题思路】（1）确定P=∅，并求出集合Q，写出Q的真子集即得；（2）分类讨论，P=∅时满足题意，P≠∅时，由集合Q中的元素属于集合P，分别代入求出参数b，得集合P检验即可．【解答过程】（1）当b=4时，方程x2−3x+b=0的根的判别式Δ=又Q=x∈Rx+1由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为−4,（2）当P=∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2有Δ=9−4b<0，所以b>当P≠∅时，因为Q=−4,−1,1，所以当−1∈P−12−3×−1+b=0，即因为4∉Q，所以P不是Q的子集；同理当−4∈P时，b=−28，P=7,−4，也不是Q当1∈P时，b=2，P=1,2，也不是Q综上，满足条件的b的取值范围是bb>题型4题型4根据集合间的关系求参数1．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合A=−1,1，集合B=x|x2−2ax+1=0，若B≠∅，B⊆AA．−1 B．0 C．1 D．±1【答案】D【解题思路】根据B≠∅，B⊆A，对B进行分类讨论，由此求得a的值.【解答过程】当B=−1时，x2−2ax+1=0则Δ=(−2a)2−4=0当B=1时，x则Δ=解得a=1；当B=−1,1时，x2−2ax+1=0则Δ=(−2a)综上：a=±1.故选：D.2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合A=x−1≤x≤3，集合B=x1−m≤x≤1+m.若B⊆A，则A．mm≤2 B．C．mm≤0 D．【答案】A【解题思路】由题意，分B=∅和B≠∅两种情况讨论即可.【解答过程】因为B⊆A，①当B=∅时，1−m>1+m，解得m<0，②当B≠∅时，1−m≤1+m1−m≥−1解得0≤m≤2，综上所述，m的取值范围是为：mm≤2故选：A.3．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合A=x−1≤x≤4，B=xa−1≤x<2a−3，且满足B⊆A，则实数【答案】a【解题思路】结合B⊆A，分B=∅，B≠∅两种情况讨论求解即可.【解答过程】当B=∅时，a−1≥2a−3，即a≤2，满足B⊆A；当B≠∅时，有a−1<2a−3a−1≥−12a−3≤4，解得综上所述，实数a的取值范围是aa≤故答案为：aa≤4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合A=x(1)若A⊆∅，求实数a的取值集合.(2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合.(3)若1∈A且B⊆A，求实数b的取值集合.【答案】(1)a(2)0,3(3)0,−1,3【解题思路】（1）根据A⊆∅，可得A=∅，再分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（2）由题意可得集合A中只有一个元素，再分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（3）先根据1∈A求出a，进而求出集合A，再分b=0和b≠0两种情况讨论即可.【解答过程】（1）因为A⊆∅，所以A=∅，当a=0时，则A=−当a≠0时，则Δ=36−12a<0，解得a>3综上所述，实数a的取值集合为aa>3（2）因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素，当a=0时，则A=−当a≠0时，则Δ=36−12a=0，解得a=3综上所述，实数a的取值集合为0,3；（3）因为1∈A，所以a+6+3=0，解得a=−9，所以A=x当b=0时，B=∅⊆A，当b≠0时，B=−因为B⊆A，所以−1b=−13或−综上所述，实数b的取值集合为0,−1,3.5．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合A=x1≤x≤2，(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A=B，求a的值.【答案】(1)2,+(2)1,2(3)2【解题思路】（1）由真子集的定义，确定a的取值范围；（2）由子集的定义，确定a的取值范围；（3）由集合相等求出a的值.【解答过程】（1）

若A是B的真子集，则由图知，a>2，故a的取值范围为2,+∞（2）

若B是A的子集，已知a≥1，则B≠∅，则由图知，1≤a≤2，故a的取值范围为1,2.（3）若A=B，则a=2.题型5题型5交、并、补集的混合运算1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）设全集U=−2,−1,0,1,2，集合A=−2,1，B=xx2A．−2,1,0 B．−2C．1 D．−2,−1,1,2【答案】B【解题思路】确定B=0,1，∁【解答过程】B=xx2−x=0=A=−2,1，故A∩故选：B.2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集U=−2,−1,0,1,2,3,4，集合A=x∈Zx2−x<6，B=−2,0,1,3，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①−1,2②∁A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可.【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为∁A∪BB，因为A=x∈Z−2<x<3所以A∩∁∁U所以正确的有3个.故选：C.3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知全集U=R，集合A=x−1≤x≤3，集合B=x【答案】x【解题思路】根据集合交集和补集的概念求解即可.【解答过程】因为全集U=R，集合A=x−1≤x≤3所以A∩B=x0≤x≤2，故答案为：xx<04．（24-25高一上·河北唐山·期中）设集合A=x0≤x−a≤2，(1)当a=3时，求∁RA∪B，(2)若A⊆B，求a的取值范围.【答案】(1)∁RA∪B=x|x≤2或x>8(2)a|2<a≤6【解题思路】（1）根据题意可知A=x（2）分析可知A≠∅，根据包含关系列式求解即可.【解答过程】（1）由题意可得：A=x当a=3时，则A=x可得A∪B=x2<x≤8，所以∁R又因为∁RA=x|x<3或x≥5所以∁（2）显然A≠∅，若A⊆B，则a>2a+2≤8，解得2<a≤6所以a的取值范围为a|2<a≤6.5．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）已知全集U=x∈N*|x<9，A=x|(1)列举法表示集合U、A、B、C；(2)求A∪B∩C(3)求∁UA∩【答案】(1)答案见解析(2)1,2,3,4,5(3)6,7,8；1,2,6,7,8【解题思路】（1）根据描述法所给集合，用列举法求出集合U､（2）根据集合的交集、并集运算得解；（3）根据集合的交并补的概念进行计算即可.【解答过程】（1）全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，集合A=集合B=x∣1≤x≤5,x∈Z集合C={x∣2<x<9,x∈Z}=3,4,5,6,7,8（2）∵B∩C=3,4,5∴A∪B∩C（3）∵∁∴∁题型6题型6集合混合运算中的求参问题1．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合P=x∣−2≤x≤10,Q=x∣1−m≤x≤1+m.若Q∩∁RA．m≤3 B．m≥9 C．m≤3或m≥9 D．3≤m≤9【答案】A【解题思路】由Q∩∁RP=∅，得到Q⊆P，分Q=∅【解答过程】由Q∩∁R分两种情况考虑：①当1−m>1+m，即m<0时，Q=∅，符合题意；②当1−m≤1+m，即m≥0时，需1−m≥−21+m≤10解得：0≤m≤3，综上得：m≤3，则实数m的取值范围为−∞故选：A.2．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知U=R，集合A=xx2−x−2=0，B=x|mx+1=0，A．−12或1 B．−12或0 C．1或0 D．【答案】D【解题思路】求出集合A中方程的解确定A，即可求出∁UA，根据B∩∁UA【解答过程】由题可知，A={2,−1}，则∁UA={x|x≠−1或因为B=x|mx+1=0所以当m=0时，B=∅，则B∩∁当m≠0时，B={−1由B∩∁UA=∅知，−1m=−1综上所述，实数m为0或1或−1故选：D．3．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知集合A=xa<x<2a−1,集合B=yy>0，集合C=xx≥1【答案】a|a≤1【解题思路】通过集合运算得出(CRB)∪C，对集合A进行分类讨论，A=∅【解答过程】∵B=yy>0∴(∵(当a≥2a−1时，a≤1，A=∅满足题意.当a<2a−1时，a>1时，a≥02a−1≤1解得综上所述，a≤1.故答案为：a|a≤1.4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A=x|m<x<2m，B={x|x≤−5或x>4}(1)当m=3时，求A∪∁(2)在①A⊆∁RB；②A∩B=∅；③A∩【答案】(1)A∪(2)m|m≤2.【解题思路】（1）求∁R（2）若选①，分析A=∅和A≠∅，利用子集的概念即可得到结果.若选②，分析A=∅和A≠∅，利用A∩B=∅即可得到结果.若选③：由A∩∁RB【解答过程】（1）当m=3时，A=x|3<x<6因为B={x|x≤−5或x>4}，所以∁R故A∪∁（2）若选①：当A=∅时，m≥2m，m≤0，A⊆∁当A≠∅时，m>0，由A⊆∁RB可得m≥−52m≤4，解得综上，m的取值范围是m|m≤2.若选②：当A=∅时，m≥2m，m≤0，A∩B=∅成立.当A≠∅时，m>0，由A∩B=∅可得m≥−52m≤4，解得−5≤m≤2，所以0<m≤2综上，m的取值范围是m|m≤2.若选③：由A∩∁RB当A=∅时，m≥2m，m≤0，A⊆∁当A≠∅时，m>0，由A⊆∁RB可得m≥−52m≤4解得综上，m的取值范围是m|m≤2.5．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合A=x|x<−3或x>7，B=(1)若∁RA∪B=(2)若∁RA∩B=x|a≤x≤b，且【答案】(1)m|m≤4(2)m|3≤m≤5【解题思路】（1）根据并集结果可得B⊆∁RA，分别讨论B=∅（2）由交集结果可知B≠∅，分别讨论2m−1<7、2m−1>7m+1≤7和m+1>7，根据b−a≥1【解答过程】（1）由题意知：∁R因为∁RA∪B=①当B=∅，即m+1>2m−1时，满足B⊆∁RA②当B≠∅，若B⊆∁RA，则m+1≤2m−1综上所述：m的取值范围为m|m≤4（2）因为∁RA∩B=x|a≤x≤b，且b−a≥1，故解得m≥2，则m+1≥3，2m−1≥3；①当2m−1≤7，即m≤4时，∁R故2m−1−m+1≥1，解得②当2m−1>7m+1≤7，即4<m≤6时，∁故7−m+1≥1，解得③当m+1>7，即m>6时，∁R综上所述，m的取值范围为m|3≤m≤5.题型7题型7集合中的新定义问题1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）对于集合M，N，定义M−N=xx∈M,x∉N，M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A=x|x≥−94,x∈RA．x|−94<x<0,x∈C．x|x<−94或x≥0,x∈【答案】C【解题思路】根据M−N=xx∈M,x∉N与【解答过程】集合A=x|x≥−94则∁RA=x|x<−由定义可得：A−B=x|x∈A且x∉B=A∩∁RB=所以A⊕B=A−B选项ABD错误，选项C正确．故选：C.2．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集A⊆R，同时满足如下两个性质：（1）若a,b∈A，则ab∈A；（2）若a∈A，则1a∈A．则称①若A为一个“封闭集”，则1∈A；②若A为一个“封闭集”且a,b∈A，则ab③若A,B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A；④若A,B都是“封闭集”，则A∪B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A．正确的是（

）A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④【答案】D【解题思路】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可.【解答过程】对于①，因为A为一个“封闭集”，由定义可知a∈A则1a∈A，那么对于②，因为A为一个“封闭集，a,b∈A，所以1b∈A，所以对于③，A={12,1,2},B={13,1,3}，对于④，充分性：A,B都是“封闭集”，若A⊆B或B⊆A，易知A∪B是“封闭集”，必要性：若A∪B是“封闭集”，令A∪B=C,假设A⊄B且B⊄A．则存在a∈A,a∉B,b∈B,b∉A,同时a∈C,b∈C,因为A∪B=C是“封闭集”，所以ab∈C,1ab若ab∈A,又a∈A,则1a∈A,所以若ab∉A,又b∈B,则1b∈B,所以故假设不成立，原结论A∪B是“封闭集”则A⊆B或B⊆A．必要性成立，故正确；故选：D.3．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合A=x,y|x≤1,y≤1,x,y∈Z,B=【答案】63【解题思路】根据题意，得到集合A中有9个元素，集合B中有35个元素，进而得到x1+x2有9个值，【解答过程】A=x,y|x即图中正方形FGHI内部及其正方形FGHI边上的整点，集合B=x,y|x即图中长方形ABCD内部及其长方形ABCD边上的整点，所以x1+x2=−4或−3或−2或−1或0或1y1+y2=−3或−2或−1或0或1所以A⊕B=x1+x2故答案为：63.

4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1.设全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0<a≤b<3且a∈Z,(1)求集合U；(2)求集合A；(3)集合A,B是否能满足∁UA∩B=∅【答案】(1)U=3,4,9(2)A=9(3)集合A,B能满足∁UA∩B=∅，实数m【解题思路】（1）根据新定义运算可得U=xx=ab+ab+1,0<a≤b<3,a,b∈Z，分（2）根据新定义运算可得4a⊕b+a⊗b（3）易知∁UA=3,4，假设集合A,B能满足∁UA∩B=∅，则【解答过程】（1）因为对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=a全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0<a≤b<3所以U=因为0<a≤b<3,a,b∈Z，所以a=1,b=1，或a=1,b=2，或a=2,b=2.当a=1,b=1时，ab+a当a=1,b=2时，ab+a当a=2,b=2时，ab+a所以U=3,4,9（2）4a⊕b因为0<a<b<3且a∈Z,b∈Z，所以a=1,b=2，所以4所以A=9（3）因为U=3,4,9，A=9，所以假设集合A,B能满足∁U则B=∅，或3∉B且4∉B.又B=x当B=∅时，Δ=−32当3∈B时，32−3×3+m=0，解得当4∈B时，42−3×4+m=0，解得所以若3∉B且4∉B，则m≠0且m≠−4.综上所述，实数m的取值范围为mm>所以集合A,B能满足∁UA∩B=∅，实数m5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合A中含有三个元素x,y,z同时满足（1）x<y<z（2）x+y>z（3）x+y+z为偶数，则称集合A具有性质P.已知集合Sn={1,2,3,⋯,2n}n∈N∗,n≥4，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个互不相同的元素a,b,c,使得(1)判断集合A={1,2,3,5,7}是否具有性质P，说明理由;(2)若集合B={3,4,a}具有性质P，证明：集合B是S4(3)证明：集合M具有性质P的充分条件是集合M是集合Sn【答案】(1)不具有性质P，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解题思路】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；（2）首先根据性质P，确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合B是集合S4（3）存在三个互不相同的a,b,c,，使得a+b,b+c,c+a均属于M,证明满足性质的三个条件即可.【解答过程】（1）集合A={1,2,3,5,7}不具有性质P，理由如下:从A任取三个元素x,y,z均为奇数时，x+y+z为奇数，不满足③，有一个为2时，不妨令y=2,x<z，则z−x≥2=y⇒x+y≤z，不满足②，综上，集合A={1,2,3,5,7}不具有性质P.（2）因为集合B={3,4,a}具有性质P，所以3+4+a是偶数，a必为奇数.当a<3<4时，由a+3>4⇒a>1，则a=2，不合题意;当3<4<a时，由3+4>a⇒a<7，则a=5，或a=6（舍去）;所以a=5，所以B={3,4,5}具有性质P，而S4={1,2,3,4,5,6,7,8},S4中的元素1，2，3满足:1+2=3∈B,1+3=4∈B,2+3=5∈B，集合（3）当集合M是集合Sn的“期待子集”时，则在Sn中存在三个互不相同的元素a,b,c,使得a+b,b+c,c+a均属于不妨设a<b<c，令x=a+b,,y=a+c，z=b+c，则x<y<z，满足①，x+y=a+b+a+c=2a+b+c>b+c=z，满足②，x+y+z=2(a+b+c)为偶数，满足③，所以集合M具有性质P，所以集合M具有性质P的充分条件是集合M是集合Sn的“期待子集”题型8题型8充分条件与必要条件中的含参问题1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知p:x<−2或x>0，q:x>a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（A．a≤2 B．a≤0 C．a>0 D．a≥0【答案】D【解题思路】令A={xx<−2或x>0}，B=xx>a，q是p的充分不必要条件可得【解答过程】令A={xx<−2或x>0}，因q是p的充分不必要条件，可得B真包含于A，可得a≥0.故选：D.2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式x+1−x−2<a成立的充分条件是0<x<1，则实数aA．a>1 B．a≥1C．a<−1 D．a≤−1【答案】B【解题思路】当0<x<1时，求出x+1−x−2=2x−1<1【解答过程】根据题意，当0<x<1时，x+1−则x+1−因为x+1−x−2<a所以a≥1.故选:B.3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知α:x<−m或x>3m−1，β:x≤2或x>4，若α是β的必要非充分条件，则实数m的取值范围是.【答案】−【解题思路】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解.【解答过程】因为α是β的必要非充分条件，设集合B={xx≤2或x>4}，A={xx<−m或x>3m−1}，B当−m>3m−1，得m<14时，此时成立，当−m≤3m−1时，即m≥14时，再满足−m>23m−1≤4，得：m<−2，此时m所以m<故答案为：−∞4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知p：x>3或x<−12，q：x>a，r：(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；(2)若¬p是r的必要条件，求m的最大值．【答案】(1)3,+(2)1【解题思路】（1）根据充分条件与必要条件的定义列不等式，即可得参数范围；（2）写出¬p，再结合必要条件的定义列不等式，即可得参数最值.【解答过程】（1）设命题p与q表示的集合分别为A和B，即A=xx<−12或又p是q的必要不充分条件，则A⫋B，所以a≥3，即a∈3,+（2）设命题r表示的集合为C，则C=x又命题¬p表示的集合为∁R¬p是r的必要条件，所以C⊆∁则−m≥−1又m>0，所以0<m≤1即m的最大值为145．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知p:x<a(1)若p是q的充要条件，求a的值；(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.【答案】(1)−3(2)−3,+【解题思路】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解；（2）由充分不必要条件可化为a2【解答过程】（1）因为p是q的充要条件，所以a2解得a=−3.（2）因为p是q的充分不必要条件，所以−∞,a即a2−2a−1<a所以a的取值范围−3,+∞题型9题型9充分、必要条件与集合交汇1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则A．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．∅ D．m|2<m≤3【答案】A【解题思路】分集合B是否为空集讨论即可，当B≠∅时，由集合间的包含关系求出；【解答过程】由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B是A的真子集，当B=∅时，m+1>2m−1，解得m<2；当B≠∅时，m+1≥−22m−1≤5m+1≤2m−1，前两个等号不能同时取得，解得综上m的取值范围是m|m≤3，故选：A.2．（24-25高一上·上海·期中）设集合M=xx=m2−n2,m,n∈ZA．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】B【解题思路】先举反例说明充分性不成立，再证必要性成立即可.【解答过程】先看充分性：若m=4，n=2，则t=42−所以“t∈M”是“t∈T”的不充分条件；再证必要性：因为t=2k+1=k+12−k2，所以t∈M综上：“t∈M”是“t∈T”的必要非充分条件.故选：B.3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合A={x∣0<x<2}，B={x∣−1<x<a+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】1,+【解题思路】通过集合A,B关系即可求解.【解答过程】由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，可知：A⫋B，所以a+1≥2，解得a≥1，所以实数a的取值范围是1,+∞故答案为：1,+∞4．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合A=xx≤1−a或x>1+a，B={x|x<−1或(1)当a=−1时，求A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；(3)若“x∈B”是“x∈A”的充分不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)R(2)(2,+(3)(−【解题思路】（1）当a=−1时，得到A=R（2）根据题意，转化为A是B的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解；（3）根据题意，转化为B是A的真子集，分a≤0和a>0，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.【解答过程】（1）解：当a=−1时，A=xx≤2或x>0}=R（2）解：因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足1−a<−11+a≥2，解得a>2，所以实数a的取值范围为(2,+（3）解：因为x∈B是x∈A的充分不充分条件，可得B是A的真子集，①当1−a≥1+a时，即a≤0时，此时A=R②当1−a<1+a时，即a>0时，则满足a>01−a≥−11+a<2，即a>0a≤2综上可得，实数a的取值范围为(−∞5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合A=x|m−1≤x≤2m，B=(1)当m=3时，求A∩B，A∪∁(2)从①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∩∁RB=∅问题：若_______，求实数m的取值范围.【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤3}，A∪∁R(2)答案见解析【解题思路】（1）由集合的交并补混合运算求解即可；（2）选①，由题意得到A是B的真子集，再分集合A是否为空集讨论即可；选②，因为A∩∁RB=∅，所以A⊆B，再分集合A是否为空集讨论即可；选③，A∪B=B，所以A⊆B【解答过程】（1）当m=3时，A=x|2≤x≤6，又B=∴A∩B={x|2≤x≤3}，又∁RB=x|x<0∴A∪∁RB=（2）选①，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，若A=∅，则m−1>2m，解得m<−1；若A≠∅，则m−1≤2mm−1≥02m≤3且等号不能同时成立，解得综上，m<−1或1≤m≤32，即m选②，因为A∩∁RB=∅选③，A∪B=B，所以A⊆B，下同选①.题型10题型10全称量词与存在量词中的含参问题1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合A=x0≤x≤a，集合B=xm2+3≤x≤m2+4A．{aa<3} B．{a0≤a<3} C．【答案】A【解题思路】由题命题