专题2.2 基本不等式（举一反三讲义）高一数学人教A版2019必修第一册（原卷版）

2/30专题2.2基本不等式（举一反三讲义）【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1基本不等式的理解及常见变形】 2【题型2由基本不等式比较大小】 2【题型3利用基本不等式证明不等式】 3【题型4利用基本不等式求最值（无条件）】 4【题型5条件等式求最值】 5【题型6基本不等式“1”的妙用求最值】 6【题型7基本不等式的恒成立问题】 6【题型8基本不等式的有解问题】 7【题型9基本不等式的实际应用】 7知识点1两个不等式1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2.基本不等式的常见变形(1).(2).【题型1基本不等式的理解及常见变形】【例1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（

）A．a+4aC．a+b2【变式1-1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果m>0，那么当m+16A．－4 B．4 C．8 D．16【变式1-2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a, BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD, BD．可证A．如果a>bB．如果a>bC．对∀a>0, b>0，都有D．对∀a>0, b>0，都有【变式1-3】（24-25高一上·天津南开·开学考试）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（①2aba+③(a+2bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2由基本不等式比较大小】【例2】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（

）A．ab B．21a+1b 【变式2-1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知a>0，b>0，则a＋b2，ab，aA．a2＋b22 B．ab 【变式2-2】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，a≠b，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为m1，mA．m1=m2 B．m1>m2 【变式2-3】（24-25高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金100g，售货员先将50g砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）A．小于100g B．等于100gC．大于100g D．与左右臂的长度有关【题型3利用基本不等式证明不等式】【例3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知a,b>0，则下列不等式中不成立的是（A．a+b+C．a2+b【变式3-1】（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知a,b为不相等的正实数，满足a+A．a+b>2C．ba+16【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若a，b，c，d都是正数，求证：ab+（2）若a，b，c都是正数，求证：ab【变式3-3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知a>0，b>0，c>0(1)a2(2)(1+a知识点2基本不等式与最值1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．2．利用基本不等式求最值的几种常见方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型4利用基本不等式求最值（无条件）】【例4】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知a>1，则a+4aA．9 B．6 C．5 D．4【变式4-1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数y=x2A．2 B．6 C．4 D．2【变式4-2】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知x>2，y=x+1（2）已知0<x<3，求【变式4-3】（24-25高一上·海南·期中）（1）若0<x<2，求（2）已知x>−1，求y【题型5\t"/gzsx/zj135331/_blank"\o"条件等式求最值"条件等式求最值】【例5】（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数a>1,b>1，且ab=aA．16 B．18 C．22 D．26【变式5-1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若x>0，y>0，且x+y=A．2+23 B．3+22 C．4【变式5-2】（24-25高一上·江西·期中）已知正数a，b满足ab=2(1)求a+2(2)求1a【变式5-3】（24-25高一上·四川巴中·期中）已知a(1)求ab的最大值；(2)求2a【题型6\t"/gzsx/zj135331/_blank"\o"基本不等式"基本不等式“1”的妙用求最值】【例6】（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且2x+y=1，则1A．22 B．6+42 C．82【变式6-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知m>0，n>0，且m+n=mn，则A．9 B．8 C．6 D．5【变式6-2】（24-25高一上·福建南平·期中）已知x、y∈0,+∞，且满足1x+1A．4 B．2 C．1+22 【变式6-3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）设a>0，b>1，若a+b=2A．6 B．9 C．32 【题型7基本不等式的恒成立问题】【例7】（24-25高一上·江西·阶段练习）若对于任意x∈(0,2)，不等式1x+12−xA．m≤−2或m≥1 C．−1−172≤m≤【变式7-1】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知x>0,y>0，且x+y=5，若A．−∞,116 B．−∞,25 C．【变式7-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知x,y>0(1)求yx(2)若x2+4y【变式7-3】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知a>0，b>0(1)若a+2b=2(2)若0<a<2，求(3)若b+22ab【题型8基本不等式的有解问题】【例8】（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+A．m<4 B．m>4 C．m<2【变式8-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知x>0,y>0，且2x+1yA．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【变式8-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式xA．{m|−1<m<4} C．{m|−4<m<1} 【变式8-3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数x,y满足x+y=1，且存在这样的x,yA．m−3<m<C．{m∣m【题型9基本不等式的实际应用】【例9】（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作x个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为0.25x天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（

A．20个 B．30个 C．40个 D．50个【变式9-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）制作一个面积为1m2且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（

A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m【变式9-2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米.(1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时