专题5.3 诱导公式（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题5.3诱导公式（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1诱导公式一】 2【题型2诱导公式二、三、四】 3【题型3诱导公式五、六】 4【题型4三角函数的化简、求值——诱导公式】 5【题型5三角函数恒等式的证明——诱导公式】 7【题型6诱导公式的综合应用】 8【题型7同角基本关系式和诱导公式的综合应用】 10知识点1诱导公式1．诱导公式(1)诱导公式公式一二三四五六七八角正弦余弦正切余切口诀函数名不变，符号看象限.函数名改变，符号看象限.(2)诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为0～2π的角求值公式二将0～2π的角转化为0~π的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将π2～π的角转化为0～π公式五实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化公式六实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化2．一组重要公式(1)(n∈Z).

①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

(2)(n∈Z).

①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).类似地，有：(3)(n∈Z).(4)(n∈Z).3．诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.4．用诱导公式求值用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等.【题型1诱导公式一】【例1】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）sin2024π3=（A．−12 B．12 C．−【答案】D【解题思路】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解.【解答过程】sin2024故选：D.【变式1-1】（24-25高一下·陕西渭南·期中）sin390°的值为（

A．32 B．22 C．12【答案】C【解题思路】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可.【解答过程】sin390°=故选：C.【变式1-2】（24-25高一上·广东广州·期末）cos1470°=（

A．−32 B．−12 C．【答案】D【解题思路】根据三角函数的诱导公式，化简得到cos1470°=【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得cos1470°=故选：D.【变式1-3】（24-25高一上·广东·期末）tan−300°=（

）A．3 B．1 C．33 D．【答案】A【解题思路】利用诱导公式化简计算即可.【解答过程】tan−故选：A.【题型2\t"/gzsx/zj135379/_blank"\o"诱导公式二、三、四"诱导公式二、三、四】【例2】（24-25高一上·广东汕头·期末）cos14π3A．−12 B．−32 C．【答案】A【解题思路】利用诱导公式化简计算即可.【解答过程】cos14故选：A.【变式2-1】（24-25高一下·安徽·开学考试）cos855∘的值是（A．12 B．−12 C．2【答案】D【解题思路】利用诱导公式求值.【解答过程】cos855故选：D.【变式2-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）sin2025∘的值是（A．−22 B．22 C．3【答案】A【解题思路】根据诱导公式求值.【解答过程】sin2025∘==sin(180∘+故选：A.【变式2-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）cos330∘+A．1−32 B．1+32 C．【答案】D【解题思路】利用诱导公式化简即可求出.【解答过程】cos==cos故选：D.【题型3\t"/gzsx/zj135379/_blank"\o"诱导公式五、六"诱导公式五、六】【例3】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若cosα+π3=45A．35 B．−35 C．4【答案】D【解题思路】借助诱导公式计算即得.【解答过程】sinα−故选：D.【变式3-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）sinθ−π2A．sinθ B．−sinθ C．cos【答案】D【解题思路】由诱导公式化简，即可得到结果.【解答过程】sinθ−故选：D.【变式3-2】（25-26高一上·全国·课前预习）若cosπ3−α=3A．−35 B．35 C．−【答案】B【解题思路】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可.【解答过程】∵cosπ3故选：B.【变式3-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知cos2x−5π6=−A．22 B．−22 C．1【答案】C【解题思路】因为π3【解答过程】因为cos2x−则sinπ故选：C.【题型4三角函数的化简、求值——诱导公式】【例4】（25-26高一上·全国·课前预习）cos−13π4A．1+22 B．1−22 C．【答案】D【解题思路】利用三角函数诱导公式化简求值即可．【解答过程】cos−故选：D．【变式4-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知α∈0,π2，且1cos2A．π3 B．π6 C．π4【答案】A【解题思路】利用诱导公式化简已知等式，可得cosα=【解答过程】因为1cos所以1cos2α+1cosα−6=0，解得由于α∈0,π2，则cos故选：A.【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简cos2【答案】sin【解题思路】根据诱导公式化简即可求解.【解答过程】原式=cos【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式并求值：(1)2sin(2)cos−495°【答案】(1)33(2)1−2【解题思路】直接利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可.【解答过程】（1）2sin5=2sin（2）cos==cos【题型5三角函数恒等式的证明——诱导公式】【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：tan(2【答案】证明见解析【解题思路】利用诱导公式化简即可.【解答过程】左边=−所以tan(2【变式5-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知sin(α+β)=1，求证：tan【答案】证明见解析.【解题思路】由已知可得α=2kπ+π【解答过程】由sinα+β=1，得α+β=2kπ+π2（因此tan2α+β+=tan(4k=tan所以原等式成立.【变式5-2】（2025高一·全国·专题练习）求证：tan【答案】证明见解析【解题思路】对等式左边用诱导公式进行化简证明【解答过程】左边＝−tan【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）求证：tan(2π−α)sin（2）设tan(α+8π7【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题思路】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.【解答过程】（1）左边=tan(−α)sin(−α)cos(−α)（2）方法1：左边=sin[π+(8π7+α)]+3cos[(α+方法2：由tan(α+8π7所以，等式左边=sin[2π+(π7+α)]+3cos【题型6诱导公式的综合应用】【例6】（24-25高一上·云南·期末）已知角α的终边经过点P−1,2，则cos3π2A．−255 B．−55 【答案】C【解题思路】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得.【解答过程】因为角α的终边经过点P−1,2，所以OP=所以cos3故选：C.【变式6-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知角α的终边与单位圆的交点为A45,−A．tanπ−α=C．cosπ2−α【答案】C【解题思路】根据交点求出sinα=−【解答过程】由题得sinα=−35sinπ+α=−sinα=故选：C.【变式6-2】（24-25高一下·河南·期中）如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边OA，OB分别与单位圆交于点A，B，已知π4<α<π2，π2<β<π(1)求cosπ(2)求点B的坐标．【答案】(1)3(2)B【解题思路】（1）由A点坐标可直接写出sinα、cosα、（2）利用诱导公式即可得到sinβ、cosβ，即可得到点【解答过程】（1）由题意可知：A35,45，则sin所以cos（2）由题意可知β=α+π∴sinβ=cosβ=∴B−【变式6-3】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB．(1)若点A的横坐标为12，求sin(2)求sin(【答案】(1)0(2)−1【解题思路】根据诱导公式化简求值即可.【解答过程】（1）由题意：β=π所以sinα+cosβ=（2）sin(π+α)−cosπ【题型7同角基本关系式和诱导公式的综合应用】【例7】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知tanπ+θ=2，则sin3A．73 B．103 C．4【答案】D【解题思路】首先利用诱导公式化简已知条件，得到tanθ=2，再结合同角三角函数的基本关系，将sin3θ+【解答过程】根据诱导公式可得tan(即sinθcosθ则sin3因为sinθ=2cosθ，则sin所以4cos将cos2θ=1故选：D.【变式7-1】（24-25高一上·广东清远·期末）若cosπ2+θ+sinA．−31020 B．31020 【答案】B【解题思路】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解；【解答过程】因为cosπ2+θ即sin2θ+cos所以sinπ故选：B．【变式7-2】（25-26高一上·贵州铜仁·阶段练习）已知fα(1)化简fα(2)若α是第三象限角，且sinα−5π=(3)若α=−2220∘，求【答案】(1)−(2)2(3)−【解题思路】（1）利用诱导公式可化简fα（2）利用同角三角函数的平方关系求出cosα的值，由此可得出f（3）利用诱导公式可化简得出fα【解答过程】（1）fα（2）因为α是第三象限角，且sinα−5所以sinα=−15因此fα（3）当α=−2220∘时，【变式7-3】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆交于点A32,m，射线OA