高中数学复习大题考法专题二 概率与统计(解析版)

大题考法专题二概率与统计

一、中档题保分练

例I.(2019•全国卷III)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分

成A,8两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，8组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶

液体枳相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据

试验数据分别得到如下直万图：

频率/组距

0.30...............

20

0.615

610

605

1.52.53.54.55.56.57.5百分比

甲离子残留百分比口方图

乙离子残留百分比直方图

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.

⑴求乙离子残留百分比直方图中小〃的值：

(2)分别估计甲、乙离•子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

解：(1)由已知得0.70=4+0.20+0.15,

解得a=0.35,

所以力=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

2

例2.(2019.天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为余假定甲、乙两位同

学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天

数恰好多2"，求事件M发生的概率.

解•：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为东

故

X〜43,1),从而

左=0,1,2,3.

所以随机变量X的分布列为

X0I23

1248

P

279927

2

随机变最X的数学期望凤X）=3xQ=2.

（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为匕则y〜且M={X=3,y=l}U{X

=2,r=o}.

由题意知，事件｛x=3,y=i｝与｛x=2,y=o）互斥，且事件｛x=3｝与｛丫=1｝,事件｛x=2｝与｛y=o｝均

相互独立，

从而由⑴知

P（M）=P（｛X=3,y=i｝u｛x=2,y=o（）

=r（｛x=3,y=i｝）Ir（（x=2,r=o｝）

=0（x=3）P（y=i）+P（X=2）p（y=o）

__8_24120

一57q十g句一而

例3.某商店为迎接端午节，推出花生粽与肉粽两款粽子.为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续1（）

天记录了这两款粽子的销售量，用1.2，…，10分别表示第1,2,…，10天，记录结果得到频数分布表如下

所示(其中销售量单位：个).

销售端、序号

12345678910

花生粽1039398931068687849199

肉粽8897989510198103106102112

(1)根据表中数据完成如图所示的茎叶图:

(2)根据统计学知识，请判断哪款粽子更受欢迎；

(3)求肉粽销售最)，关于序号，的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量.(回归方程的系数精确到

0.01)

io__

参考数据：E(ti-t)0',—y)=156.

£(ti-t)(yi-y)

参考公式：回归方程£=£+/中斜率和截距的最小二乘估计分别为--------------，a=~-h~7.

£(力一/)2

尸।

解：(1)根据所给数据完成茎叶图如图所示.

(2)法一：由(1)中茎叶图可知，肉粽的销售量均值比花生粽高，两款粽子的销售量波动情况相当,

所以可以认为肉粽更受欢迎.

一1

法二：由题意得花生粽的销售量的均值y1=95+而乂(8—2+3—2+11—9—8—11-4+4)=94,

肉粽的销售量的均值72=100+=x(—12—3—2—5+1—2+3+6+2+12)=100.

因为94V100,所以亍《亍2,即肉粽的销售展的均值较花生粽高，所以可以认为肉粽更受欢迎.

-]110_1IAS

⑶由题中数据可得/=号,V(ti-t)2=^(92+72+52+32+12)x2=皆，

z=i

A156A11

所以6=777^1.89,A=100—1.89lx-^-^89.60.

182

T

故肉粽销售量y关于序号，的线性回归方程为S=1.8%+89.60.

当/=15时，y=1.89x15+89.60=118,

所以预估第15天肉粽的销售品为118个.

二、拔高题满分练

例I.(2019•全国卷I)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物

试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，

另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈

的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对干每轮试验，

若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施

以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得。分.甲、乙两种药

的治愈率分别记为a和成，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求*的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(i=0,I,…，8)表示“甲药的累计得分为，时，最终认为

甲药比乙药更有效”的概率，则p()=0,P8=l，Pi=api-1+bpi+cpi.1(z=1,2,...»7),其中a=P(X=T),b

=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,夕=0.8.

①证明：{pi+LPi}(i=0,12…，7)为等比数列；

②求〃4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

解：(1)X的所有可能取值为-1,01.

则P（x=—1）=（1—。）夕，P（X=O）=侬+（1—。）（1一份,

P(X=l)=a(l—£),

所以X的分布列为

X-101

P(1一。加磔+（1-）（1一夕）

(2)①证明：由(1)得。=0.4,。=0.5,c=0.1,

因为pi=0.4pj-i+0.5pi+0.1a+i,

所以0.13+1—.)=043—pi-1),

即Pi+|—Pi=4(pj—P—1).

又因为0-〃()=〃#0,所以{pr+LPj}(i=0,l,2,…,7)是公比为4,首项为pi的等比数列.

②由①可得

〃8=〃8-pi+夕―/%+…+〃I—p()+〃()

48-I

=(P810)+(〃7—〃6)+...+(/?!—P0)=~~P\.

3

由于ps=l,故"I=48_］，

所以〃4=(P4一〃3)+(f3-〃2)+("2-)+(〃I-P0)

434-l__1_

=3〃产丽

表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，

认为甲药更有效的概率为〃4=打0.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

例2.某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和3门学

生自主选择的高中学'业水平等级性考试科目成绩共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高

考改革方案所持的态度，随机从中抽取了100名城乡学生家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有

25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.

不赞成赞成

⑴根据已知条件与等高条形图完成卜.面的2x2列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改

革方案与城乡户口有关“？

赞成不赞成总计

城镇居民

农村居民

总计

附："=(a+3(clj)^/c)S+G'其中〃="+b+c+d.

P（心泌））0.100.05

ko2.7063.841

（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3人，记这3个家长中是城镇

户口的人数为X,试求X的分布列及数学期望.

解：（1）完成列联表，如下:

赞成不赞成总计

城镇居民301545

农村居民451055

总计7525100

代入公式，得

100x(300—675)2

片=

45x55x75x25P3.03V3.841.

・••我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.

(2)用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6,抽中

农村户口家长的概率为0.4.

X的可能取值为0』,2,3,

P(X=0)=(0.4)3=0.064：

P(X=1)=CJX0.6X(0.4)2=0.288；

P(X=2)=C5X0.62X0.4=0.432；

P(X=3)=C^x0.63=0.216.

・・・X的分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

E(X)=0x0.064+IxO.288+2x0.432+3x0.216=1.8.

例3.为响应绿色出行，某市在推出共享单车后，又推出新能源分时租赁汽车.其中•款新能源分时租赁汽

车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按I元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时

按0.12元/分计费，超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知张先生家离上班地点15公里，每天

租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间"单位：分)是一个随

机变量.现统计了张先生50次路上开车花费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示.

时间〃分(20,30](30,40](40,50](50,60]

频数2182010

将频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间.

(1)写出张先生一次租车费用y(单位：元)与用车时间/(单位：分)的函数关系式；

(2)若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”,设。表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅

通”的次数，求4的分布列和期望：

(3)若公司每月给1000元的交通补助，请估计张先生每月(按22天计算)的交通补助是否足够让张先生

上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.(同一时段的时间用该区间的中点值代表)

解：(。当20V区40时，y=0.12/+15；

当40VW60时，y=0.12x40+0.20(7-40)+15=0.2r+11.8.

0.12/+15,20VE40,

故尸

02+11.8,40<r<60.

7IQ）

（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的概率。==而一=与

小可取0.1,2.3.

P（『）=cd）。你=音,

P（片1）=啕加赣,

P（%2）=C（|）2（|）=券

P&=3）=避3（步备

4的分布列为

0123