2026年高考数学复习讲义（新高考）第12节 函数与导数中的融合创新问题（原卷版）

第三章一元函数的导数及其应用第12节函数与导数中的融合创新问题学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点题型一定义新函数★★☆☆☆题型二定义函数的相关点、线或性质★★★☆☆题型三与高等数学知识有关的新定义问题★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【题型分析】高考中函数与导数的新定义压轴题主要涉及以下几个方面:1.定义新函数.2.定义函数的相关点、直线.3.与帕德逼近、洛必达法则、泰勒公式、柯西中值定理(含罗尔中值定理)、微积分、微分几何等高等数学知识相关联.题型一定义新函数★★☆☆☆【典例】1(2025·浙江名校协作体联考)定义max{a,b}=a,a≥b,b,a<b,已知函数f(x)=max{lnx,-4x(1)当m=5时,求过原点的切线方程;(2)若函数f(x)只有一个零点,求实数m的取值范围.【变式训练】1(2025·广州调研)已知函数y=f(x),x∈D,如果存在常数M,对任意满足x1<x2<…<xn-1<xn的实数x1,x2,…,xn-1,xn,其中x1,x2,…,xn-1,xn∈D,都有不等式n∑i=2|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立,则称函数y=f(x),x∈D是“绝对差有界函数”(1)函数f(x)=lnxx,x≥1e是“绝对差有界函数”,(2)对于函数y=f(x),x∈[a,b],存在常数k,对任意的x1,x2∈[a,b],有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|恒成立,求证:函数y=f(x),x∈[a,b]为“绝对差有界函数”;(3)判断函数f(x)=xcosπ2x,0<题型二定义函数的相关点、线或性质★★★☆☆【典例】2(2024·T8二联)记A={l(x)|l(x)=kx+m,k,m∈R},若l0(x)∈A,满足:对任意l(x)∈A,均有maxx∈[a,b]|f(x)-l(x)|≥maxx∈[a,b]|f(x)-l0(x)|,则称l0(x)为函数f(x)在x∈[a,b]上“最接近”直线,已知函数g(x)=2lnx-(1)若g(r)=g(s)=0,证明:对任意l(x)∈A,maxx∈[a,b]|g(x)-(2)若r=1,s=2,证明:g(x)在x∈[1,2]上的“最接近”直线为l0(x)=(2ln2-3)x−1+x02+2+g(x0)2,其中x0∈(1,2)且为二次方程2【变式训练】2(2024·上海卷)已知D是R的一个非空子集,y=f(x)是定义在D上的函数,对于点M(a,b),函数s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2.若对于P(x0,f(x0)),满足s(x)在x=x0处取得最小值,则称P是M的“f最近点”.(1)若D=(0,+∞),f(x)=1x,M(0,0),求证:对于点M(0,0),存在点P,使得P是M的“f最近点”(2)若D=R,f(x)=ex,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M的“f最近点”,且直线MP与曲线y=f(x)在点P处的切线垂直.(3)若D=R,已知y=f(x)是可导的,y=g(x)的定义域为R且函数值恒为正,t∈R,M1(t-1,f(t)-g(t)),M2(t+1,f(t)+g(t)).若对于任意t∈R,都存在曲线y=f(x)上的一点P,使得P既是M1的“f最近点”,又是M2的“f最近点”,试判断y=f(x)的单调性.题型三与高等数学知识有关的新定义问题★★★☆☆【典例】3(2025·厦门模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法,在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为:R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+…+bnxn,且满足:f(0)=R(0),f′(0)=R′(0),f(2)(0)=f(2)(x)=[f′(x)]′,f(3)(x)=[f(2)(x)]′,…,f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)]′.已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为R(x)=a+(1)求实数a,b的值;(2)设h(x)=f(x)-R(x),证明:xh(x)≥0;(3)已知x1,x2,x3是方程lnx=λx−1x的三个不等实根,求实数λ的取值范围,并证明:x1【变式训练】3(2025·武汉模拟)我们知道,通过牛顿-莱布尼茨公式可以求曲线梯形(如图1所示的阴影部分)的面积A=abf(x)dx,f(x)>0,−abf(x)dx,f(x)<0,其中abf(x)dx=F(b)-F(a),F′(x)=f(x).如果平面图形由两条曲线围成(如图2所示的阴影部分),曲线C1可以表示为y=f1(x),曲线C2可以表示为y=f2(x),那么阴影区域的面积A=ab(f2(x)-f1(x))dx,(1)如图3,连续函数y=f(x)在区间[-3,-2]与[2,3]的图形分别为直径为1的上、下半圆,在区间[-2,0]与[0,2]的图形分别为直径为2的下、上半圆,设F(x)=0xf(t)dt,求54F(2)图3(2)在曲线f(x)=x2(x≥0)上某一个点处作切线,使之与曲线和x轴所围成的面积为112,(3)正项数列{bn}是公差为d(d为常数,d>0)的等差数列,b1=1,两条抛物线y=bnx2+1bn,y=bn+1x2+1bn+1(n∈N*),记它们交点的横坐标的绝对值为an,两条抛物线围成的封闭图形的面积为Sn,求证:S1a【限时训练】（限时：20分钟）1.(2024·南京质检)①在微积分中,求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则,法则中有结论:若函数f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且limx→af(x)=limx→ag(x)=0②设a>0,k是大于1的正整数,若函数f(x)满足:对任意x∈[0,a],均有f(x)≥fxk成立,且limx→0f(x)=0,则称函数f(x)为区间[0,a结合以上两个信息,回答下列问题:(1)试判断f(x)=x3-3x是否为区间[0,3]上的2阶无穷递降函数;(2)计算:limx→0(1+x(3)证明:sinxx−π3<cosx,2.(2025·济南调研)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度,为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C:y=f(x)上的曲线段AB,其弧长为Δs,当动点从A沿曲线段AB运动到B点时,A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB,记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差).显然,当弧长固定时,夹角越大,曲线的弯曲程度就越大;当夹角固定时,弧长越小则弯曲程度越大,因此可以定义K=ΔθΔs为曲线段AB的平均曲率;显然当B越接近A,即Δs越小,K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度,因此定义K=limΔx→