专升本数学专业2025年概率论测试试卷（含答案）

专升本数学专业2025年概率论测试试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设事件A，B，则事件“A发生，B不发生”可以表示为（）。（A）A·B（B）A·B（C）A·B（D）A·B2.一个袋中有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同。从中随机连续抽取两个球（不返回），则抽到的两个球颜色不同的概率为（）。（A）（B）（C）（D）3.设随机变量X的分布律为P(X=k)=k/15,k=1,2,3,5，则E(X)的值为（）。（A）2（B）3（C）4（D）54.设随机变量X～N(μ,σ²)，则随机变量Y=aX+b（a≠0）的分布为（）。（A）N(μ,σ²)（B）N(aμ+b,σ²)（C）N(μ,a²σ²)（D）N(aμ+b,a²σ²)5.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=2，X的方差D(X)=1，Y的方差D(Y)=4，则X和Y的相关系数ρ(X,Y)为（）。（A）1/2（B）1/√2（C）1（D）2二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。6.若事件A，B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)=_______。7.设随机变量X～B(n,p)，且E(X)=3，D(X)=2，则np=_______。8.设随机变量X的密度函数为f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-x/2}&x>0\\0&x≤0\end{cases}，则P(X>1)=_______。9.设随机变量X和Y的数学期望分别为EX=1，EY=2，方差分别为DX=1，DY=4，且Cov(X,Y)=1，则E[(X+2Y-1)²]=_______。10.设总体X～N(μ,σ²)，X₁，X₂，…，X₅是来自总体X的一个样本，样本均值为\overline{X}，样本方差为S²，则\overline{X}～_______，且\frac{4S²}{σ²}～_______。三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.（本小题满分10分）甲、乙两人约定在下午1点到2点之间在某地会面。他们约定先到者等待另一人15分钟，过时就离开。假设两人在下午1点到2点之间（60分钟内）的任何时刻到达都是等可能的，求两人能会面的概率。12.（本小题满分12分）设随机变量X的分布函数为F(x)=\begin{cases}0&x≤0\\\frac{x^2}{4}&0<x≤2\\1&x>2\end{cases}。（1）求P(X≤1)；（2）求X的密度函数f(x)；（3）求P(X²≤1)。13.（本小题满分12分）设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,4)。（1）求随机变量Z=X+2Y的分布；（2）求E(X²Y)。14.（本小题满分12分）设总体X的密度函数为f(x;θ)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1}&0<x<1\\0&其他\end{cases}，θ>0为未知参数。X₁，X₂，…，Xn是来自总体X的一个样本。（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的极大似然估计量。15.（本小题满分12分）设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示（表中P(X=x,Y=y)）：||Y=0|Y=1|Y=2||-------|--------|--------|--------||X=0|a|0.1|0.2||X=1|0.2|b|c||X=2|0.1|0.1|d|其中a,b,c,d为未知常数。已知E(X)=1，Var(Y|X=1)=1。（1）求a,b,c,d的值；（2）求X和Y是否相互独立？说明理由。试卷答案一、选择题：1.B2.C3.B4.D5.A二、填空题：6.0.557.38.1/e9.810.N(1,0.2),χ²(4)三、解答题：11.解析：设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻，单位为分钟。X,Y～U(0,60)。两人能会面，需满足|X-Y|≤15。所求概率P=P(|X-Y|≤15)=∫₀⁵⁶[max(0,x-15)]/3600dx+∫₀⁵⁶[max(0,15-y)]/3600dy=∫₁¹⁵⁵(x-15)/3600dx+∫₀¹⁵⁵(15-y)/3600dy+∫₁⁵⁶(y-15)/3600dy=(1/2)*(15²-0²)/3600+(1/2)*(15²-0²)/3600+(1/2)*(56²-41²)/3600=450/3600+450/3600+450/3600=1350/3600=3/8.答案：3/8.12.解析：（1）P(X≤1)=F(1)=1²/4=1/4.（2）f(x)=F'(x)=\begin{cases}x/2&0<x≤2\\0&其他\end{cases}.（3）P(X²≤1)=P(-1≤X≤1)=F(1)-F(0)=1/4-0=1/4.答案：1/4；f(x)=x/2(0<x≤2)；1/4.13.解析：（1）X～N(0,1),Y～N(0,4)⇒Y=2Z,Z～N(0,1)。X,Z相互独立。Z=X+2Y=X+2(2Z)=X+4Z。由于X与Z独立，且均服从N(0,1)，故X+4Z仍服从N(0,1²+4²)=N(0,17)。（2）X～N(0,1)⇒E(X)=0,E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=1+0²=1.Y=2Z,E(Y)=E(2Z)=2E(Z)=0,E(Y²)=E[(2Z)²]=4E(Z²)=4Var(Z)+[E(Z)]²=4*1+0²=4.X,Y相互独立⇒E(XY)=E(X)E(Y)=0*4=0.E(X²Y)=E(X²)E(Y)=1*4=4.答案：N(0,17)；4.14.解析：（1）E(X)=∫₀¹x*θx^θ-1dx=θ∫₀¹x^θdx=θ*[x^θ+1/(θ+1)]₀¹=θ/(θ+1).令E(X)=θ/(θ+1)=μ(样本均值)，则θ/(θ+1)=μ⇒θ=μ/(1-μ).矩估计量θ̂=X̄=1/n*ΣᵢᵢXᵢ.（2）设样本观测值为x₁,x₂,…,xn，似然函数L(θ)=Πᵢᵢθxᵢ^θ-1=θⁿ*[Πᵢᵢxᵢ]^θ-1.令L'(θ)=0⇒nθ^(n-1)*[Πᵢᵢxᵢ]^θ-1+θⁿ*[(Πᵢᵢxᵢ)]^θ*ln(Πᵢᵢxᵢ)=0.⇒θ^(n-1)*[Πᵢᵢxᵢ]^(θ-1)*[n*[Πᵢᵢxᵢ]-θn*ln(Πᵢᵢxᵢ)]=0.由于θ^(n-1)*[Πᵢᵢxᵢ]^(θ-1)>0，需n*[Πᵢᵢxᵢ]-θn*ln(Πᵢᵢxᵢ)=0.⇒θ=[Πᵢᵢxᵢ]/ln(Πᵢᵢxᵢ)=(1/n*Σᵢᵢxᵢ)/ln(1/n*Σᵢᵢxᵢ).极大似然估计量θ̂=(1/n*ΣᵢᵢXᵢ)/ln(1/n*ΣᵢᵢXᵢ).答案：θ̂=X̄；θ̂=(1/n*ΣᵢᵢXᵢ)/ln(1/n*ΣᵢᵢXᵢ).15.解析：（1）由边缘分布性质：P(X=0)=a+0.1+0.2=a+0.3=0.4⇒a=0.1.P(Y=0)=a+0.2+0.1=0.4=0.3+0.2+0.1⇒(此式为检查，已满足)P(X=1)=0.2+b+0.1=b+0.3=0.2+0.1+0.1=0.4⇒b=0.1.P(Y=2)=0.2+0.1+d=0.3+d=0.1+0.1=0.2⇒d=0.1.检验：a+b+c+d=0.1+0.1+0.1+0.1=0.4.表格概率和应为1，计算有误。重新计算边缘分布：P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)=a+0.2+0.1=0.4⇒a=0.1.P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=0.1+b+0.1=0.2+0.1=0.3⇒b=0.1.P(Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=2)=0.2+c+0.1=0.3+0.1=0.4⇒c=0.1.P(X=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0.1+0.1+d=0.2+d=0.1+0.1=0.2⇒d=0.1.再次检验：a+b+c+d=0.1+0.1+0.1+0.1=0.4.表格概率和仍不为1。问题可能在题目给定的边缘分布和联合分布的初始值上。假设题目无笔误，重新审视条件。P(X=2,Y=0)=0.1,P(X=2,Y=1)=0.1,P(X=2,Y=2)=d=0.1.P(X=1,Y=0)=0.2,P(X=1,Y=1)=b=0.1,P(X=1,Y=2)=c.P(X=0,Y=0)=a=0.1,P(X=0,Y=1)=0.1,P(X=0,Y=2)=0.2.边缘分布P(Y=0)=a+0.2+0.1=0.4⇒a=0.1.边缘分布P(Y=1)=0.1+b+0.1=0.2+b.P(X=1)=0.2+b+c=0.3+c.边缘分布P(X=1)=0.2+0.1+c=0.3+c.边缘分布P(Y=2)=0.2+c+0.1=0.3+c.P(X=2)=0.1+0.1+d=0.2+d.边缘分布P(X=2)=0.1+0.1+d=0.2+d.P(Y=1)=0.2+b,P(Y=2)=0.3+c.P(X=1)=0.3+c,P(X=2)=0.2+d.方差条件Var(Y|X=1)=P(Y=0|X=1)P(X=1,Y=0)+P(Y=1|X=1)P(X=1,Y=1)+P(Y=2|X=1)P(X=1,Y=2)=1.P(Y=0|X=1)=0.2/(0.2+b+c),P(Y=1|X=1)=b/(0.2+b+c),P(Y=2|X=1)=c/(0.2+b+c).1=[0.2/(0.2+b+c)]*0.2+[b/(0.2+b+c)]*b+[c/(0.2+b+c)]*c=(0.04+b²+c²)/(0.2+b+c).令s=b+c.1=(0.04+b²+c²)/(0.2+s).0.04+b²+c²=0.2+s.又P(X=1)=0.3+c=0.3+s.P(Y=1)=0.2+b=s.0.04+b²+c²=0.2+b+c.(b+c)²-(b+c)-0.16=0.s²-s-0.16=0.s=[1±√(1+0.64)]/2=[1±√1.64]/2.√1.64≈1.28.s=[1±1.28]/2.s₁=(1+1.28)/2=1.14.s₂=(1-1.28)/2=-0.14.s=b+c只能非负，故s=1.14.P(X=1)=0.3+s=1.44.P(Y=1)=s=1.14.这导致P(X=1)+P(Y=1)=1.44+1.14=2.58>1，矛盾。结论：题目条件矛盾，无法求出唯一解。假设题目意图是P(X=1,Y=1)=0.1,P(X=1)=0.3,P(Y=1)=0.2。则b=0.1.s=P(X=1)=0.3+c=0.2+0.1=0.3⇒c=0.1.P(Y=0|X=1)=0.2/0.3=2/3.P(Y=1|X=1)=0.1/0.3=1/3.P(Y=2|X=1)=0.1/0.3=1/3.Var(Y|X=1)=(2/3)²*(0.2)+(1/3)²*(0.1)+(1/3)²*(0.1)-(2/3)²=4/45-4/9=-16/45.不满足Var(Y|X=1)=1.结论：题目条件矛盾或存在笔误。若强行求解，假设a=0.1,b=0.1,c=0.1,d=0.1，满足边缘和为1，但条件不满足。假设题目条件无误，重新审视计算过程或题目本身。为完成题目，采用一种设定，例如b=0.1,c=0.1,d=0.1,a=0.1，检查一致性。P(X=1)=0.2+b+c=0.2+0.1+0.1=0.4.P(X=2)=0.1+0.1+d=0.2+d=0.2+0.1=0.3.边缘P(X=1)=0.4.边缘P(X=2)=0.3.P(Y=1)=0.1+b+0.1=0.1+0.1+0.1=0.3.P(Y=2)=0.2+c+0.1=0.2+0.1+0.1=0.4.边缘P(Y=1)=0.3.边缘P(Y=2)=0.4.P(Y=0)=a+0.2+0.1=0.1+0.2+0.1=0.4.边缘P(Y=0)=0.4.一致。P(Y=0|X=1)=0.2/0.4=1/2.P(Y=1|X=1)=0.1/0.4=1/4.P(Y=2|X=1)=0.1/0.4=1/4.Var(Y|X=1)=(1/2)²*(0.4)+(1/4)²*(0.4)+(1/4)²*(0.4)-