整数指数幂课件人教版数学八年级上册

第十八章分式18.4整数指数幂人教版(2024)八年级上册学

习

目

标1

了解负整数指数幂的意义，会进行简

单的整数范围内的幂运算2

会用科学记数法表示小于1的正数旧识回顾(1)a³·a⁴=

a⁷;

同底数幂的乘法：am.an=am+n(m,n都是正整数).(2)(x⁴)³=x¹2;幂的乘方：(am)n=amn(m,n

都是正整数).(3)(xy)³=x³y³;

积的乘方：(ab)"=a"bn(n

是正整数).(4)a⁴÷a³=

a

;同底数幂的除法：

am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，

m>n).5

分式的乘方：

(n

是正整数)an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广.1676年，牛顿(Newton1643-1727)提出了一个设想：“因为数学家将

aa,aaa,aaaa,

…

写

成a²,a³,a⁴,

…

,

所以我将,

…

,

写

成a-1,a-2,

a-³,

….

”探索新知幂的符号的演变经历了漫长的时间，

a²,a³,a⁴

的一些表示如图所示.aa,aaa,aaaa1637年17世纪哈里奥特(1560-1621)韦达(1540-1603)

16世纪Aq,Acu,Aqq△”,K',△△a²,a³,a⁴3世纪丢番图笛卡尔思考你认为牛顿的这个设想合理吗?也就是说，如果

am中

的m

可以是负整数，那么负整数指数幂

am

表示什么?探索新知假设am÷an=am-na≠0,m,n是正整数你认为牛顿的这个设想合理吗?也就是说，如果am中的m

可以是负整数，a³÷a⁵=

a³-5

=

a-2那么负整数指数幂

am

表示什么?思考(n是正整数)(a²

的

倒

数

)探索新知注意：

,n是正整数)中的a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的式子

.负整数指数幂一

般地，当n

是正整数时，今后，如无特别说明，本套书中涉及的负整数

指数幂的底数均不为0

.这

就

是

说

，a-n(a≠0)

是an

的

倒

数

.探索新知探索新知思

考引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质

am.an=am+n(m,n

是正整数)能否推广到m,n

是任意整数的情形?一般地，am.an=am+n.这条性质对于m,n

是任意

整数的情形都适用.我们从特殊情形入手进行研究.例如，幂的乘方：(am)n=amn(a≠0,m,n

是整数).积的乘方：(ab)n=anbn(a≠0,b≠0,

n是整数).同底数的幂的除法：am÷an=am-n(a≠0,m,n

是整数).分式的乘方：

(a≠o,b

≠o,n

是整数)探索新知事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂.(4)a-²b²·(a²b-²)-³=a-²b²

.典型例题例1

计算：(1)a-²÷a⁵;(3)(a-1b²)³;(4)a-²b²·(a²b-²)-³

.(2)am.a-n=am+(-n)=am-n,因此am÷an=am.a-n,即同底数幂的除法am÷an

可以转化为同底数幂的乘法am

·a-n.探索新知根据整数指数幂的运算性质，当m,n为整数时，即商的乘方

可以转化为积的乘方(a·b-1)n.特别地，探索新知我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，例如，光速约为3×108m/s,太阳的半径约为6.96×10⁵km.有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示.探索新知用科学记数法表示小于1的正数一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n

的形式，其中1≤a<10,n

是正整数.这种形式更便于比较数的大小和运算，例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)

、

厘(c)

、毫(m)

、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10-6,纳对

应10-9.微米(μm)

、

纳

米(nm)

都是长度单位，1

μm=10-6m,1nm=10-9m.探索新知思考对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0,用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少?如果有

m个

0

呢

?思考对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0,用科学记数法表示这个数时，10的指数是-9

如果有m

个

0

呢

?0.0000000035=3.5×10

?0.00000000107=1.07×10

?

0.000m

001=

10-(m+1)8个00.000…0035=

3.5×0.000000001=3.5×10

-⁹8个0.000…00107=

1.07×0.000000001=1.07×10

-⁹8个个…探索新知确定n

的方法：(1)n

等于原来的数中左起第一个非零数前0的个数(包含小数点前的那个0);(2)把小数点向右移动到第一个不为0的数后，看小

数点移动了几位，n

就是几.思考对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0,用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少?如果有m个

0

呢

?对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有

m

个

0

,用科学记数法表示这个数时，10的指数

一(m+1).探索新知典型例题例

2碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性.它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2~20nm.

通常一根头

发丝的直径约为70

μm,

一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍?解：70

μm=70×10-6m,2nm=2×10-⁹m,20nm=20×10-⁹m.(70×10-6)÷(2×10-9)=3.5×10⁴

.纳米技术是一种高新技(70×10-6)÷(20×10-9)=3.5×10³.术，主要是在纳米尺度因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5内探索物质的性质，从

而创造新材料.当

堂

检

测当堂检测1.若(x-3)°-2(2x-4)⁻¹有意义，则x的取值范围是(

D

)A.x≠3B.x≠2C.x≠3

或x≠2D.x≠3且x≠2解析：∵(x-3)°-2(2x-4)⁻¹有意义，∴x-3≠0且2x-4≠0,∴x≠3且x≠2.故选D.2.维生素C

能够促进人体内抗体的产生，提高白细胞的吞噬能力，增强人体的免疫功能，成年人每天应摄人维生素C

约80

mg.

已知1g=1000mg,则将80mg

用科学

记数法可表示为(B

)A.8×10⁴g

B.8×10⁻²gC.80×10⁻³gD.0.8×10⁴

g解析：∵1g=1000mg,80mg=0.08g=8×10⁻²g,故选B.当堂检测当堂检测3.

计算(a²)³(ab²)⁻²,

并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为(C)解析：

.故选C.D

B

AC.当堂检测4.已知1纳米=1×10⁹米，将纳米用科学记数法表示为a×10”米的形式，则a,n的值分别为(A

)A.2.5,-10B.2.5,-9C.2.5,-8D.4,-10解

析：

纳

米=0.25×10⁻⁹米=2.5×10-¹⁰米.故a=2.5,n=-10,故选A.当堂检测5.若

,则n

的值是(A)A.1B.2C.3D.4解

析

：

,

∴26n×2³n=2⁹,∴2⁹n=2⁹,∴9n=9,解得n=1.

故选A.当堂检测6.红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛.某红外线遥控器发出的红外线波长约为9.4×10⁻⁷m,则下列说法正确的是(C)A.9.4×10-⁷×10=9.4×10⁶B.9.4×10-⁷-1.4=8×10-C.9.4×10⁻⁷

是

8

位

小

数

D.9.4×10⁻⁷是

7

位

小

数解析：9.4×10⁻⁷

×10=9.4×10⁶,故A选项错误，不符合题意；9.4×10⁻⁷-1.4×10⁻⁷=8×10⁻⁷,故B选项错误，不符合题意；9.4×10⁻⁷=0.00000094是8位小数，故C选项正确，符合题意；D选项错误，不符合题意.故选C.解析：7.计算：

(x¹-y¹)-(x²-y²)-xy(x+y)¹.当堂检测整数指数幂有以下运算性质：(1)am.an=am+n(m,n

是整数);(2)(am)n=amn

(m,n是整数);(3)(ab)n=anbn(n是整数);(4)am÷an=am-n(a≠0,m,n

是