江苏姜堰第二中学2025-2026学年高二下学期第一次学情检测数学试题（含解析）

江苏姜堰第二中学2025-2026学年高二下学期第一次学情检测数学试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分命题人：姜堰第二中学高二数学组审题人：姜堰第二中学高二数学组注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡相应位置，并用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，写在试题卷上无效。3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合题目要求）1.函数f(x)=x³-3x²+2的导数f’(x)为（）A.3x²-6xB.3x²-3xC.x²-6xD.x²-3x2.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）的离心率e=2，则$\frac{b}{a}$的值为（）A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$3.已知空间向量$\vec{a}$=(1,2,-1)，$\vec{b}$=(2,m,4)，若$\vec{a}$⊥$\vec{b}$，则m的值为（）A.-1B.1C.-2D.24.函数f(x)=xlnx在区间(0,1)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增5.已知抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=3，则点P的横坐标为（）A.1B.2C.3D.46.已知函数f(x)在x=1处取得极值，且f’(1)=0，f(1)=2，则下列说法正确的是（）A.x=1是f(x)的极大值点B.x=1是f(x)的极小值点C.无法判断x=1是极大值点还是极小值点D.f(x)在x=1处无极值7.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AB₁与BC₁所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知函数f(x)=x³-3x+1，则函数f(x)的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列关于导数的说法正确的是（）A.若函数f(x)在x=x₀处可导，则f(x)在x=x₀处连续B.若函数f(x)在x=x₀处连续，则f(x)在x=x₀处可导C.若f’(x₀)=0，则x=x₀是f(x)的极值点D.若x=x₀是f(x)的极值点，且f(x)在x=x₀处可导，则f’(x₀)=010.已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，则下列说法正确的是（）A.椭圆的长轴长为8B.椭圆的短轴长为6C.椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{7}}{4}$D.椭圆的焦点坐标为(±5,0)11.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，则下列说法正确的是（）A.直线BC₁与平面ABC所成的角为45°B.三棱锥A₁-ABC的体积为$\frac{4}{3}$C.异面直线A₁B与AC₁所成的角为60°D.平面A₁BC₁⊥平面A₁ABB₁三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）12.曲线y=x²-2x+3在点(1,2)处的切线方程为__________。13.已知空间向量$\vec{a}$=(2,-1,3)，$\vec{b}$=(1,2,-1)，则$\vec{a}$·$\vec{b}$=__________，|$\vec{a}$|=__________。（第一空2分，第二空3分）14.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-1处取得极大值，在x=2处取得极小值，则a=__________，b=__________。15.已知双曲线$\frac{x^2}{k}-\frac{y^2}{4}=1$（k>0）的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，则k=__________。四、解答题（本大题共6小题，共75分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（12分）已知函数f(x)=x³-3x²-9x+1。（1）求函数f(x)的导数f’(x)；（2）求函数f(x)在区间[-2,2]上的单调区间和极值。17.（12分）已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点P(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l过点F₂，且与椭圆C交于A、B两点，求△ABF₁的周长。18.（12分）如图，在空间直角坐标系中，已知点A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，E为线段CD的中点。（1）求向量$\vec{AE}$和$\vec{BC}$的坐标；（2）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（3）求点B到平面ACD的距离。19.（12分）已知函数f(x)=lnx-ax+1（a∈R）。（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在x=1处取得最大值，求实数a的值及最大值。20.（13分）已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3。（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线l的斜率为1，求△OAB（O为坐标原点）的面积。21.（14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC上一点，且PF=$\frac{1}{3}$PC。（1）证明：EF∥平面PAB；（2）求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值；（3）求点C到平面AEF的距离。五、参考答案及解析一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.A【解析】根据基本导数公式，(xⁿ)’=nxⁿ⁻¹，可得f’(x)=3x²-6x，故选A项。2.A【解析】双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=2，且c²=a²+b²，故c=2a，代入得4a²=a²+b²⇒b²=3a²⇒$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，故选A项。3.A【解析】空间向量垂直的充要条件是数量积为0，即$\vec{a}$·$\vec{b}$=1×2+2×m+(-1)×4=2+2m-4=0，解得m=-1，故选A项。4.B【解析】求导得f’(x)=lnx+1，当x∈(0,1)时，lnx<0，故f’(x)=lnx+1<0，函数单调递减，故选B项。5.B【解析】抛物线y²=4x的焦点F(1,0)，准线方程为x=-1，由抛物线定义，|PF|=xₚ+1=3，解得xₚ=2，故选B项。6.C【解析】极值点的判断需结合导数的符号变化，仅知道f’(1)=0和f(1)=2，无法判断x=1两侧导数的符号，故无法确定是极大值点还是极小值点，故选C项。7.C【解析】在正方体中，AB₁∥DC₁，故异面直线AB₁与BC₁所成的角等于DC₁与BC₁所成的角，△DC₁B为等边三角形，故夹角为60°，故选C项。8.C【解析】求导得f’(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，令f’(x)=0，得x=-1或x=1。f(-1)=(-1)³-3×(-1)+1=3>0，f(1)=1³-3×1+1=-1<0，f(2)=8-6+1=3>0，f(-2)=-8+6+1=-1<0，故函数有3个零点，故选C项。二、多项选择题（每小题5分，共15分）9.AD【解析】A选项，可导必连续，正确；B选项，连续不一定可导（如y=|x|在x=0处连续但不可导），错误；C选项，f’(x₀)=0不一定是极值点（如f(x)=x³在x=0处f’(0)=0，但无极值），错误；D选项，极值点可导则导数为0，正确。故选AD项。10.ABC【解析】椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$中，a=4，b=3，c=$\sqrt{a²-b²}$=$\sqrt{7}$。长轴长2a=8，A正确；短轴长2b=6，B正确；离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，C正确；焦点坐标为(±$\sqrt{7}$,0)，D错误。故选ABC项。11.AC【解析】以A为原点，AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立坐标系，各点坐标：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A₁(0,0,2)，B₁(2,0,2)，C₁(0,2,2)。A选项，BC₁=(-2,2,2)，平面ABC的法向量为(0,0,1)，线面角θ满足sinθ=$\frac{2}{\sqrt{4+4+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，错误；B选项，三棱锥A₁-ABC的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×2=$\frac{4}{3}$，正确；C选项，A₁B=(2,0,-2)，AC₁=(0,2,2)，夹角余弦值为$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{8}×\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，夹角为60°，正确；D选项，平面A₁BC₁的法向量为(1,1,1)，平面A₁ABB₁的法向量为(0,1,0)，数量积为1≠0，不垂直，错误。故选BC项（修正：A选项计算错误，重新计算：BC₁=(-2,2,2)，平面ABC的法向量为(0,0,1)，线面角的正弦值为$\frac{|\vec{BC₁}·(0,0,1)|}{|\vec{BC₁}|×|(0,0,1)|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，不是45°，A错误；B正确，C正确，D错误，故选BC项）。三、填空题（每小题5分，共20分）12.y=2【解析】求导得y’=2x-2，在点(1,2)处的切线斜率k=2×1-2=0，切线方程为y-2=0×(x-1)，即y=2。13.-3；$\sqrt{14}$【解析】$\vec{a}$·$\vec{b}$=2×1+(-1)×2+3×(-1)=2-2-3=-3；|$\vec{a}$|=$\sqrt{2²+(-1)²+3²}$=$\sqrt{4+1+9}$=$\sqrt{14}$。14.-$\frac{3}{2}$；-6【解析】f’(x)=3x²+2ax+b，由题意，x=-1和x=2是f’(x)=0的两根，故$\begin{cases}3-2a+b=0\\12+4a+b=0\end{cases}$，解得a=-$\frac{3}{2}$，b=-6。15.9【解析】双曲线$\frac{x^2}{k}-\frac{y^2}{4}=1$的渐近线方程为y=±$\frac{2}{\sqrt{k}}$x，由题意$\frac{2}{\sqrt{k}}$=$\frac{2}{3}$，解得k=9。四、解答题（共75分）16.（12分）解：（1）根据导数公式，f’(x)=3x²-6x-9；（4分）（2）令f’(x)=0，即3x²-6x-9=0，化简得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3（舍去，因为3∉[-2,2]）。（6分）当x∈[-2,-1)时，f’(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(-1,2]时，f’(x)<0，函数f(x)单调递减。（8分）极大值为f(-1)=(-1)³-3×(-1)²-9×(-1)+1=-1-3+9+1=6；（10分）极小值为f(2)=2³-3×2²-9×2+1=8-12-18+1=-21。（12分）17.（12分）解：（1）由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，又c²=a²-b²，故$\frac{3}{4}$a²=a²-b²⇒b²=$\frac{1}{4}$a²。（3分）椭圆过点P(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)，代入椭圆方程得$\frac{1}{a²}$+$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})²}{b²}$=1，将b²=$\frac{1}{4}$a²代入，解得a²=4，b²=1。（5分）故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+y²=1$；（6分）（2）由椭圆定义，|AF₁|+|AF₂|=2a=4，|BF₁|+|BF₂|=2a=4，（9分）△ABF₁的周长=|AF₁|+|BF₁|+|AB|=|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=(|AF₁|+|AF₂|)+(|BF₁|+|BF₂|)=4+4=8。（12分）18.（12分）解：（1）由题意，各点坐标：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，E为CD中点，故E(0,1,1)。（2分）$\vec{AE}$=(0,1,1)，$\vec{BC}$=(0-2,2-0,0-0)=(-2,2,0)；（4分）（2）异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值，（6分）$\vec{AE}$·$\vec{BC}$=0×(-2)+1×2+1×0=2，|$\vec{AE}$|=$\sqrt{0²+1²+1²}$=$\sqrt{2}$，|$\vec{BC}$|=$\sqrt{(-2)²+2²+0²}$=2$\sqrt{2}$，（8分）故cosθ=$\frac{|\vec{AE}·\vec{BC}|}{|\vec{AE}|×|\vec{BC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$；（9分）（3）平面ACD的法向量：$\vec{AC}$=(0,2,0)，$\vec{AD}$=(0,0,2)，设法向量为$\vec{n}$=(x,y,z)，则$\begin{cases}\vec{n}·\vec{AC}=2y=0\\\vec{n}·\vec{AD}=2z=0\end{cases}$，取$\vec{n}$=(1,0,0)。（10分）点B到平面ACD的距离d=$\frac{|\vec{AB}·\vec{n}|}{|\vec{n}|}$=$\frac{|2×1+0+0|}{1}$=2。（12分）19.（12分）解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f’(x)=$\frac{1}{x}$-a。（2分）当a≤0时，f’(x)=$\frac{1}{x}$-a>0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；（4分）当a>0时，令f’(x)=0，得x=$\frac{1}{a}$。（5分）当x∈(0,$\frac{1}{a}$)时，f’(x)>0，函数单调递增；当x∈($\frac{1}{a}$,+∞)时，f’(x)<0，函数单调递减。（7分）综上，a≤0时，单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；a>0时，单调递增区间为(0,$\frac{1}{a}$)，单调递减区间为($\frac{1}{a}$,+∞)。（8分）（2）由（1）知，当a>0时，函数f(x)在x=$\frac{1}{a}$处取得最大值，（9分）若函数在x=1处取得最大值，则$\frac{1}{a}$=1⇒a=1。（10分）此时最大值f(1)=ln1-1×1+1=0-1+1=0。（12分）20.（13分）解：（1）抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点F($\frac{p}{2}$,0)，准线方程为x=-$\frac{p}{2}$。（2分）设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，由抛物线定义，|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=8。（4分）线段AB的中点横坐标为$\frac{x₁+x₂}{2}$，由题意$\frac{x₁+x₂}{2}$=3⇒x₁+x₂=6。（6分）代入得6+p=8⇒p=2，故抛物线C的标准方程为y²=4x。（7分）（2）直线l的斜率为1，焦点F(1,0)，故直线l的方程为y=x-1。（8分）联立$\begin{cases}y=x-1\\y²=4x\end{cases}$，消去y得(x-1)²=4x⇒x²-6x+1=0，（10分）则x₁+x₂=6，x₁x₂=1，|x₁-x₂|=$\sqrt{(x₁+x₂)²-4x₁x₂}$=$\sqrt{36-4}$=$\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$。（11分）△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$×|OF|×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×|(x₁-1)-(x₂-1)|=$\frac{1}{2}$×|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$。（13分）21.（14分）解：以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，各点坐标：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，E为PD中点，故E(0,2,1)；F为PC上一点，PF=$\frac{1}{3}$PC，PC=(2,4,-2)，故F(0+$\frac{2}{3}$,0+$\frac{4}{3}$,2-$\frac{2}{3}$)=($\frac{2}{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{4}{3}$)。（2分）（1）证明：$\vec{EF}$=($\frac{2}{3}$-0,$\frac{4}{3}$-2,$\frac{4}{3}$-1)=($\frac{2}{3}$,-$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$)，平面PAB的法向量为$\vec{n}$=(0,1,0)。（4分