专题02 基本不等式中必考七类最值问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册（解析版）

2/30专题02基本不等式中必考七类最值问题（举一反三专项训练）【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【类型1直接法求最值】 2【类型2配凑法求最值】 4【类型3巧用“1”的代换求最值】 7【类型4消元法求最值】 10【类型5和积互化求最值】 14【类型6齐次化求最值】 17【类型7多次使用基本不等式求最值】 21知识点利用基本不等式求最值1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．2．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.3．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【类型1直接法求最值】1．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知a>0，则a+1a的最小值是（

）A．−1 B．1 C．2 D．3【答案】C【解题思路】根据基本不等式可求最小值.【解答过程】因为a>0，所以a+1当且仅当a=1a，即所以a+1a的最小值是故选：C.2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果m>0，那么当m+16m取得最小值时A．－4 B．4 C．8 D．16【答案】B【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.【解答过程】由于m>0，故m+16m≥2m⋅16故选：B.3．（多选）（24-25高一上·河北·阶段练习）下列结论正确的是（

）A．当x≥0时，x+1+1x+1≥2 B．当C．x+1x的最小值为2 D．【答案】AB【解题思路】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C.【解答过程】当x≥0时，x+1+1当且仅当x+1=1x+1时，即当x>0时，x+1x当且仅当x=1x当x<0时，显然x+1因为x2当且仅当x2+2=故选：AB.4．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知x>0，则代数式x+4x的最小值是【答案】4【解题思路】利用基本不等式，可得答案.【解答过程】由x>0，则x+4x≥2所以代数式x+4x的最小值为故答案为：4.5．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值．(1)已知x>0，求y=12(2)设0<x<32，求函数【答案】(1)12(2)9【解题思路】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案；（2）根据题意，化简得到y=4x3−2x【解答过程】（1）解：由x>0，则y=12当且仅当12x=3x时，即x=2时，等号成立，所以y的最小值为（2）解：由0<x<32，可得则y=4x3−2x当且仅当2x=3−2x时，即x=34时，等号成立，所以y的最大值为6．（24-25高一·全国·课后作业）已知0<x<3，求：(1)x3−x(2)x3−2x【答案】(1)9(2)9【解题思路】利用基本不等式计算即可.【解答过程】（1）∵0<x<3，∴x3−x当且仅当x=3−x，即x=3所以x3−x的最大值为9（2）∵0<x<3，∴x3−2x当且仅当2x=3−2x，即x=3所以x3−2x的最大值为9【类型2配凑法求最值】7．（24-25高一上·全国·周测）已知函数fx=x+4x−1+2x>1A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【解题思路】首先将函数构造成能够利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】由题意，x>1，故x−1>0，根据基本不等式，fx当且仅当x−1=4x−1，即此时函数fx故选：D.8．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知x>4，则函数y=1x−4+4xA．8 B．12 C．16 D．20【答案】D【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由于x>4，所以x−4>0，所以y=1当且仅当1x−4=4x−4，即x=故选：D.9．（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．x+1x的最小值是2 B．x(2−x)C．x2+4+1x2+4【答案】ACD【解题思路】根据基本不等式可求得结果，注意“一正二定三相等”.【解答过程】对于A：当x<0时，x+1x<0对于B：设f(x)=x(2−x)，则f(x)=−x2+2x∴0<x≤1时，f(x)单调递增，当1<x<2时，f(x)单调递减，∴当x=1时，f(x)取最大值，此时f(x)=1×(2−1)=1，则x(2−x)的最大值是1，B正确；对于C：x2当且仅当x2+4=1对于D：根据基本不等式，将原式变形为4−(2x+2根据基本不等式2x+2当且仅当2x=2x，即因此原式最大值为4−4=0，又∵x>1，故上述不等式无法取等号，D错误.故选：ACD.10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知x>1，则x+1x−1的最小值为【答案】3【解题思路】求出x−1的范围，根据基本不等式即可求出x+1【解答过程】∵x>1，∴x−1>0，∴x+1x−1=(x−1)+当且仅当x=2时，等号成立，故x+1x−1的最小值为故答案为：3.11．（24-25高一上·全国·课后作业）回答下面两题(1)已知x<54，求(2)设0<x<32，求【答案】(1)最大值1(2)最大值92【解题思路】（1）将所求式子转化为4x−2+1（2）利用基本不等式求最值.【解答过程】（1）∵x<54，∴4x−5<0，∴4x−2+1当且仅当5−4x=15−4x，即∴当x=1时，4x−2+1（2）∵0<x<32，∴4x3−2x当且仅当2x=3−2x，即x=3∴当x=34时，4x3−2x12．（24-25高一上·天津·期中）（1）已知0<x<12，求y=1（2）已知x>3，求fx=x+4【答案】（1）ymax=116,此时x=【解题思路】根据所求函数式的特征，进行适当配凑项或系数，再运用基本不等式求解即得.【解答过程】（1）因0<x<12，则由y=1当且仅当2x=1−2x，即x=1即当x=14时，y=1（2）因x>3，则x−3>0，则f当且仅当x−3=4x−3，即即当x=5时，fx【类型3巧用“1”的代换求最值】13．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且2x+y=1，则1x+4A．22 B．6+42 C．82【答案】B【解题思路】利用乘“1”法即可求出最值.【解答过程】1x当且仅当yx=8x故选：B.14．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）设a,b∈R+，且a+b=3，则2a+babA．22 B．2+23 C．1+【答案】C【解题思路】利用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a,b∈R+，且所以2a+bab=1a+2b=（当且仅当a+b=3ba=2ab故选：C.15．（多选）（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知x，y是正数，且2x+y=1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为18 B．4xC．12x+1y的最小值为4【答案】ABC【解题思路】选项A、B可直接利用基本不等式求得最值，选项C、D可以先乘(2x+y)再求其最值.【解答过程】因为2xy≤(2x+y2)2=14，所以xy≤1对于B，4x2+y2=(2x+y)2−4xy≥对于C，12x+1y=(12x+1对于D，1x+12y=(1x故选：ABC.16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知正数a,b满足2a+b=1，则1a+2【答案】8【解题思路】根据基本不等式“1”的妙用可求得结果.【解答过程】∵a>0,b>0,2a+b=1，∴1a+2b当且仅当ba=4a综上所述，1a+2故答案为：8.17．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知x>0，y>0(1)求xy的最大值；(2)求1x【答案】(1)1(2)11+6【解题思路】（1）利用基本不等式可得2x+y≥22xy（2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】（1）∵x>0，y>0，∴1≥22xy，即xy≤1当且仅当2x=y=12，即x=14,y=（2）1≥11+2y当且仅当yx=18xy时，18．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知a>0，b>0，且2a+b=1.(1)求ab的最大值；(2)求1a(3)求b2【答案】(1)1(2)8(3)7【解题思路】（1）根据基本不等式性质，直接对2a+b直接应用基本不等式性质求解；（2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解；（3）依题意b2+2a+12ab【解答过程】（1）∵a>0，b>0∴1=2a+b≥22a⋅b（当且仅当2a=b∴1≥8ab，ab≤由2a=b2a+b=1，解得所以，ab的最大值为18（当且仅当a=14（2）1（当且仅当ba由ba=所以，1a+2b的最小值为8（当且仅当（3）b=4ab+由ba=所以b2+2a+12ab的最小值为7（当且仅当a=【类型4消元法求最值】19．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知a>0，b>0，b+4a−ab+1=−1，则a+b的最小值为（A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【解题思路】根据题设得到a=1+4b−3且【解答过程】由题设b+1=a(b−3)，又a>0，b>0，故b>3，则a=b+1所以a+b=b−3+4b−3+4≥2(b−3)⋅4所以a+b的最小值为8.故选：D.20．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足x2−y−xz+4z2=0，则当xzA．2 B．1516 C．1 D．【答案】D【解题思路】将y=x2−xz+4z2代入xzy后剩下关于x,z的二元等式xzx2−xz【解答过程】∵x∴y=x2−xz+4∴（当且仅当x=2z时取"=")，∴xzymax∴y=x∴4x−∴4x−故选：D.21．（多选）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则（

）A．2a+b的最小值为8 B．1a+1+C．ab的最大值为8 D．b+19−a【答案】ACD【解题思路】A，利用b=18a+1−2变形2a+b，利用基本不等式求解即可；B，由ab+2a+b=16可得ab+2a+b+2=18，利用基本不等式求解即可；C，利用6=ab+2a+b≥ab+2【解答过程】由16=ab+2a+b得b=16−2a所以2a+b=2a+≥22(a+1)⋅当且仅当2(a+1)=18a+1，即此时2a+b取得最小值8，A对;ab+2a+b=16⇒ab+2a+b+2=18,1a+1当且仅当a+1=b+2时取等号，此时1a+1+1b+2因为16=ab+2a+b≥ab+22ab，当且仅当2a=b解不等式得−42≤ab≤22⇒ab≤8b+=(=≥218当且仅当18(9−a)10(a+1)=a+1此时b+19−a取得最小值6故选：ACD.22．（24-25高一上·全国·课后作业）设a，b，c为正实数，且满足a−3b+2c=0，则b2ac的最小值是【答案】8【解题思路】首先根据题意得到b=a+2c3，从而得到【解答过程】因为a，b，c为正实数，a−3b+2c=0，所以b=a+2c则b2当且仅当a=2c，b=4c3时取等号，所以b2故答案为：8923．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知x>2，y>0，xy=y+4．(1)求x+y的最小值和x−12(2)求x+4【答案】(1)x+y的最小值为5，x−12+(2)5【解题思路】（1）依题意可得x=1+4（2）结合（1）可得x+4【解答过程】（1）因为x>2，y>0，xy=y+4，所以x=1+4y，所以x=1+4所以x+y=1+4y+y≥1+24y⋅y=5所以x+y的最小值为5；又x−12+y2=16y所以x−12+y（2）因为x=1+4y，x>2且0<y<4，所以所以x+=1+1+4−y当且仅当4−yy=y4−y，即所以x+44−y的最小值为24．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知x>2，y>0，xy=y+4．(1)求x+y的最小值；(2)求x−12(3)求x+4【答案】(1)5(2)8(3)5【解题思路】（1）（2）依题意可得x=1+4（3）结合（1）可得x+4【解答过程】（1）因为x>2，y>0，xy=y+4，所以x=1+4y，所以x=1+4所以x+y=1+4y+y≥1+24y⋅y=5所以x+y的最小值为5；（2）x−12当且仅当16y2=y2所以x−12+y（3）因为x=1+4y，x>2且0<y<4，所以所以x+=1+1+4−y当且仅当4−yy=y4−y，即所以x+44−y的最小值为【类型5和积互化求最值】25．（24-25高一上·山西·期中）已知a>−1，且ab−2a+b=5，则a+2b+1的最小值为（

A．12 B．10 C．9 D．8【答案】A【解题思路】由ab−2a+b=5可得b=2a+5a+1，代入【解答过程】因为a>−1，所以a+1>0，由ab−2a+b=5，得b=2a+5则a+2=3当且仅当3a+1=3所以a+2b+1故选：A.26．（24-25高一上·贵州毕节·期中）已知正数a、b满足a−1b−1=1，则a+4b的最小值等于（A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解题思路】推导出a>1，b>1，利用基本不等式可求得a+4b的最小值.【解答过程】因为正数a、b满足a−1b−1=1，可得ab=a+b，则所以，0<1a<1，0<1b<1，可得a>1，所以，a+4b=a−1当且仅当a−1b−1=1a−1=4因此，a+4b的最小值为9.故选：B.27．（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知实数a>1，b>1，且满足ab=a+b+3，则（

）A．ab的最小值为9 B．a+b的最小值为7C．a2+b2的最大值为18【答案】AD【解题思路】由基本不等式可判断A、B是否正确；由a2+b2≥2ab【解答过程】对于A：因为a+b≥2ab，所以ab−3≥2ab，令t=ab，则t2−2t−3≥0，解得t≥3,t≤−1（舍），所以ab≥9对于B：a+b+3=ab≤a+b22，令t=a+b，则t2−4t−12≥0，解得t≥6,t≤−2（舍），所以a+b≥6对于C：因为a2+b2≥2ab，由选项A可知，ab≥9，所以a对于D：由ab=a+b+3可得，a−1b−1所以1a−1+1b−1≥2故选：AD.28．（24-25高三上·上海·期中）已知a>0，b>0，4a+b=1，则2aba+b的最大值为【答案】2【解题思路】先求出1a+1【解答过程】因为a>0,b>0,4a+b=1，故1a当且仅当ba=4a所以2aba+b=21a故答案为：2929．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知x>0,y>0,xy=x+2y+a．(1)当a=0时，求xy的最小值；(2)当a=6时，求x+2y的最小值．【答案】(1)8(2)12【解题思路】（1）利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据已知化简求出得x=2+8【解答过程】（1）当a=0时，由x>0,y>0,xy=x+2y，则xy=x+2y≥22xy即xy≥22，可得当且仅当x=2y，即x=4，y=2时xy取最小值8.（2）当a=6时，由x>0,y>0,xy=x+2y+6，由xy=x+2y+6得x=2y+6则x+2y=2+8y−1故可知当y=3,x=6时，x+2y取得最小值为12．30．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数a、b满足：9a(1)求ab和3a+b的最大值；(2)求9a【答案】(1)1,23(2)最小值为6，最大值为30.【解题思路】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解；（2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解.【解答过程】（1）∵9a2+∵9a2+b2当且仅当a=33、b=3或a=−33、b=−∵9a2+∵2ab=2∴(3a+b)2−10≤(3a+b)∴3a+b≤23，当且仅当a=33、b=3时等号成立，∴（2）∵9a2+∵9a2+b2当且仅当a=33、b=3或a=−33、b=−又9a2+b2当且仅当a=153、b=−15或a=−∴9a2+【类型6齐次化求最值】31．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数x,y满足x+2y=1，则x2+yxyA．122 B．22 C．1【答案】D【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.【解答过程】x2+yxy=x2则xy+2yx+1≥2故x2+yxy故选：D.32．（24-25高一下·江西吉安·期末）函数f(x)=x2+x+1x−1A．23 B．3+23 C．2+22【答案】B【解题思路】将函数化简变形为f(x)=x【解答过程】解：因为x>1，所以x−1>0，所以f(x)=x当且仅当x−1=3x−1，即所以函数f(x)=x2+x+1x−1故选：B.33．（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（

）A．x+9x B．2x2+8【答案】BD【解题思路】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案.【解答过程】对于选项A，由于x可能为负，所以x+9对于B，因为x2所以2x当且仅当x2对于C，x2+y对于D，因为x+1>0所以x+10x+1当且仅当x=8时等号成立，故D正确.故选：BD.34．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）已知x>−1，则函数y=x2+x+4【答案】3【解题思路】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.【解答过程】因为x>−1，y=≥2当且仅当x+1=4x+1所以函数y=x2故答案为:3.35．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值．(1)已知0<x<12，求(2)已知x>−2，求y=x【答案】(1)1(2)7【解题思路】（1）利用基本不等式可求得y=1（2）将函数解析式变形为y=x+2【解答过程】（1）因为0<x<12，所以所以12当且仅当2x=1−2x0<x<即x=14时，等号成立，故y=1（2）因为x>−2，所以x+2>0．所以y==x+2当且仅当x+2=4x+2x>−2所以当x=0时，函数y=x2+7x+1436．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题：(1)求y=x(2)求y=x(3)已知x>0，y>0且4x+y=xy，若x+y>m2+8m【答案】(1)−(2)8(3)m【解题思路】（1）将函数解析式化为y=3（2）将函数解析式变形为y=x−1（3）由已知条件可得出1x+4y=1，将代数式x+y与1【解答过程】（1）当x<0时，y=≤3当且仅当−x2=−所以，函数y=x2+3x+4（2）当x>1时，x−1>0，则y=x当且仅当x−1=9x−1x>1故函数y=x2+8（3）因为x>0，y>0且4x+y=xy，则y+4xxy所以，x+y=x+y当且仅当yx=4xy1x+因为x+y>m2+8m恒成立，则m2+8m<9因此，实数m的取值范围是m−9<m<1【类型7多次使用基本不等式求最值】37．（2025·四川德阳·模拟预测）已知x>−1，y>0，z>0，2x+3y+z=2，则1x+1+1A．72+6 B．7+62 【答案】A【解题思路】结合条件可得41【解答过程】因为2x+3y+z=2，所以2x+1所以4所以41又2x+1y+6x+1z+9yz+z所以41x+1+1y+3所以1x+1+1故选：A.38．（24-25高二上·湖南·开学考试）