8.3《基础统计》（第7版） 一元线性回归分析

第八章相关与回归《基础统计》高等职业教育财经商贸类专业通识课程“十四五”职业教育国家规划教材第三节一元线性回归分析01回归分析的特点02一元线性回归模型03一元线性回归模型的建立04一元线性回归模型的预测应用第三节一、回归分析的特点回归分析与相关分析的关系两者关系非常密切。其联系在于，两者都是对客观事物数量依存关系的分析，其中回归分析是在相关分析基础上的继续和拓展。其区别在于，相关分析只能说明现象之间是否相关及其相关方向和紧密程度，而回归分析则能说明一个现象发生一定量的变化，另一个现象会对应发生多大的量的变化。回归分析的类型回归分析可分为线性(直线)回归分析和非线性(曲线)回归分析；线性回归分析又可分为一元线性回归分析和多元线性回归分析。回归分析回归分析是在研究现象间相关关系的基础上，对自变量和因变量的变动趋势拟合数学模型进行量的推算的统计分析方法。第三节二、一元线性回归模型一元线性回归模型的一般表达式：上述回归方程式在平面坐标系中表现为一条直线即回归直线。当b＞0时，y随x的增加而增加，两变量之间为正相关关系；当b＜0时，y随x的增加而减少，两变量之间为负相关关系；当b＝0时，y为一常量，不随x的变动而变动。（1）两个变量不是对等关系。在两个变量中，首先要区分自变量和因变量，究竟哪一个是自变量，哪一个是因变量，可以根据现象之间的因果关系或研究目的而定。（2）因变量是随机变量，自变量是确定性的量，可以事先给定或控制自变量。运用一元线性回归模型应注意的问题式中：第三节三、一元线性回归模型的建立（一）回归模型的建立程序回归模型的建立程序搜集统计资料，估计模型参数，建立回归模型分析变量之间

的相互关系，计算相关系数根据具体研究目的确定自变量和因变量检验相关系数的显著性，判断相关系数的客观性1234第三节（二）显著性检验三、一元线性回归模型的建立检验依据：相关系数r，自由度n-m，显著水平α查表求值：查相关系数临界值表，得值模型判断：如果所建模型有意义；如果所建模型不适宜。例5以例4中的统计资料为例，对居民购买商品支出与其货币收入的相关系数进行显著性检验。相关系数：r=0.9980自由度：n-m=8-2=6（在一元线性回归模型中只有a、b两个参数，因此m=2）给定的显著水平α＝0.05查《相关系数检验表》（附表6）由于，因此在α＝0.05显著水平上居民购买商品支出与其货币收入之间确实存在线性相关关系。第三节三、一元线性回归模型的建立（三）变量定位在相关分析中，两变量可以不区分自变量和因变量，因为它们之间是对称关系；但在回归分析中就不同，必须区分谁是自变量、谁是因变量，因为它们之间是非对称关系。上例中的居民购买商品支出与其货币收入的相互关系是非常明确的，货币收入是自变量，购买商品支出是因变量。有些现象是难以区分的，如购买商品支出和价格。当价格上涨时，购买商品支出可能会减少，这时价格可以看作是自变量，购买商品支出则是因变量；当购买商品支出增多时，价格下降，这时购买商品支出可以看作是自变量，价格则是因变量。究竟谁作自变量，谁为因变量，首先是考虑研究目的，其次是考虑环境因素，尽量使这两者保持一致。第三节三、一元线性回归模型的建立（四）参数估计一元线性回归模型中有两个待定参数和a，b通常采用最小平方法求解，即使因变量的估计值与观察值的离差平方和为最小值。其a、b的计算公式为：当a、b参数确定以后，即可建立一元线性回归模型。第三节三、一元线性回归模型的建立例6仍以例4表中资料为例，对某地居民购买商品支出与其货币收入建立回归模型。设

将前表相关数据代入参数模型计算如右所示：式中：（四）参数估计（举例）所建回归模型第三节四、一元线性回归模型的预测应用（一）分析自变量解释力判定系数也称可决系数或决定系数，即相关系数的平方，是指因变量的总变差中可以被自变量解释部分的比重。它是衡量所建模型优劣的一个重要统计分析指标。或式中：前例r2=0.9960，说明所建模型好。第三节四、一元线性回归模型的预测应用（二）测算估计标准误估计标准误也称估计标准误差或剩余标准差，是回归直线随机离差的均方根，反映以回归直线为中心的各观察值与其估计值之间的平均离差程度。它是回归模型的误差分析指标，从另一方面显示回归模型拟合的优劣状况。式中：估计标准误除了进一步判断模型拟合的优劣以外；还可以为确定预测值的置信区间提供依据。估计标准误的计算公式：第三节四、一元线性回归模型的预测应用（二）测算估计标准误（举例）例7以前例所建立的回归模型，列表进行误差分析如下：第三节四、一元线性回归模型的预测应用（二）测算估计标准误（举例）为了直接利用计算相关系数的有关数据，可采用简捷法计算估计标准误。例8仍以前例资料和所建立的某地区居民购买商品支出与其货币收入的回归模型，用简捷法计算其估计标准误如下：两个公式计算的结果略有差别，是由于计算过程四舍五入的因素所致，不影响对问题的分析判断。计算结果表明：估计标准误0.2756亿元，仅为居民购买商品支出的0.79%，可见所建模型是适宜的。第三节四、一元线性回归模型的预测应用（三）运用模型预测建立有效回归模型测算估计标准误确定置信水平预测因变量置信区间一般程序第三节四、一元线性回归模型的预测应用（三）运用模型预测（举例）例9接前例，假定2026年该地区居民货币收入为68亿元，以