北京市西城区第三中学2025年数学高一第一学期期末经典模拟试题含解析

北京市西城区第三中学2025年数学高一第一学期期末经典模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数取最小值时，则（）A. B.C. D.2．满足不等式成立的的取值集合为（）A.B.C.D.3．要得到函数的图像,需要将函数的图像（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位4．下列说法正确的是（）A.锐角是第一象限角 B.第二象限角是钝角C.第一象限角是锐角 D.第四象限角是负角5．已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为A.1，2中的一个 B.1，2C.2 D.无法确定6．已知角终边经过点，若，则（）A. B.C. D.7．要得到函数的图象，只需要将函数的图象A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位8．将函数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知，则（）A. B.C.5 D.-510．已知圆方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是（）A.4 B.C.6 D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．直线与直线平行，则实数的值为_______.12．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__13．已知点在直线上，则的最小值为______14．已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）15．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________16．函数的值域为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）计算：.（2）化简：.18．已知正三棱柱，是的中点求证：（1）平面；（2）平面平面19．求解下列问题（1）已知，且为第二象限角，求的值.（2）已知，求的值20．已知线段AB的端点A的坐标为，端点B是圆:上的动点.（1）求过A点且与圆相交时的弦长为的直线的方程（2）求线段AB中点M的轨迹方程，并说明它是什么图形21．已知函数（1）若函数在区间上有且仅有1个零点，求a的取值范围：（2）若函数在区间上的最大值为，求a的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】利用辅助角公式化简整理，得到辅助角与的关系，利用三角函数的图像和性质分析函数的最值，计算正弦值即可.【详解】，其中，因为当时取得最小值，所以，故.故选：B.2、A【解析】先求出一个周期内不等式的解集，再结合余弦函数的周期性即可求解.【详解】解：由得：当时，因为的周期为所以不等式的解集为故选：A.3、A【解析】直接按照三角函数图像的平移即可求解.【详解】，所以是左移个单位.故选：A4、A【解析】根据角的定义判断【详解】锐角大于而小于，是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，第二象限角不都是钝角，第四象限角有正角有负角．只有A正确故选：A5、A【解析】根据映射中象与原象定义，元素与元素的对应关系即可判断【详解】映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}已知a的象为1，根据映射的定义，对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，可得b=1或2，所以选A【点睛】本题考查了集合中象与原象的定义，关于对应关系的理解．注意A集合中的任意元素在集合B中必须有对应，属于基础题6、C【解析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.【详解】由题意，角终边经过点，可得，又由，根据三角函数的定义，可得且，解得.故选：C.7、B【解析】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位本题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同8、C【解析】先由图象的变换求出的解析式，再由定义域求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质，求得的取值范围.【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，∴周期，由，则，若函数在上没有零点，结合正弦函数的图象观察则∴，，解得，又，解得，当时，解得，当时，，可得，.故选：C【点睛】本题考查正弦型的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式求解，属于较难题.第II卷9、C【解析】令，代入直接计算即可.【详解】令，即，则，故选：C.10、C【解析】由圆的方程可知圆心为,半径,则过圆内一点的最长弦为直径,最短弦为该点与圆心连线的垂线段,进而求解即可【详解】由题,圆心为,半径,过圆内一点的最长弦为直径,故；当时,弦长最短,因为,所以,因为在直径上,所以,所以四边形ABCD的面积是,故选:C【点睛】本题考查过圆内一点弦长的最值问题,考查两点间距离公式的应用,考查数形结合思想二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据直线一般式，两直线平行则有，代入即可求解.【详解】由题意，直线与直线平行，则有故答案为：【点睛】本题考查直线一般式方程下的平行公式，属于基础题.12、﹣≤a≤2【解析】先求画出函数的图像，然后对的图像进行分类讨论，使得的图像在函数的图像下方，由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如函数的图像，是引出的两条射线.13、2【解析】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离∴的最小值为原点到直线的距离，即∴的最小值为2故答案为2点睛：本题考查了数学的化归与转换能力，首先要知道一些式子的几何意义，比如本题表示点和原点的两点间距离，所以本题转化为已知直线上的点到定点的距离的最小值，即定点到直线的距离最小.14、【解析】根据题意得，再结合两边之和大于第三边，底边长大于得，进而得答案.【详解】解：根据题意得，由三角形两边之和大于第三边得，所以，即，又因为，解得所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为故答案为：15、【解析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数的取值范围.【详解】根据题意解得：，由于“”是“”必要条件，则，.因此，实数的取值范围是：.故答案为：.16、【解析】由函数定义域求出的取值范围，再由的单调性即可得解.【详解】函数的定义域为R，而，当且仅当x=0时取“=”，又在R上单调递减，于是有，所以函数的值域为.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；（2）利用诱导公式及特殊值的三角函数值计算可得；【详解】解：（1）（2）18、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）连接，交于点，连结，由棱柱的性质可得点是的中点，根据三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由正棱柱的性质可得平面，于是，再由正三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论.试题解析：（1）连接，交于点，连结，因为正三棱柱，所以侧面是平行四边形，故点是的中点，又因为是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面（2）因为正三棱柱，所以平面，又因为平面，所以，因为正三棱柱，是的中点，是的中点，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直及面面垂直的证明，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1）是就是利用方法①证明的.19、（1）（2）【解析】（1）结合同角三角函数的基本关系式求得.（2）结合同角三角函数的基本关系式求得、，从而求得.【小问1详解】，且为第二象限角，，.【小问2详解】，，又，，.20、（1）或；（2）点M的轨迹是以（4，2）为圆心，半径为1的圆.【解析】⑴设直线的斜率为，求得直线的方程，再根据与圆相交的弦长为，求得圆心到直线的距离，求出即可得到直线的方程；⑵设出的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用在圆上，可得结论；解析：（1）根据题意设直线的斜率为k，则直线的方程为，且与圆相交的弦长为，所以圆心到直线的距离为解得所以直线的方程为或（2）设∵M是线段AB的中点，又A（4,3）∴得又在圆上，则满足圆的方程∴整理得为点M的轨迹方程，点M的轨迹是以（4，2）为圆心，半径为1的圆点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，并求出点的轨迹方程，在计算轨迹问题时的方法：用未知点坐标表示已知点坐标，然后代入原解析式即可求出关于动点的轨迹方程21、（1）（2）【解析】（1）结合函数