2026年高考数学复习讲义（新高考）第2节 导数与函数的单调性（原卷版）

第三章一元函数的导数及其应用第2节导数与函数的单调性学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点考点1函数的单调性与导数的关系★★★☆☆考点2利用导数判断函数单调性的步骤★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系★★★☆☆条件恒有结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f'(x)>0f(x)在(a,b)上单调递增f'(x)<0f(x)在(a,b)上单调递减f'(x)=0f(x)在(a,b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤★★★☆☆第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导函数f'(x)的零点;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.【名师点拨】1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.()(2)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.()(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数.()2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0,2],且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.

3.(人教A选修二P101习题T3改编)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是.

4.(苏教选修一P213【典例】2改编)若函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是.

【考向核心题型】考点一不含参函数的单调性【典例】1(1)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f'(x)的图象可能是()(2)(2025·浙江名校联考)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是()A.(0,1) B.1C.1−22,【变式训练】1(1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx(2)设f(x)=2x2-x3,则f(x)的单调递减区间是()A.0,43 C.(-∞,0) D.(-∞,0)和4考点二含参函数的单调性【典例】2已知函数f(x)=2ax3-3(a+1)x2+6x+1(a∈R),试讨论函数f(x)的单调性.【变式训练】2(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性.考点三函数单调性的应用角度1由单调性求参数【典例】3(多选)(2025·茂名模拟)若f(x)=-13x3+12x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,则实数A.-4 B.-3 C.3 D.4角度2比较大小【典例】4已知函数f(x)=xsinx,x∈R,则fπ5,f(1),f−π3的大小关系为角度3解不等式【典例】5(2025·西安模拟)已知函数f(x)=(ex+e-x)x2,若满足f(log3m)-e-1e<0,则实数mA.0,13 C.(0,3) D.(3,+∞)【变式训练】3(1)(2025·长沙模拟)若函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-1] B.(-∞,1)C.[0,+∞) D.(-∞,1](2)已知函数f(x)=lnx-xex,设a=f32,b=f(2),c=fA.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b(3)不等式x<sinπx4+16的解集为【限时训练】（限时：60分钟）一、单选题1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递减区间是()A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()3.已知函数f(x)=2x-sinx,则下列结论正确的是()A.f(2.7)<f(π)<f(e) B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π)4.已知函数f(x)=x3+2x-sinx,若f(2a2)+f(a-1)≤0,则实数a的取值范围为()A.−∞,−12B.−C.(-∞,-1]∪1D.−1,5.(2025·安徽名校联考)已知函数f(x)=sinx+acosx在π4,π2上单调递减A.(2-1,+∞) B.[1,+∞)C.(1-2,+∞) D.[-1,+∞)6.函数f(x)的图象如图所示,设f(x)的导函数为f'(x),则f(x)·f'(x)>0的解集为()A.(1,6) B.(1,4)C.(-∞,1)∪(6,+∞) D.(1,4)∪(6,+∞)7.已知函数f(x)=(1-x)lnx+ax在(1,+∞)上不单调,则a的取值范围是()A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.[0,+∞) D.[1,+∞)8.已知f(x)=(a2-1)ex-1-12x2,若不等式f(lnx)<f(x-1)在(1,+∞)上恒成立,则aA.[-1,1]B.[-2,2]C.[0,1]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)二、多选题9.(2025·晋城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0,则该函数在D上纯粹递增,若一个函数在区间D上的导数值恒小于0,则该函数在D上纯粹递减,则()A.函数f(x)=x2-2x在[1,+∞)上纯粹递增B.函数f(x)=x3-2x在[1,2]上纯粹递增C.函数f(x)=sinx-2x在[0,1]上纯粹递减D.函数f(x)=ex-3x在[0,2]上纯粹递减10.若函数f(x)=12x2-9lnx在区间[m-1,m+1]上单调,则实数mA.1 B.2 C.3 D.411.已知函数f(x)=x−1xlnx,且a=f23,b=f45,c=f(A.a>b B.b>aC.c>b D.c>a三、填空题12.已知函数f(x)=(x−2)ex,x≥0,13.若函数f(x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间,则实数b的取值范围为.

14.(2025·保定质检)已知x∈−π2,π2,则不等式esi