胡不归问题【模型专题】(含答案解析)

胡不归模型

模型来源：有一则古老历史故事：从前有一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息

后便日夜赶路I可家.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全

是砂砾地带的直线路径力一一B（如图所示，力是出发地，8是目的地，力。是一条驿

道）.然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.人们告诉他，在弥留之

际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不…”

早期的科学家曾为这则传说中的小伙子设想了一条路线：在驿道上选一点C.小伙子先从

力到G然后再从。折往从然后到达驿道目的地8（尽管这条路线长一些，但是速度却

可以加快）.他是可以提早抵达家门的.

这两种路面的状况和行走速度值不同，已知在驿道上行走的速度为四，在砂砾地上行走的

速度为匕（vi>v2）.可以在驿道上选一点C，小伙子先从4到C,然后再从。折往目的

地8,求他行走的时间.

=—+—=—|=—(MC+BC)

HV2V2s)V2

过定点4在直线4C的下方构造/。凡使其满足sin/CA/="=上,过点。作

%

v,CE

于点E,则sin/CA产='=下=无，：.CE=kAC,：.kAC+BC=CE+BC>BD

v2AC

归纳：胡不归问题就一个“两动一定”求最值问题

条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动）

两定：点力、〃两点为定点：一定：点尸为直线力8外的一个动点

问题：确定动点P，使〃最短（0</;/<1）

更一般地：使〃?Ri+〃P8最短（不妨设小>〃）

思路：设所求尸点在直线4M上，我们在直线4N异于6点的一侧构造NM1M,使得

sinNMiM=m（相当于把加R1通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上）

我们作8£L4，W交力N于0点，亳无疑问尸点即为所求：mPA=PF,mPA+PB=BF,BF

即为小功+产〃的最小值1而〃?R4+PBV/1B）

N

M

一般的：更一般地：使〃7%+〃P8最短（不妨设加>〃），我们只须在上式中提取用、〃中

的较大者，即可化归到上述类型.

mPA+nPB=m（pA+-PB],在类似的位置构造一个正弦等于'的角即可.

模型一：几何问题中的最值

例1：

1.如图，△A/C中，AB=AC=U）,tan4=2,BELAC于点E,。是线段拓

上的一个动点，则CQ+且BO的最小值是

5

【答案】4>/5

【解析】

【分析】过点D作。〃_LA3于，，过点C作于M,首先通过勾股定理

及tanA=2求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出

CM=BE,然后通过锐角三角函数得出。〃=更80,进而可得出

5

CD+好BD=CD+DH,最后利用C0+OH.C”即可求值.

【详解】解：如图，过点D作于〃，过点C作。0_L48于"

BE1AC,

/.Z4£»=90°,

VtanA=—=2,

AE

设AE=a>BE=2u,

・・・AB2=AE2+BE2

，100=/+4/,

・•・a2=20,

:,a=2旧或-2后（舍弃）,

当B、P、Q三点共线时PB+等有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行

求解即可.

【详解】过点P作PQ匚AD,垂足为Q,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

CDC//AB,

.,.□QDP=DDAB=60°,

：.PQ=PD・sin□QDP=—PD，

2

:.P8+正产。=BP+PQ,

2

・•・当点B、P、Q三点共线时P8+且PO有最小值，

2

・•・P3+立PD的最小值为A3xsin60°=3石，

2

故答案为3退.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确

添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.

变式1-2：

3.如图，在□力CE中，CA=CE,DC/l£=30o,匚O经过点C,且圆的直径力4在线

段4E上.

(1)试说明CE是口。的切线:

(2)若口4。£中4E边上的高为力，试用含〃的代数式表示口。的直径43；

(3)设点。是线段4C上任意一点(不含端点)，连接OQ,当gcQ+O。的最小

值为6时，求□。的直径48的长.

【答案】(1)证明见试邈解析；⑵48=述〃；(3)8vL

3

【解析】

【详解】解：(1)连接OC,如图1,\3CA=CEt□C/E=30。，

□□E=UC4E=30。,□COE=2M=60。，

□□6>CE=90°,

(2)过点。作。“口片8于〃，连接。C,

如图2,由题可得。〃=力，在中，CH=OOsinUCOH,

J32/z

□h=OC^in60°=巨OC,□OC=-f==上h,

2J33

4J3

DAB=2OC=-^-/i；

(3)作O/7平分口4。。，交口。于E,连接力RCF、DF,

如图3,则口力。2=口。。/=!DAOC=^-(1800-60。)=60。,

22

QOA=OF=OCf口口”。产、□COE是等边三角形,

V\Ab=AO=OC=bCtU四边形/TOC尸是菱形，

根据对称性可得OE=DO,过点。作。〃口0。于〃，□04=0C,

□□0。=匚0力030。，

LDII=DC*sin□DCH=DC^sin30o=!DC,

2

—CD+OD=DH+FD.

2

根据两点之间线段最短可得：当从D、〃三点共线时，DH+FD（即;CQ+。。）

最小，MFH=OFsinJFOH=OF=6,贝lj0^=46,AB=2OF=86,

2

□当;8+0。的最小值为6时，口。的直径48的长为8月.

图3

考点：1.圆的综合题；2.等腰三角形的性质；3.等边三角形的判定与性质;

4.菱形的判定与性质；5.锐角三角函数的定义；6.特殊角的三角函数值.

询视加

题型二：一次函数背景的最值

例2

4.【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度.当直线/的斜率存在时，

对于一次函数歹=h+力（AW0）,人即为该函数图象（直线）的斜率.当直线过点

（xi,〃）、（X2,心）时，斜率左=上入，特别的，若两条直线/1_L/2,则它们的

斜率之积木・%2=-1,反过来，若两条直线的斜率之积%•42=-1,则直线/l_L/2

【运用】请根据以上材料解答下列问题：

（1）已知平面直角坐标系中，点4（1,3）、B（加，-5）、C（3,〃）在斜率为2

的同一条直线上，求〃?、〃的值；

（2）在（1）的条件下，点尸为y轴上一个动点，当N4PC为直角时;求点，的坐

标；

(3)在平面直角坐标系中另有两点。(3,2)>E(-1,-6),连接并延长至

点G,使D4=4G,连接GE交直线48于点RV为线段处上的一个动点，求

。〃+手板的最小值.

0x0

备用图

备用图

【答案】(1)-3；7；(2)(0,4)或(0,6)；(3)4

【解析】

【分析】(1)设直线的解析式为y=2#4将N(1,3)代入求出力=1,得到函数解

析式，再将点8、。分别代入求出加、〃的值；

(2)设点P(0,y),当N/PC为直角时，根据KPA-KPC=-1,得到

y-3y-7

求解即可;

O^T0^3=-1,

(3)连接OE,vf.^}A8//DE,ABVDA,DEVDA,求出AD、DE、DG,利用勾

股定理求出EG,及sin/GFA的值，过〃作MN_LG/于N,则MN=Y^MF,

5

过点。作。HJ_GE于〃，则QH即为最小值，由Z)〃・G£=QG•。/得到。〃=4.

【详解】解：(1)设直线的解析式为y=2什儿

将力(1,3)代入得6=1,

・•・直线的解析式为y=2x十1,

将8(阳，-5)、C(3,〃)两点分别代入解析式，

得用=-3,〃=7：

(2)设点P(0,y),当N4PC为直角时，有KPA・KPC=-1,

由(1)知，4(1,3)、C(3,7),

.》一3y-7_

••,一19

0-10-3

解得y=4或歹=6,

・••点P的坐标为(0,4)或(0,6).

2-(-6)3-21

如图，连接由题意知，KAB=2,KDE==2,KDA=――=--

3—(—1)1—3Z

,:KAB=KDE,给钻-KDA=2x(--)=—1,

：.AB//DE,AB±DAtDE_LDA,

・•・=—3，+(3-2,=逐年=4区DG=2AD=25

•*-EG=y]DG2+DE2=10>

・•・sinNGFA=sinNGED=—=—,

105

过M作A/N_LG"于M则=

5

JDM+—MF=DM+MN，

5

过点。作O”_LGE于〃，则Q"即为最小值.由DH・GE=DG・DE,

得£)/7=4,

即DM+—MF的最小值为4.

5

【点睛】此题考查胡不归问题的综合知识，正确理解题意中斜率的计算公式,

勾股定理，最小值问题是解题的关键.

变式2—1：

5.如图，在平面直角坐标系中，直线/i:y=理犬+6和直线A相交于y轴上的点

B,分别交x轴于/、C且NO8c=30度.

（1）求直线/2的解析式：

（2）点E坐标为（5,0）,点"为直线4上一个动点，点尸为y轴上一个动点，求

当斯+C9最小时，点厂的坐标，并求出此时PE4也OP的最小值.

2

【答案】（1）y=—限+6;（2）尸（1,—"+亚。。的最小值为也+型；

3223

【解析】

【分析】（1）求出8（0,6），再由。。=8。”〃〃30。=1,求出。（1,0）,再由待定

系数法求直线解析式即可；

（2）先确定/力4。=90。，则可知。点关于直线/2的对称点。在/2上，过点。作

轴交K点，易证ACK8g△CO8（44S）,则C的纵坐标为26,即可求。

（-1,2/），连接PE交/i于凡因为EF+CF=EF+。庄CE,所以当。、E、F

三点共线时，EGC77的值最小为。£;当。、F、。三点共线时，的值

最小，过/作/GJ_x轴交加于点G,易证△90G为等腰直角三角形，然后求出最

小值即可.

【详解】解：（1）令—0,则产6，

：.B(0,V3),

:.OB=B

•・•N080=30。，

・•・OC=BO^an30Q=0立=\,

3

：.C(1,0),

设直线/2的解析式为产去+儿

则Hn，

k+b=0

,1b=6，

・・・直线/2的解析式为y=-瓜+G；

(2)令尸0,则［x+石=o,

••x=-3»

：.A(-3,0),

/.0/4=3,

・・・心叱AO而=3方=收rr

JZABO=60°t

・•・ZABC=90°f

・・・C点关于直线/i的对称点。在〃上,

如图1,过点。作CKJ_y轴交K点，

：・/\CKR9/\CCR

:.BK=BO=C,

・・・C的纵坐标为2g,

・・・-任+百=26，

1,

：.C(-1,2石),

连接CE交h于F,

'：EF^CF=EF^CF>CE,

•・・当。、E、厂三点共线时，£/+Cb的值最小为CE,

设直线CE的解析式为尸去+仇

•:E(5,0),C(-1,2G),

5Z+〃=0

则《厂，

-^+Z?=2V3

6

K=------

.3

“一旦+越

•33

旦+速

y=

33

百〜

)'=——x+

3

解得尸|,

：.F(1,延),

3

作第二、四象限的角平分线应，过点尸作/0_L/3,,交y轴于点P,交/3,于点

。，

在放△P。。中，/尸00=45。,

:,专0P=PQ,

:.PF+与OP=PF+PQ>FQf

当尸、F、o三点共线时，尸a,。尸的值最小,

过尸作/G_Lx轴交储于点G,

为等腰直角三角形,

:・FQ=^FG,

2

V/3,的解析式为尸一工,

：.G(1,-1),

皿+华,

."2=立+侦,

23

:.PFt&OP的最小值为巫+捶.

223

【点睛】本题考杳一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐

标象限的角平分线将尸产+[o。转化为求户。的长是解（2）问的关键，数形结

合，利用坐标平移的性质是解题关键.

变式2—2：

6.如图，在平面直角坐标系中，直线人：P=坐》+石和直线/2：y=-抠x+b

（2）点E坐标为（5,0），点厂为直线人上一个动点，点尸为歹轴上一个动点，求

当Eb+C/最小时，点尸的坐标，并求出此时P/T•巫。。的最小值.

2

【答案】（1）S"C=2G：（2）点/坐标为（1，—）：。尸+也。。的最小值为

32

2ax/2

---+---

32

【解析】

【分析】（1）根据人的解析式可得/、8坐标，把点8坐标代入y=-出1+6可求

出6值，进而可得出点。坐标，即可求出4C、08的长，利用三角形面积公式即可

得答案；

（2）如图，作点C关于直线4的对称点C,连接CE,交A于R根据力、B、C

坐标可得口48。是直角三角形，可得点C在直线A上，根据两点间距离公式可得出

C坐标，可得。石为EF+3的最小值，利用待定系数法可.得出直线C'E的解析

式，联立直线C'£与力解析式即可得出得尸的坐标；作二、四象限对角线上过

点厂作EGJJ3于G,交y轴于P,可得NGOP=45。，可得尸G=^OP,可得产G

为尸尸+当。尸的最小值，过点/作bQ_Lx轴，交人于。，可得匚FGQ为等腰直角

三角形，可得FG=JQ,由人的解析式为产及点尸的坐标可得点。坐标，进

2

而可得也的长，即可得歹G的长，可得答案.

【详解】(1)・：l\：y=1+6

3

当A—0时，尸6,当y=0时，尸-3,

：.A(-3,0),B(0,、行)，

•・•点4直线加y=-⑺x+如口

:・b=6，

・•・直线，2的解析式为尸-Gx+VJ，

・•・当y=0时，x=\,

：.C(1,0),

/.JC=4,。8=石，

••S^AB(^—^C-OB=-x4x5/3=25/3.

22

(2)如图，作点。关于直线/1的对称点C,连接CE,交八于F,

'：A(-3,0),B(0,、与)，c(1,0),

：.AB2=(-3)2+(6)2=12,802=12+(百)2=4,JC2=42=16,

〈AC^ABABC2,

是直角三角形，

・••点C在直线/2上，

丁点C与点C"关于直线/1的对称，

，CC=2BC=4,

设点C(zw>-6m+6,)

/.(m-1)2+(->/3///+>/3)2=42,

解得：〃71=-l,用2=3,

•・•点c在第二象限，

m=-1,

・•・-6加+退=2道，

*：FC=FC,

••・Eb+CQEF+FC'口

・••当C、F、E三点共线时七/+C/的值最小,

设直线CE的解析式为产b+〃.

1-k+b=2y/3

t[5k+b=0

・・・直线CE的解析式为y二一手工+半，

百5G

V=------X+------

•33

联立直线CE与八解析式得?,

yW+6

3

x=1

解得：<4>/3,

PF

（1,述）.

3

如图，作二、四象限对用线/3,过点/作RG_L/3于G,交y轴于P,过点厂作

E0_Lx轴，交/3于0,

直线人的解析式为y=-x,ZGOP=45°,

•••□G。夕是等腰直角三角形，

：.PG=—OP,

2

:.G、P、/三点共线时，夕”+也。。的值最小，最小值为R7的长,

2

•・・/GOP=45。，ZP(9E=90°,

:.400=45。，

:.40045。，

:ZGQ是等腰直角三角形，

：.FG=—FQ,

2

VF(1,华)，直线/3的解析式为尸-x,

：.Q(1,-1),

:.FQ=^~-(-1)=迪+1,

33

:,FG=®FQ=®"地+\)=巫+叵,

22332

.・・PF+旦0P的最小值为巫+—.

232

【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性

质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解

题关键.

变式2—3：

7.如图，已知直线八：.0=丘(%W0)经过点/(-1,0),与另一条直线〃：

y2=nx-6n(〃H0)交于点8(2,3),直线6与x轴交于点C.

(I)求直线A的解析式,并写出#>尸>0时,x的取值范闱.

(2)若点。在直线48上，且。的横坐标为-g,过。作直线。0,直线。。交y

轴于。点，且的面积为12,求。点的坐标.

(3)点尸为x轴上一个动点，连接8P,求gcP+80的最小值.

【答案】(1)直线小四二工+1,x的取值范围为2<x<6；(2)点。(0,y)或

]a八

(0,---)；(3)2H—>/3.

32

【解析】

39

【分析】(1)根据待定系数法求直线小y=1+1与直线小%=-的解析

39

式，再求点C(6,0),利用函数图像直线小y=x+l与另一条直线自>s=--jr+-

39

交于点8(2,3),^>P2>0,满足y=x+1在直线/2：%=一二工+二的上方，在点

-'~42

39

B的右侧，直线/2：)，2=-11+5在X轴上方部分，即可求解；

(2)先求出直线小y=戈+1与y轴的交点为E(0,1),设0(0,加)求三角形

9

的底。E=|吁1|,利用三角形面积Sa尸S£喋+SM0£=/"?T=12,解绝对值方程

即可；

(3)过点C作直线CM,使N0CM=3(T,过点P作PF_LCM,此时，PF=；

PC,

・•・,CP+4片PF+BP,当B、P、尸三点共线时，片PF+4P取最小值，

NCPF=900-NPCF=60。,根据对顶角NBPGNCPQGO。，轴，求出

/〃4P=90。-/初〃=30。，利用锐角三角函数P4=26，利用30。直角三角形性质可

求HP=LBP='X2艮曰利用两点距离公式求出HC=6・2=4,在求出PC即

22

可.

【详解】解：⑴•・•直线乐y\=kx+b(U0)经过点力(-1,0),B(2,3),

.f-k+b=O

―2k+b=3'

解得d

b=\

・•・直线/i:Ji=x+l,

点B在直线，2：y2=nx-6n(〃#))上，代入坐标得3=2〃-6〃，

解得〃=一，

4

39

直线〃：y,=—x+—,

…42

39

当必=0,-『0,

解得犬=6,

点C(6,0),

39

二•直线人：。=%+1与另一条直线另%=-1工+不交于点8(2,3),y\>y2>0

I1f

39

满足y=X+1在直线/2：］的上方，在点B的右侧，直线/2：

39

必二一11+^在X轴上方部分，

乃>»>0时，x的取值范围为2VxV6：

(2)直线八：乂=K+1与丁轴的交点为£(0,1),

设。(0,加)

：.QE=\m-\\,

5IQ

S△纱产SA0Q£+SA80£U—|nz-l|x-+-|/H-l|x2=-|/n-l|=12

2211411

・•・WM若,

(3)过点C作直线CM,使NOCM=30°,过点产作P凡LCM,此时，PF=g

PC,

・・.!CP+8P=PF+BP,当8、P、/三点共线时，＜CP+8P=Q尸+8P取最小值.

22

.:点B（2,3）,

:・BH=3,04=2,

・；NBPH=NCPE=18O°-90°-30°=60°,轴，

/./HBP=90°・/BP”=30°,

・・・8〃=P8cos30。=3,

—^—=与二26

•.PB=cos30°V3,

~2

HP=—BP=—x2百=yj3,

22

•・,点。（6,0）,

.•・〃C=6-2=4,

/.PC=4-V3,

:.PF=2-B,

2

・•・（PB、PC）W4-PB+PF=2>/3+2--=2+->/3.

222

J'A

【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，利用函数图的交点求不等式的解集，

利用三角形面积求交点坐标，最短问题，点到直线的垂线段长，锐角时函数，30。

直角三角形性质，本题难度大，涉及知识多，要有丰富的想象力才能解决问题，利

用辅助线画出准确图形是解题关键.

变式2—4：

8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴交于点力，与y轴交于点

C,直线＞=-2x+A与x轴交于点出且过点。（1,4）,点E是线段8。上一个动

点（不与点B和点。重合），轴于点儿点P是线段OC上的一点，连接

OE,EP.

(1)求点力和点8的坐标；

(2)当△(»：户的面积为2时二求点£的坐标；

(3)在(2)的条件下，当EP+亟尸C最小时，请直接写出。。的长.

10

【答案】(1)点力、8的坐标分别为(-1,0)、(3,0)；(2)点石的坐标为(2,

8

2)；(3)OP=-.

3

【解析】

【分析】(1)用待定系数法可求解函数解析式，利用两轴上点的坐标特点结合解析

式求解交点坐标；

(2)由尸的面积=；X。/(-2/6)=2,再解方程，即可求解；

(3)过点E作交y轴于点P,交.AC于点、H,则点月为所求点，再证明

EP+噜PC=EP+PH=HE,过点E作£KJ_y轴于点K,利用锐角三角函数进

而求解.

【详解】解：(1)令产3x+3=0,解得尸-1,

故点4(-1,0),

将点。的坐标代入产-2x+b得，4=-2+b,解得6=6,

故直线的表达式为尸-2什6,

令尸-2什6=0,解得x=3,

故点8的坐标为(3,0),

故点/、8的坐标分别为(-1,0)、(3,0)；

(2)设点E(x,-2x+6),

则1尸的面积=!XOFXEF=L.r(-2.r+6)=2,

22

整理得：X2-3X+2=0,即(X・1)(X・2)=0,

解得x=l或2,

当x=l,重合，舍去，所以戈二2,

故点上的坐标为(2,2)；

(3)过点E作交y轴于点P,则点尸为所求点,

•・・AC的解析式为：y=3x+3,

\&-1,0),8(0,3),

在放△NOC中，&〃N/CO=；,AC=J『+32=M,

则sinZACO=边口，

10

则PH=PCsinZACO=—PC,

10

则EP+—PC=EP+PH=HE为最小，

10

过点后作EK_Ly轴于点K,

则/PEK=90°・/KPE=90°・NCPH=/HCP,REF=EK=OF=OK=2,

故tanZPEK=-,

3

PK\PK

~EK~3F，

\PK=-

3y

2x

\OP=OK+KP=2+-=~.

33

【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、

解宜角三角形、面积的计算，一元二次方程的解法等，有一定的综合性.确定

EP+亚PC取最小值时点。的位置是解本题的关犍.

10

题型三：二次函数背景的最值

例3：

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=f-2Y+c的图象与戈轴交于彳、C两

点，与p轴交于点8(0,-3),若夕是x轴上一动点，点O(0,1)在y轴上，连

接PD,则血PO+PC的最小值是()

A.4B.24-2-y2C.25/2【).—3•—2V2

3

【答案】A

【解析】

【分析】过点。作PJJLBC于过点。作DHA.BC于H.根据

近PD+PC=6PD^PC=后(2。+々)，求出。尸+巴的最小值即可解决

\/

问题.

【详解】解：过点尸作/VJ_8c于/过点。作。H_L8C于凡

・・•二次函数＞=/-2什。的图象与y轴交于点8(0,-3),

•*.c=-3,

.•・二次函数的解析式为y=义2-2.*-3,令；7=0,/-2工-3=0,

解得x=-1或3,

：,A(-1,0),B(3,0),

：.OB=OC=3,

90°,

；・/OBC=/OCB=45。,

'：D(0,1),

：.OD=\,BD=4,

♦：DHA_BC,

设。”=x,则3”二x,

•：DH?+BH?=Bb，

•*.X2+X2=«,

：・x=2叵，

・•・DH=Z6，

■:PJLCB,

:.ZPJC=90°,

万

:.PJ=—PC,

2

：.y/2PD+PC=y/2PD+—PC=y/2（PD+PJ）f

7

,:DP+PJNDH,

・•・DP+PJN2五，

•••OPFR/的最小值为2五，

41PD+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性

质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

变式3—1：

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=-#（x+l）（x-5）的顶点为D,且与x

轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），P为抛物线对称轴上的动点，则

AQ十!。尸的最小值是____

【答案】3g

【解析】

【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式，则有点D的坐标为仅,36）,假设对称

轴与x轴的交点为C,连接BD,过点P作PH_LBD于点H,过点A作AM_LBD于

点M,根据题意易得BC=3,0c=3百，由勾股定理可得BD=6,进而可得

ZCDB=30°,则尸所以把求+的最小值转化为求AP+9的

22

最小值，最后由点A、P、H三点共线时取最小，即为AM的长，则问题可求解.

【详解】解:由抛物线y=—4（x+l）（x—5）可得），二—乎（1—2）436，

・••点D的坐标为（2,36）,点A的坐标为（一1,0）,点B的坐标为（5,0）,

假设对称轴与x轴的交点为C,连接BD,过点P作PH_LBD于点H,过点A作

AM_LBD于点M,如图所示：

在RtZXDCB中，DBNDC2+BC?=6,

/.ZBDC=30°,ZDBC=60°,

・・・PH=-DP

2t

・・.”+!DP的最小值即为AP+PH的最小值，

2

・•・当点A、P、H三点共线时有最小值，即为AM的长，

・,・?\M=ABsin60o=3>/3,

・・.AP+goP的最小值为3石；

故答案为3g.

【点睛】本题主要考查二次函数的几何综合及三角函数，关键是由“胡不归”法进

行求解最值，然后利用三角函数进行求解线段的长.

变式3—2：

11.已知抛物线y=f_bx+c（"c为常数，b>0）经过点4—1,0）,点M（皿0）

是x轴正半轴上的动点.点。在抛物线上，当夜AM+2QM的最小值

为邑叵时，力的值为.

4

【答案】4

【解析】

【分析】将点4(-1,0)代入-b/c,求出c=-b-1,将点。(/?+-,性)

13113

代入抛物线片x12-bx-b-1,求出0纵坐标为一y-彳，可知点0(b+-5方-彳)

在第四象限，且在直线》=%的右侧，点N(O,1),过点。作直线4N的垂线，垂足

为G,QG与x轴相交于点"，过点。作0〃_Lx轴于点“，则点〃(b+g,0),在

RtZXMQ”中，可知/0"〃=/例。〃=45°,设点”(〃?，0),则可用含的代数式

表示“?，因为y/2AM+2QM=33y,所以[(^-b--)-(-1)]+2yp2[(6+

424

g)--5)]=里2,解方程即可.

2244

【详解】解：・.•抛物线尸/.笈气经过点彳(.1,0),

/.l+/?+c—0,

即c--b-1»

/._y=x2-bx-b-1,

・・•点斗+；，%)在抛物线上，

1.1

:.%=@+「)-b(b+-)-b-\

24

•・”>(),

113

：.b+->h>Of——b——<0,

224

!13

・••点。(力+万，一耳人-^)在第四象限，且在直线x=6的右侧，

•・•72AM+2QM=2(坐4W+QW)，点A(-l,0),

・•・可取点N(0,1),

则月O=ON=1,

又□匚/ON=90。，

□□O4N=45。，

如图，过点。作直线4V的垂线，垂足为G,QG与x轴相交于点M,

则此时点M满足应AM+2QM的值取得最小值，符合题意，

过点。作。“Lv轴于点儿则点〃（什；，0）,

在RtZ\”0H中，可知N0MH=NM0H=45°,

:.QH=MH,QM=®MH,

•・,点M（加，0）,

I31

.*.0-（—b—）=（b+—）-加,

242

解得，〃?=-5，

•・•及4W+2QA/=

:•叵【（;匕・;）■（・1）］+2a［（什］）-（；匕・；）〕=，

2422443y

・・・6=4,

故答案为:4.

【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求函数关系式，抛物线上的

点的坐标满足抛物线方程，解直角三角形等相关知识，解题关键是能够根据给定参

数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解.

变式3—3：

12.如图，己知一条直线过点（0,4）且与抛物线y=’x2交于4B两点,其中点

4

8的横坐标是8.

（1）求这条直线48的函数关系式及点力的坐标；

（2）在x轴上是否存在点C,使得△力6。是直角三角形？若存在，写出点C的坐

标，若不存在，请说明理由.

（3）过线段44上一点P,作〃工轴，交抛物线于点"，点M在第一象限，点

N（0,1）,当点M的横坐标为何值时，MN+3M0的长度最大？最大值是多少？

31

【答案】⑴尸三+4,4点的坐标为（-2,1）；（2）存在，点。的坐标为（-三，

0）,（0,0）,（6,0）,（32,0）；（3）当M的横坐标为6时，MV+3PM的长度的最

大值是18

【解析】

【分析】（I）首先求得点力的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而

求得直线与抛物线的交点坐标；

（2）如图1,连接NC,BC,然后分若□B4C=90。，则力"+力。2："?2；^UACB

=90。，则出乎=402+80；若□48C=90。，则力中+质;2：%。?三种情况求得的

值，从而确定点C的坐标；

（3）设“（4,!/），如图2,设A/P与y轴交于点0,首先在R2MQN中,由

4

勾股定理得MN='a2+],然后根据点。与点用纵坐标相同得到工=上辿，从而

46

得至IJMN+3PM=-二42+34+9,确定二次函数的最值即可.

【详解】解：（1）□点.4是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2,

□y=[x（-2）占1,A点的坐标为（・2,1）,

4

设直线的函数关系式为卜="+6,

b=4

将(0,4),(-2,1)代入得＜

-2k+b=\

解得

h=4

3

口直线歹=二1+4,

2

直线与抛物线相交,

3+4=4

24

解得：x=-2或x=8,

当x=S时，y=16,

□点5的坐标为(8,16)；

(2)如图1,连接/C,BC,

口由4(-2,1),8(8,16)可求得/炉=325.

22

设点C(机，0),同理可得4』=(m+2)+l=wMm+5,

B©=(〃L8)2+[62=m2-16/H+320,

」若n84C=90。，则力产+力^二台。?，即325+"7+4"?+5=m2-i6〃?+320,

解得：〃7=■J；

」若」4cB=90。，贝Ij4"=4c2+8C2,即325=〃/+4〃7+5+〃/-16〃?+320,

解得：〃7=0或〃7=6；

1若ZM3C=90。，则月B2+8C2=4C2,即〃?2+4〃7+5=加2・16〃+320+325,

解得：〃?=32；

口点。的坐标为(-0),(0,0),(6,0),(32,0)；

(3)设A/(a,3),P(x,|x+4)如图2,设MP与歹轴交于点Q,

在中，由勾股定理得MN==%+]

又□点P与点M纵坐标相同，

□—x+4=—a1

24

«2-16

□x=--------，

6

□点〃的横坐标为心色，

6

9T

।4-16、

MN+3PM=—/+1+3a=~—a2+为+9,

4、丁;4

又口256郎,

取到最大值18,

：1当M的横坐标为6时，MN+3尸〃的长度的最大值是18.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交

点问题，二次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

变式3—4：

9

13.已知，抛物线犹2+x・4〃z与x轴交于点/（-4,0）和点6,与y轴交

4

于点C.点。（，?.0）为x轴卜一动点,且有-4V〃V0,过点7）作直线Ilx轴.

且与直线力。交于点加，与抛物线交于点N,过点N作NP_L/C于点P.点E在第

三象限内，且有OE=OD.

（1）求〃?的值和直线4c的解析式.

（2）若点。在运动过程中，；力。+。。取得最小值时，求此时〃的值.

2

（3）若点△4OM的周长与△〃可〃的周长的比为5：6时，求的最小

值.

备用图1备用图2

【答案】（1）〃?=[；J=—jx—3；（2）〃=一6；（3）—V10

【解析】

一•_