材料力学 课件 第五章 弯曲强度

材料力学安阳工学院第五章弯曲强度第五章弯曲强度§5.1与应力分析相关的截面图形的几何量§5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析§5.3弯曲切应力§5.4梁弯曲时的强度计算§5.5提高梁弯曲强度的措施第五章弯曲强度§5.1与应力分析相关的截面图形的几何量§5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析§5.3弯曲切应力§5.4梁弯曲时的强度计算§5.5提高梁弯曲强度的措施5.1与应力分析相关的截面图形的几何量

不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于内力分量的类型、大小以及杆件的尺寸，而且与杆件横截面的几何形状有关。因此，研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。5.1与应力分析相关的截面图形的几何量1、静矩dAzyyz微面积dA对Z轴的静矩微面积dA对Y轴的静矩量钢：L3截面一次矩(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积（用S表示）如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩，用Sz和Sy则表示。5.1与应力分析相关的截面图形的几何量2、形心图形几何形状的中心称为形心若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。设zc、yc为形心坐标，则根据合力矩定理：形心坐标与静矩之间的关系5.1与应力分析相关的截面图形的几何量

根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可以看出：静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩：对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零，如果图形对于某些轴的静矩等于零，那么该轴过形心。如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。5.1与应力分析相关的截面图形的几何量yzbhC对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零.5.1与应力分析相关的截面图形的几何量

简单的、规则的图形，形心位置可直接判断，继而得出其对某坐标轴的静矩。

工程中很多构件的截面看作多个简单图形的组合图形，其对某一轴的静矩等于图形各部分对同轴静矩的代数和，通过组合图形对某一轴的静矩求解其形心。5.1与应力分析相关的截面图形的几何量例5-1

试计算下图三角形截面对y,z轴的静矩及形心坐标。解：计算静矩Sz，可取平行于z轴的狭长条（个点y坐标相等），则有由相似三角形关系，有则有根据得：5.1与应力分析相关的截面图形的几何量例5-1

试计算下图三角形截面对y,z轴的静矩及形心坐标。解：计算静矩Sz，可取平行于z轴的狭长条（个点y坐标相等），则有由相似三角形关系，有则有根据得：5.1与应力分析相关的截面图形的几何量同理由形心坐标公式，得5.1与应力分析相关的截面图形的几何量例5-2

试确定下图的形心坐标。解：图形分割为两部分，各部分形心依次为C1，C2801201010xyC2C1C1(40,5)C2(5,65)5.1与应力分析相关的截面图形的几何量用负面积法求解，图形分割如图C2负面积C1xyC1（40,60）C2（45,65）5.1与应力分析相关的截面图形的几何量3、惯性矩截面二次轴矩是面积与它到轴的距离的平方之积。dAzyyzr图形对z轴的惯性矩:图形对y轴的惯性矩:惯性矩与坐标轴有关惯性矩恒为正量纲为L45.1与应力分析相关的截面图形的几何量4、惯性积面积与它到两坐标轴距离之积。dAzyyzr图形对y，z轴的惯性积:可正可负量纲为L4若截面关于y或z轴对称5.1与应力分析相关的截面图形的几何量5、极惯性矩面积对极点的二次矩。dAzyyzr图形对O点的极惯性矩:因为所以5.1与应力分析相关的截面图形的几何量6、惯性半径

截面对某一轴的惯性半径反映了截面面积分布对该轴的靠近程度。P2695.1与应力分析相关的截面图形的几何量例5-3坐标轴原点位于矩形横截面的中心时，该截面对y轴和z轴的惯性矩。先求对z轴的惯性矩，平行于z轴取狭长条同理，得若为高h，宽b的平行四边形，由于算式相同，结果不变。5.1与应力分析相关的截面图形的几何量例5-4求如图所示的圆截面对其对称轴的惯性矩。取图中阴影部分面积为dA，则由于对称性，有根据极惯性矩定义，得5.1与应力分析相关的截面图形的几何量7、平行移轴定理以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴，如图dAzyyzrabCzCyC5.1与应力分析相关的截面图形的几何量注意:C点必须为形心同理:图形对某坐标轴的惯性矩,等于它对过形心且平行于该轴的坐标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积。5.1与应力分析相关的截面图形的几何量8、组合截面惯性矩和惯性积组合截面对某坐标轴的惯性矩(积),等于其中各部分对同一坐标轴惯性矩(积)之和5.1与应力分析相关的截面图形的几何量空心圆呢？5.1与应力分析相关的截面图形的几何量例5-5试确定如图所示的T型截面对形心轴yc的惯性矩Iyc。解：图形分割为两个矩形确定形心：5.1与应力分析相关的截面图形的几何量计算矩形对yc轴的惯性矩§5.1与应力分析相关的截面图形的几何量§5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析§5.3弯曲切应力§5.4梁弯曲时的强度计算§5.5提高梁弯曲强度的措施第五章弯曲强度5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析mmFSM1、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时,一般情况下,梁的横截面上既又弯矩M,又有剪力FS

.mmFS

mmM

弯矩M

正应力s只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=

dA

才能合成弯矩剪力FS

切应力t内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=

dA

才能合成剪力所以,在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析

简支梁CD段任一横截面上,剪力等于零,而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就是纯弯曲；AC、DB段横力弯曲。

若梁在某段内各横截面的弯矩为常量,剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.既有剪力又有弯矩就是横力弯曲。++FF+F.aFFaaCDAB2、纯弯曲与横力弯曲平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)s

st5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析几何关系静力关系物理关系观察变形提出假设得出变形分布规律得出应力分布规律建立公式3、分析问题方法5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析4、实验1）变形现象纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析2）提出假设平面假设变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线(b)单向受力假设纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压。推论：必有一层变形前后长度不变的纤维——中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥

中性层5.2

纯弯曲时梁横截面上的正应力分析观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴dxyzxoy5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比dx5、变形几何关系yρzyxo’o’b’b’bboo5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析6、物理关系所以Hooke’sLawMyzOx?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ??直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比应力分布规律5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系静力关系建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴应力的分布规律物理关系5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析yzxOMdAzyσdA7、静力关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量中性轴的位置待解决问题MzMy内力与外力相平衡可得(1)(2)(3)5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入(2)式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心自然满足5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心EIz称为抗弯刚度5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩(1)应用公式时,一般将M,y

以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号).凹入边的应力为压应力(

为负号).(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。则公式改写为引用记号——抗弯截面系数讨论适用条件：l/h>55.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析例5-8受均布载荷作用的简支梁如图所示，已知梁的横截面为矩形，矩形的宽度b=20mm，高度h=30mm，均布载荷q=10kN/m，梁的长度l=450mm。求梁最大弯矩截面上1、2点处的正应力。q=10kN/mABl/2l/2Cyzhb215.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析1.求支反力解：2.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值3.计算惯性矩4.求弯矩最大截面上1、2两点的正应力均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对称轴z轴就是中性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的方向，可以判断：1点受拉应力，2点受压应力。5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析于是，在弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析作弯矩图，寻找最大弯矩的截面要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置例5-9

T型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。已知截面对形心轴z轴的惯性矩为试校核梁的强度。F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m80y1y22020120z5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析（1）求支座反力，作弯矩图最大正弯矩在C截面，最大负弯矩在B截面（2）确定最大值截面以及弯矩最大值5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析（3）分别求两截面上的最大拉应力和最大压应力B截面：C截面：§5.1与应力分析相关的截面图形的几何量§5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析§5.3弯曲切应力§5.4梁弯曲时的强度计算§5.5提高梁弯曲强度的措施第五章弯曲强度5.3弯曲切应力梁弯曲时横截面上既有剪力又有弯矩，所以横截面上既有正应力又有切应力，先分几种截面形状讨论弯曲切应力。1）横截面上各点的切应力方向平行于剪力2）切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：需要校核切应力的几种特殊情况1）梁的跨度较短,M

较小,而FS较大时,要校核剪应力.2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时,要校核剪应力.3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核剪应力.5.3弯曲切应力τmaxzz式中,A=bh,为矩形截面的面积.1、矩形截面梁整个横截面对中性轴的惯性矩b矩型截面的宽度距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩yz5.3弯曲切应力2、工字形截面梁HoyBxbzhτminozyτmaxτmax(a)腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化.(b)最大剪应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大剪应力.5.3弯曲切应力ydzo假设(a)沿宽度kk’上各点处的剪应力均汇交于o’点。(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等。在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切.3、圆截面梁最大剪应力发生在中性轴上式中为圆截面的面积5.3弯曲切应力4、圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为

,环的平均半径为r0,由于

«r0故可假设(a)横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化.(b)剪应力的方向与圆周相切.zyr0δ式中A=2r0

为环形截面的面积横截面上最大的剪应力发生中性轴上,其值为5.3弯曲切应力例5-12

承受集中载荷的矩形截面细长悬臂梁如图所示，试求梁的最大弯曲正应力和最大弯曲切应力及二者比值。解：最大弯曲正应力和最大弯曲切应力分别发生在最大弯矩和最大剪力的截面上。画梁的剪力和弯矩图，找最大弯矩和最大剪力截面。最大弯矩在固定端A处，其值为：最大剪力在梁的各个横截面上，其值为：故故5.3弯曲切应力最大弯曲正应力与最大弯曲切应力的比值为：由此可见，当梁的跨度远大于截面高度时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。所以l/h>5时，梁的弯曲正应力是主要的。思考:如果梁的材料是由三块木板粘接而成。跨度为l=1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。5.3弯曲切应力1)按正应力强度条件计算许可载荷2)按切应力强度条件计算许可载荷3)按胶合面强度条件计算许可载荷4)梁的许可载荷为§5.1与应力分析相关的截面图形的几何量§5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析§5.3弯曲切应力§5.4梁弯曲时的强度计算§5.5提高梁弯曲强度的措施第五章弯曲强度5.4梁弯曲时的强度计算对于梁的强度计算，一般只考虑正应力。韧性材料脆性材料对于某些特殊情况，需要考虑切应力。最大切应力作用点一般没有正应力，所以切应力强度条件为：通过强度条件，可解决三类问题：1）强度校核；2）设计截面；3）确定许可载荷。

顺纹许用切应力，试校核梁的强度。5.4梁弯曲时的强度计算例5-13

矩形截面木梁受力情况如果所示，已知，木材的许用弯曲正应力2）作梁的剪力图和弯矩图解：1）求支座反力3）确定危险截面5.4梁弯曲时的强度计算4）强度校核所以，梁同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。试选择图中工字形梁的型号。例5-14

若，，5.4梁弯曲时的强度计算2）作梁的剪力图和弯矩图解：1）求支座反力3）确定弯矩和剪力最大值4）根据正应力选择截面查型钢表P269,选择32a工字钢5）校核切应力5.4梁弯曲时的强度计算，尺寸如图所示，求最大许可载荷[F]。例5-15

由No.20b工字钢制成的外伸梁，在外伸端C处作用集中力F,已知解：1）求支座反力2）作梁弯矩图3）确定弯矩最大值4）根据正应力强度条件确定许可载荷5.4梁弯曲时的强度计算

，试设计正方形截面和矩形截面（h=2b），并比较它们截面面积的大小。例5-16

简支梁受载如图所示，已知F=10kN，q=10kN/m，l=4m，a=1m，解：1）求支座反力2）作梁弯矩图5.4梁弯曲时的强度计算3）确定弯矩最大值4）根据正应力强度条件设计截面①正方形截面②矩形截面③二者面积比较§5.1与应力分析相关的截面图形的几何量§5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力分析§5.3弯曲切应力§5.4梁弯曲时的强度计算§5.5提高梁弯曲强度的措施第五章弯曲强度5.5

提高梁弯曲强度的措施强度条件1）合理安排梁的受力情况，