备战2026年高考数学考试易错题（新高考）【消灭易错】专题07 计数原理与概率统计（原题版）

专题07计数原理与概率统计

考点01计数原理

1．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志

愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到

同一个场地，则不同的安排方法种数为（）

A．72B．96C．114D．124

易错分析：分组分配问题中均分组问题要注意做到不重不漏，一般是先分组再分配.

2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有

《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华

两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦

探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（）

A．12B．24C．28D．36

3．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们

分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A．30种B．90种C．150种D．180种

4．（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这

3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5

名游客不同的选择方案种数为（）

A．52B．72C．76D．100

5．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供

选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）．

A．240种

B．300种

C．360种

D．420种

易错分析：涂色问题一般是综合考查两个原理的应用，这类问题要注意合理的分步分类，

一般可以从哪些部分可以同色入手分析.

6．（23-24高三下·山东济宁·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.后人称其为

“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色

不相同.记事件A：“区域2和区域4颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则PB|A（）

2213

A．B．C．D．

7324

1

x2

7．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知(x2)n的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最

2

大的项是（）

A．第6项B．第7项

C．第8项D．第9项

易错分析：二项展开式的通项公式是rnrr，注意通项公式是表示展开式的第r+1

Tr1Cnab

项.

n

2a

8．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知x（a0）的展开式中的第7项为7，则实数a的值为（）

3x

A．1B．3C．7D．2

1xn

9．（24-25高三上·湖南株洲·期末）若()展开式中的第2项与第3项的系数相等，则n的值为（）

xx3

A．6B．7C．8D．9

n

1

10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知x的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等

2x2

于72，则该展开式中的常数项为（）

2163219

A．B．C．D．

2161632

易错分析：二项式定理的应用中要区分二项式系数与系数的不同.

8

1

11．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在1的二项展开式中，第3项的二项式系数是（）

2x

A．8B．8C．28D．28

12．（23-24高三下·湖北·阶段练习）各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为（请

用数字作答）．

易错分析：要注意“隔板法”仅适用于相同元素的分配问题.

13．（2024·湖北·二模）已知x,y,zN*，且x1，y2，z3，则方程xyz10的解的组数为.

14．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）xyzt6的非负整数解有组.

考点02统计

1．（2024高三·全国·专题练习）非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的

结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进

行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为4:3:2，若利用分层随机抽样的方法抽取36人进

行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（）

A．16人B．12人C．8人D．4人

易错分析：处理分层抽样问题的关键是“等比”这一特征.

2．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人

数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出

的同学人数为（）

A．8B．12C．16D．6

3．（2024·河南·三模）国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该

制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂

电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能

量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（）．

A．325个B．300个C．225个D．175个

4．（2024高三·全国·专题练习）某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客所购旅

游鞋的尺寸，将所得数据整理后，画出频率分布直方图.已知从左到右前3个小组的频率之比为1:2:3，第4

小组与第5小组的频率分布直方图如图所示，第2小组的频数为10，则第5小组的频数是（）

A．4B．5

C．8D．10

易错分析：频率分布直方图的纵坐标是频率与组距的比，每个小矩形的面积才是各组中的

频率.

5．（24-25高三上·天津河东·期末）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高

考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的

频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（）

A．270B．240C．180D．150

6．（23-24高三上·天津·阶段练习）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据

（单位：kg）进行分组，区间为50,55,55,60,60,65,65,70,70,75，将其按从左到右的顺序分别编号

为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的

频率之比为1:2:3，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）

A．48B．5C．54D．60

7．（24-25高三上·天津西青·期末）树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随

机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为3，5，6，8，m，14，15，

4

16，17，18，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是()

5

A．9B．10C．11D．12

8．（2025高三·全国·专题练习）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压（单位：mmHg）数

据，分别为96，120，146，153，112，136，则这组数据的40%分位数为（）

A．112B．120C．128D．136

易错分析：求总体百分数时一定要先将数据从小到大排列，然后再根据规则求解.

9．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市

某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直

方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（）

A．图中a的值为0.15

B．估计样本数据的75%分位数为85

C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000

D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值

作代表）

10．（24-25高三上·河北·期中）某企业五个部门2024年第三季度的营业收入占比和净利润占比统计如下表

所示：

第一部门第二部门第三部门第四部门第五部门

营业收入占比48.4%15.8%18.2%10.8%6.8%

净利润占比62.8%3.3%15.5%20.2%4.8%

若该企业本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（）

A．各部门营业收入占比的极差为41.6

B．各部门营业收入占比的第75百分位数为10.8%

C．第二部门本季度的营业利润为正

D．第三部门本季度的营业利润率大约为27.68%

11．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，x，25，22，x1，20，24，28，25．若该组数据

的中位数与众数相等，则平均数为（）

A．24.4B．25.8C．24.4或25.8D．24.4或24.8

考点03概率

1．（24-25高三上·江苏苏州·期末）现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽

取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为（）

2142

A．B．C．D．

155155

易错分析：古典概型概率问题必须要满足基本事件的等可能性.

2．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新

高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每

位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（）

1111

A．B．C．D．

3183672

3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛，则选出的3人中

既有男生又有女生的概率为（）

1339

A．B．C．D．

1010510

4．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）有mm4件产品，其中有3件次品，其余均为正品，从中任取2

1

件产品，2件产品等次不同的概率为，则取出的2件产品都是正品的概率为（）

2

1523

A．B．C．D．

21234

5．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，

那么这2个球同色的概率为（）

23913

A．B．C．D．

552525

易错分析：抽样问题中的概率问题要注意区分“不放回抽取”和“有放回抽取”的不同.

6．不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则

抽出的2个球均为白球的概率为（）

4721

A．B．C．D．

915518

7．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次

将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的

频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（）

A．40个B．45个C．50个D．55个

8．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放

回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（）

8432

A．B．C．D．

15553

9．（2024·上海虹口·一模）已知事件A和事件B满足AB，则下列说法正确的是（）．

A．事件A和事件B独立B．事件A和事件B互斥

C．事件A和事件B对立D．事件A和事件B互斥

易错分析：熟记互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义，并能进行正确的区分判断.

10．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现

3点或4点”，则事件A与事件B的关系为（）

A．是相互独立事件，不是互斥事件B．是互斥事件，不是相互独立事件

C．既是相互独立事件又是互斥事件D．既不是互斥事件也不是相互独立事件

11．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿

色骰子的点数，用x,y表示一次试验结果，设事件E:xy8；事件F：至少有一颗点数为6；事件G:x4；

事件H:y4.则下列说法正确的是（）

A．事件E与事件F为互斥事件B．事件F与事件G为互斥事件

C．事件E与事件G相互独立D．事件G与事件H相互独立

12．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A“出现偶数点”，事件B“出现3点或4点”，则事件A与B

的关系为（）

A．相互独立事件B．相互互斥事件

C．即相互独立又相互互斥事件D．既不互斥又不相互独立事件

13．（24-25高三上·江苏·期末）第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行．本

届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了

三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参

观，每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同

一观展区的概率为（）

5321

A．B．C．D．

6432

32

14．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人

43

5

去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲

6

去北京旅游的概率为（）

4321

A．B．C．D．

7532

PAB

易错分析：条件概率的求解主要有两种方法，一是公式法P(B|A)，二是缩小样

P(A)

nAB

本空间法P(B|A).

n(A)

15．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实

31

施打击，该构件有A,B两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为，B部位损坏的概率为，则

102

在第一次打击后就有部位损坏（只考虑A､B两个易损部分）的条件下，A,B两个部位都损坏的概率是（）

35173

A．B．C．D．

13132020

243

16．（24-25高三上·广东·开学考试）在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是,,，且三人通关

354

与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（）

2167

A．B．C．D．

531313

17．（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有90%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品

的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率为0.01．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率

为（）

A．0.855B．0.856C．0.86D．0.865

考点04随机变量及其分布列

1．设离散型随机变量X的分布列如表所示，则q（）

X12

1

P12qq2

2

1222

A．B．1C．1D．1

2222

易错分析：根据随机变量的分布列求值时要注意分布列的性质，即

.

0pi1,p1p2pn1

2．已知离散型随机变量的分布列为

0123

42

Pmn

99

若E1，则D31（）

A．2B．3C．6D．7

3．若随机变量X的分布列为

X210123

P0.10.20.10.30.10.2

则当PXa0.7时，实数a的取值范围是（）

A．,2B．1,2

C．1,2D．1,2

4．（25-26高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的

期望为（）

2383

A．B．C．D．

1510155

易错分析：概率分布问题要注意区分二项分布和超几何分布：（1）抽样情况不同：二项

分布：有放回抽取（独立重复），每次抽取不影响后续抽取；超几何分布：不放回抽取，每次

抽取都会减少总体中特定元素的数量；（2）计算方法不同：二项分布：概率计算涉及事件独

立性的乘积；超几何分布：概率计算涉及组合排列，因为总体的元素数量在抽取过程中会发生

变化；（3）所需信息不同：二项分布：无需知道总体的容量；超几何分布：需要知道总体的

容量和特定元素的数量。

5．袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色

乒乓球的概率是（）

1