2026届高三一轮试题数学第20练弧度制、任意角的三角函数

第四章三角函数与解三角形第20讲弧度制、任意角的三角函数链教材夯基固本激活思维1．(人A必一P176T7(2))若α为第一象限角，则eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角2．下列各式不正确的是()A．－210°＝－eq\f(7π,6) B．405°＝eq\f(9π,4)C．335°＝eq\f(23π,12) D．705°＝eq\f(47π,12)3．当α为第二象限角时，eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)的值是()A．1 B．0C．2 D．－24．(多选)已知角θ的终边上有一点P(a,2a)，若a＜0，则()A．sinθ＝－eq\f(\r(,5),5) B．sinθ＝－eq\f(2\r(,5),5)C．tanθ＝－eq\f(1,2) D．tanθ＝25．(人A必一P175练习T6改)已知圆心角为eq\f(π,6)的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的面积为____．聚焦知识1．角的概念的推广定义平面内一条射线绕着____从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形分类按旋转方向____、____、____按终边位置____、轴线角终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}2．弧度制的定义和公式定义长度等于____的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝____扇形面积公式S＝____＝____注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为rsinα＝eq\f(y,r)cosα＝eq\f(x,r)tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段____为正弦线有向线段____为余弦线有向线段___为正切线注意：若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则tanα____α___sinα．4．常见结论(1)β，α的终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z．(2)β，α的终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z．(3)β，α的终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z．研题型能力养成举题说法象限角及其表示例1(1)若β是第二象限角，则eq\f(3π,2)＋β是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为____．(1)象限角(2)轴线角变式1(多选)若α是第二象限角，则下列说法正确的是()A．－α是第三象限角B．eq\f(α,2)是第三象限角C．eq\f(π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上弧度制与扇形的弧长、面积公式例2已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l;(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．变式2(2024·青岛一模)2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．如图(1)，出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据如图(2)：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm，若sin37°≈eq\f(3,5)，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)的面积近似为()图(1)图(2)A．6.8cm2 B．9.8cm2C．14.8cm2 D．22.4cm2任意角的三角函数例3(1)(2024·深圳一调)若角α的终边过点(4,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝()A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)(2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为角α的顶点，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是()A．eq\f(sinα,tanα) B．cosα－sinαC．sinαcosα D．sinα＋cosα(1)当已知角α终边上一点P的坐标时，可利用三角函数的定义求出角α的三角函数值．(2)当已知角α的三角函数值时，也可以利用三角函数的定义求出点P的坐标．变式3(2024·福州、厦门三检)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosα＝eq\f(\r(5),5)，P(m，2)为其终边上一点，则m＝()A．－4 B．4C．－1 D．1三角函数线例4(多选)已知sinα＞sinβ，那么下列结论正确的是()A．若角α，β是第一象限角，则cosα＞cosβB．若角α，β是第二象限角，则tanβ＞tanαC．若角α，β是第三象限角，则cosβ＞cosαD．若角α，β是第四象限角，则tanα＞tanβ变式4(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))，eq\o\ac(EF,\s\up10(︵))，eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是()A．eq\o\ac(AB,\s\up10(︵)) B．eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))C．eq\o\ac(EF,\s\up10(︵)) D．eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))随堂内化1．与－2026°终边相同的最小正角是()A．136° B．134°C．57° D．43°2．(2020·全国Ⅱ卷理)若α为第四象限角，则()A．cos2α＞0 B．cos2α＜0C．sin2α＞0 D．sin2α＜03．(2024·济南、青岛、枣庄三模)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，sin\f(π,3)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)4．(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))上，CD⊥AB．“会圆术”给出eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋eq\f(CD2,OA)．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝()A．eq\f(11－3\r(3),2) B．eq\f(11－4\r(3),2)C．eq\f(9－3\r(3),2) D．eq\f(9－4\r(3),2)5．(人A必一P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝____，cosα＝____，tanα＝____．配套热练A组夯基精练一、单项选择题1．sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在2．(2024·吕梁二模)已知角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点(－eq\r(,3)，1)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝()A．－eq\r(,3) B．－eq\f(\r(,3),3)C．eq\f(\r(,3),3) D．eq\r(,3)3．(2025·青岛期初)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若cosα＝－eq\f(1,3)，则cos(α－β)＝()A．eq\f(1,9) B．－eq\f(7,9)C．1 D．eq\f(9,7)4．中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆的面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n，使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π．据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为()A．π≈eq\f(n,2)sineq\f(360°,n) B．π≈nsineq\f(180°,n)C．π≈neq\r(,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－cos\f(360°,n)))) D．π≈eq\f(n,2)eq\r(,1－cos\f(180°,n))二、多项选择题5．若eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，那么下列不等式成立的是()A．sinα＜cosα＜tanα B．cosα＜sinα＜tanαC．sinα＜α＜tanα D．α＜sinα＜tanα6．(2024·温州二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3,4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则()A．cos(π＋α)＝eq\f(3,5) B．β＝2kπ＋eq\f(π,2)＋2α(k∈Z)C．tanβ＝eq\f(7,24) D．角β的终边在第一象限7．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝eq\f(π,3)，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则()A．经过1s后，∠BOA的弧度数为eq\f(π,3)＋3B．经过eq\f(π,12)s后，扇形AOB的弧长为eq\f(7π,12)C．经过eq\f(π,6)s后，扇形AOB的面积为eq\f(π,3)D．经过eq\f(5π,9)s后，A，B在单位圆上第一次相遇三、填空题8．如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是____．9．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，终边过点A(3，y)，且sin(π＋θ)＝eq\f(4,5)，则cosθ＝____，tanθ＝____．10．已知一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq\f(2,3)，面积等于圆面积的eq\f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为____．四、解答题11．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上有一点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且OM＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－eq\f(4,5)，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．B组滚动小练13．(2024·韶关一模)若函数f(x)＝log2(x2－4)在(－∞，a)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)C．(－∞，0] D．[0，＋∞)14．(2024·扬州期中)若关于x的不等式x2＋px＋q＜0的解集为(－1,2)，则不等式eq\f(x2＋px－12,x＋q)＞0的解集为()A．(－4,2)∪(3，＋∞) B．(－3,2)∪(4，＋∞)C．(－∞，－3)∪(2,4) D．(－∞，－4)∪(2,3)15．(2025·黄冈期初)已知函数f(x)＝2alnx＋eq\f(3,4)x2－(a＋3)x(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋b，求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性．第四章三角函数与解三角形第20讲弧度制、任意角的三角函数激活思维1.D【解析】因为α为第一象限角，所以2kπ<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以kπ<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ<eq\f(α,2)<2nπ＋eq\f(π,4)，属于第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋π<eq\f(α,2)<2nπ＋eq\f(5π,4)，属于第三象限角，所以eq\f(α,2)是第一或第三象限角．2.C【解析】对于A，－210°＝－210×eq\f(π,180)＝－eq\f(7π,6)，故A正确；对于B，405°＝405×eq\f(π,180)＝eq\f(9π,4)，故B正确；对于C，335°＝335×eq\f(π,180)＝eq\f(67π,36)，故C错误；对于D，705°＝705×eq\f(π,180)＝eq\f(47π,12)，故D正确．3.C【解析】因为α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2.4.BD【解析】由题知sinθ＝eq\f(2a,\r(,a2＋4a2))＝eq\f(2a,－\r(,5)a)＝－eq\f(2\r(,5),5)，tanθ＝eq\f(2a,a)＝2.5.12π【解析】因为α＝eq\f(π,6)，l＝αr，所以r＝eq\f(2π,\f(π,6))＝12，所以扇形面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×12＝12π.聚焦知识1.端点正角负角零角象限角2.半径长|α|req\f(1,2)lreq\f(1,2)|α|r23.MPOMAT>>举题说法例1(1)A【解析】方法一：因为角β是第二象限角，所以eq\f(π,2)＋2kπ<β<π＋2kπ(k∈Z)，则2π＋2kπ<eq\f(3π,2)＋β<eq\f(5π,2)＋2kπ(k∈Z)，故eq\f(3π,2)＋β是第一象限角．方法二：因为角β是第二象限角，取β＝eq\f(3π,4)，则eq\f(3π,2)＋β＝eq\f(9π,4)，所以eq\f(3π,2)＋β是第一象限角．(2){α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}【解析】在0°～360°内，终边落在阴影部分内的角表示为45°＜α＜150°，所以所求角的集合为{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．变式1AD【解析】由α是第二象限角，可得eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.对于A，可得－π－2kπ＜－α＜－eq\f(π,2)－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，故A正确；对于B，可得eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)位于第一象限；当k为奇数时，eq\f(α,2)位于第三象限，故B错误；对于C，可得π＋2kπ＜eq\f(π,2)＋α＜eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(π,2)＋α位于第三象限，故C错误；对于D，可得π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，故D正确．例2【解答】(1)因为α＝60°＝eq\f(π,3)rad，所以l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm).(2)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2)，))故扇形的圆心角为eq\f(1,2).(3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.变式2C【解析】显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB≈5，AB≈8，则cos∠OAB＝eq\f(\f(1,2)AB,OA)≈eq\f(4,5)，sin∠OAB≈eq\f(3,5)，即∠OAB≈37°，于是∠AOB≈106°＝eq\f(53π,90)，所以璜身的面积近似为eq\f(1,2)∠AOB·(OA2－OD2)≈eq\f(1,2)×eq\f(53π,90)×(52－32)≈14.8(cm2).例3(1)A【解析】因为角α的终边过点(4，3)，所以cosα＝eq\f(4,\r(42＋32))＝eq\f(4,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝eq\f(4,5).(2)AB【解析】由题意知sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0，则eq\f(sinα,tanα)＞0，故A正确；cosα－sinα＞0，故B正确；sinαcosα＜0，故C错误；sinα＋cosα的符号不确定，故D错误．变式3D【解析】由题意可得cosα＝eq\f(m,\r(m2＋4))＝eq\f(\r(5),5)，且m>0，解得m＝1.例4BCD【解析】设角α，β的终边分别为射线OP，OQ.对于A，如图(1)，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时cosα＝OM，cosβ＝ON，OM<ON，所以cosα<cosβ，故A错误；对于B，如图(2)，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时tanα＝AC，tanβ＝AB，且AC<AB，所以tanα<tanβ，故B正确；对于C，如图(3)，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时cosα＝OM，cosβ＝ON，且OM<ON，所以cosβ>cosα，故C正确；对于D，如图(4)，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时tanα＝AC，tanβ＝AB，AB<AC，即tanβ<tanα，故D正确．图(1)图(2)图(3)图(4)(例4)变式4C【解析】方法一：设P(x，y)，如图，有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线．对于A，当点P在eq\x\to(AB)上时，x>y≥0，cosα＝x，sinα＝y，所以cosα>sinα，故A错误；对于B，当点P在eq\x\to(CD)(不含端点D)上时，0<x<y≤1，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝eq\f(y,x)>1，所以tanα>sinα>cosα，故B错误；对于C，当点P在eq\x\to(EF)上时，x<0，y>0，|y|>|x|，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝eq\f(y,x)<－1，所以sinα>cosα>tanα，故C正确；对于D，当点P在eq\x\to(GH)上且eq\x\to(GH)在第三象限时，x<y<0，则tanα>0，sinα<0，cosα<0，故D错误．方法二：若点P在eq\x\to(AB)或eq\x\to(CD)上(不含端点A，D)，则α在第一象限，此时tanα－sinα＝tanα(1－cosα)>0，与tanα<sinα矛盾，故排除A，B.若点P在eq\x\to(GH)上(不含端点G)，则α在第三象限，此时tanα>0，cosα<0，与tanα<cosα矛盾，排除D，故选C.(变式4)随堂内化1.B【解析】因为－2026°＝－360°×6＋134°，所以与－2026°终边相同的最小正角是134°.2.D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得eq\f(3π,2)＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，所以3π＋4kπ<2α<4π＋4kπ，k∈Z，此时2α的终边落在第三或第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin2α<0.方法二：当α＝－eq\f(π,6)时，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>0，B错误；当α＝－eq\f(π,3)时，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))<0，A错误；由α在第四象限可得sinα<0，cosα>0，则sin2α＝2sinαcosα<0，C错误，D正确．3.D【解析】因为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，sin\f(π,3)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝cosαcoseq\f(π,6)＋sinα·sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2).4.B【解析】如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，即OD＝OA＝OB＝2.又∠AOB＝60°，所以AB＝OA＝OB＝2，则OC＝eq\r(3)，故CD＝2－eq\r(3)，所以s＝AB＋eq\f(CD2,OA)＝2＋eq\f(（2－\r(3)）2,2)＝eq\f(11－4\r(3),2).(第4题)5.－eq\f(3\r(13),13)eq\f(2\r(13),13)－eq\f(3,2)【解析】因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝eq\r(22＋（－3）2)＝eq\r(13)，于是sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3,\r(13))＝－eq\f(3\r(13),13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(2,\r(13))＝eq\f(2\r(13),13)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,2).配套精炼1.A【解析】因为eq\f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq\f(3π,2)，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，所以sin2·cos3·tan4＜0.2.A【解析】方法一：由角α终边经过点(－eq\r(,3)，1)，可得tanα＝－eq\f(\r(,3),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(tanα－tan\f(π,6),1＋tanαtan\f(π,6))＝－eq\r(,3).方法二：因为角α的终边经过点(－eq\r(,3)，1)，所以α为第二象限角，tanα＝－eq\f(\r(,3),3)，则α＝eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(,3).3.B【解析】因为角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称，所以cosα＝cosβ＝－eq\f(1,3)，sinα＝－sinβ，且sin2α＝1－cos2α＝eq\f(8,9)，sinα·sinβ＝－sin2α＝－eq\f(8,9)，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(1,9)－eq\f(8,9)＝－eq\f(7,9).4.A【解析】设圆的半径为r，将内接正n边形分成n个小三角形，由内接正n边形的面积无限接近圆的面积，即可得πr2≈n·eq\f(1,2)·r2·sineq\f(360°,n)，解得π≈eq\f(n,2)sineq\f(360°,n).5.BC【解析】对于A，B，如图，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM＜MP＜AT，即cosα＜sinα＜tanα.对于C，D，如图，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、正切线AT，则MP＝sinα，AT＝tanα.连接AP，因为S△AOP＝eq\f(1,2)OA·MP＝eq\f(1,2)sinα，S扇形AOP＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)α，S△AOT＝eq\f(1,2)OA·AT＝eq\f(1,2)tanα.因为S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，所以eq\f(1,2)sinα＜eq\f(1,2)α＜eq\f(1,2)tanα，即sinα＜α＜tanα.(第5题)6.ACD【解析】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)，所以OP＝5，所以sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，所以cos(π＋α)＝－cosα＝eq\f(3,5)，故A正确．因为sin2α＝2sinα·cosα＝2×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(24,25)，cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(7,25)，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,25)，－\f(24,25))).因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)，\f(7,25)))，所以tanβ＝eq\f(7,24)，且β的终边在第一象限，故C正确，D正确．因为终边在直线y＝－x的角为kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称，所以eq\f(2α＋β,2)＝kπ－eq\f(π,4)⇒β＝2kπ－eq\f(π,2)－2α(k∈Z)，故B错误．7.ABD【解析】经过1s后，质点A运动1rad，质点B运动2rad，此时∠BOA的弧度数为eq\f(π,3)＋3，故A正确；经过eq\f(π,12)s后，∠AOB＝eq\f(π,12)＋eq\f(π,3)＋2×eq\f(π,12)＝eq\f(7π,12)，故扇形AOB的弧长为eq\f(7π,12)×1＝eq\f(7π,12)，故B正确；经过eq\f(π,6)s后，∠AOB＝eq\f(π,6)＋eq\f(π,3)＋2×eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，故扇形AOB的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,6)×12＝eq\f(5π,12)，故C不正确；设经过ts后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋eq\f(π,3)＝2π，解得t＝eq\f(5π,9)s，故D正确．8.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|\f(5π,6)＋kπ≤α≤（k＋1）π，k∈Z))9.eq\f(3,5)－eq\f(4,3)【解析】因为角θ的终边过点A(3，y)，所以sinθ＝eq\f(y,\r(,32＋y2))，cosθ＝eq\f(3,\r(,32＋y2)).因为sin(π＋θ)＝eq\f(4,5)，所以－sinθ＝eq\f(4,5)，即sinθ＝－eq\f(4,5)<0，所以点A在第四象限，所以eq\f(y,\r(,32＋y2))＝－eq\f(4,5)，解得y＝－4，所以cosθ＝eq\f(3,5)，tanθ＝eq\f(y,x)＝－eq\f(4,3).10.eq\f(5,18)【解析】设圆的半径为r，则扇形的半径为eq\f(2r,3).记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的eq\f(5,27)，得eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))\s\up12(2),πr2)＝eq\f(5,27)，解得α＝eq\f(5π,6)，所以扇形的弧长与圆周长之比为eq\f(l,C)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).11.【解答】(1)由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，得sinα<0；由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以α是第四象限角．(2)因为OM＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(m,OM)＝eq\f(－\f(4,5),1)＝－eq\f(4,5).12.【解答】(1)设点B的纵坐标为m，则由题意得m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))eq\s\up12(2)＝1，且m>0，所以m＝eq\f(3,5)，故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，根据三角函数的定义得tanα＝eq\f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,4).