备战2026年高考数学考试易错题（新高考）模块01 集合、逻辑用语和不等式（解析版）

模块01集合、逻辑用语和不等式

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．

1．（24-25高三上·甘肃·期末）设集合A{xlnx1}，Bx1x1，则AB（）

A．{x1x1}B．{x1xe}C．{x0x1}D．{x0xe}

【答案】C

【分析】解不等式lnx1，化简集合A，根据交集的定义求结论.

【详解】因为A{xlnx1}{x0xe}，

所以AB{x0x1}.

故选：C.

2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）命题“xR,x24x50”的否定是（）

A．xR,x24x50B．xR,x24x50

C．xR,x24x50D．xR,x24x50

【答案】D

【分析】根据存在命题的否定即可求解.

【详解】命题“xR,x24x50”的否定是xR,x24x50，

故选：D

3．（24-25高三上·山东烟台·期末）设集合A1,a,B0,1a,2a1，若AB，则a（）

1

A．1B．1C．D．0

2

【答案】D

【分析】利用子集的概念计算可求a的值.

【详解】因为集合A1,a,B0,1a,2a1，且AB，

1

所以a0或a=1-a或a2a1，解得a0或a或a1，

2

当a0时，A1,0,B0,1,1，符合集合元素的互异性，

11

当a时，B0,,0，不符合集合元素的互异性，故舍去，

22

当a1时，A1,1，不符合集合元素的互异性，故舍去.

综上所述：a0.

故选：D.

4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，

参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售

卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价

每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的

销售单价x（单位：元）的取值范围是（）

A．10,20B．15,20C．16,20D．15,25

【答案】B

【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.

【详解】由题意，得x453x15600，

即x230x2000，∴x10x200，

解得10x20.又每枚的最低售价为15元，∴15x20.

故选：B.

5．（23-24高三上·湖北·阶段练习）命题“x1,2，x2a0”为真命题的一个必要不充分条件是（）

A．a1B．a1C．a0D．a2

【答案】D

【分析】根据题意结合恒成立问题可知a1，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.

【详解】因为x2a0，即x2a，

且x1,2，则x21,4，由题意可得a1，

选项中只有选项D满足a|a1是a|a2的真子集，

所以命题“x1,2，x2a0”为真命题的一个必要不充分条件是a2.

故选：D.

6．（2024·河南·模拟预测）已知命题“xR,x2mxm0”是假命题，则实数m的取值范围为（）

A．B．C．0,2D．

【答案】0A,40,40,2

【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“xR,x2mxm0”为真命题.对于一元二次函数

yx2mxm，要使其对于任意实数x都大于等于0，则需要考虑其判别式的取值范围.

【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“xR,x2mxm0”为真命题.

对于一元二次函数yx2mxm，要使其对于任意实数x都大于等于0.

因为yx2mxm0恒成立，所以0，即m24m0，解得0m4.

故选：A.

1

7．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知：p:1,q:logxa1．若p是q的充分不必要条件，则实

x22

数的取值范围为（）

A．0,1B．0,1C．,0D．,1

【答案】C

【分析】a

解分式不等式、对数不等式求对应x范围，结合充分不必要条件有a22，即可得范围.

11x3(x2)(x3)0

【详解】由p:110，可得2x3；

x2x2x2x20

由q:log2xa1xa2xa2，

因为p是q的充分不必要条件，则a22a0.

故选：C

21

8．（2024·山东淄博·二模）记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则max,,x24y2

xy

的最小值为（）

1

A．B．1C．2D．4

2

【答案】C

2121

【分析】设Mmax{,,x24y2}，得3Mx24y2，两次应用基本不等式求最小值，注意等号

xyxy

成立的条件即可．

212221

【详解】设Mmax{,,x4y}，则M0，M0，Mx24y20，

xyxy

2121

∴3Mx24y24xy，当且仅当x2y时取等号，

xyxy

212121

又4xy334xy6，当且仅当4xy，即x2y1时取等号，

xyxyxy

所以M2，

所以M的最小值是2，

故选：C．

21

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出M0，M0，Mx24y20，相加后基本

xy

不等式求得最小值．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．（2025高三·全国·专题练习）已知a,bR，则下列结论正确的是（）

11ba

A．若ab，且，则ab0B．若ab，且ab，则

ababab

aa1

C．若ab0，则ababD．若ab0，则

bb1

【答案】ACD

【分析】根据作差法即可求解AD,举反例即可求解B，根据不等式即可求解C.

11ab

【详解】选项A：由ab可得ab>0，由可得0，故ab0，故A正确．

abab

baba

选项B：当a0，b1时，满足ab，且ab，但1，0，不等式不成立，

abababab

故B错误．

选项C：因为ab0，所以ab0，故ab2abab，故C正确．

aa1ab1ba1baaa1

选项D：由ab0可得ba0，且b10，故0，即，

bb1bb1bb1bb1

故D正确．

故选：ACD

10．（2024高三·全国·专题练习）已知集合AxR∣x23x180，BxR∣x2axa2270，则

下列命题中正确的是（）

A．若AB，则a3

B．若AB，则a3

C．若B，则a6或a6

D．若a3，则AB{x∣3x6}

【答案】ABC

22

【分析】先求出集合A，然后令gxxaxa27，对于A，由题意可得3,6是方程的两个

��=0

g(3)0

根，利用根与系数的关系列方程可求出a，对于B，由题意可得，可求出a，对于C，由题意可

g(6)0

得0，可求出a的范围，对于D，求出集合B，再求出两集合的交集判断即可.

【详解】由已知得，A{x∣3x6}，令gxx2axa227，

a3

对于A，若AB，即3,6是方程的两个根，则2，解得a3，所以A正确；

a2718

��=0

g(3)a23a180

对于，若，则，解得，所以正确；

BAB2a3B

g(6)a6a90

对于C，当B时，Δa24a2270，解得a6或a6，所以C正确；

D：当a3时，BxR∣x23x180{x∣6x3}，所以AIB{x∣3x3}，所以D错误.

故选：ABC.

11．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线

222

C:x3y3a3a0上的点到x轴的距离的最大值为1，则（）

A．a1

B．C上的点到原点的距离的最大值为1

2

C．C上的点到原点的距离的最小值为

2

1

D．当点x,y在C上时，xy

00008

【答案】ABD

【分析】令x0得ya1，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD.

【详解】对于A，∵星形线C上的点到x轴的距离的最大值为1，令x0得ya1，∵a0，可得a1，

故A正确；

对于B，由图可得C上的点到原点的距离的最大值为1，故B正确；

2323

22

22

对于，设点在上，则33，∵33

CCxy1x0y0x0y0

00

��0,�0

2

22

33

2x0y0

2242242222221，

333333333333

x0y0x0x0y0y0x0y0x0y03x0y013x0y013

44

21

当且仅当xy等号成立，即星形线上的点到原点距离的最小值为，故C错误；

0042

2222211

对于，当点在上时，∵33，得，

Dx0,y0Cxyx3y32xy32xy3x0y0

000000008

21

当且仅当xy等号成立，即星形线上的点到x，y轴距离的乘积的最大值为，故D正确.

0048

故选：ABD.

【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知集合Ax|4x5x2，Bx|x2axb0，若AB，

AB1,6，则ab.

【答案】19

【分析】由题意可得Bx∣5x6，所以5和6是方程x2axb0的两个根，代入解方程可求出a,b，

即可求出ab的值.

【详解】因为Ax|4x5x2{x|1x5}，Bx|x2axb0，

AB，AB1,6，所以Bx∣5x6，

所以5和6是方程x2axb0的两个根，

255ab0

所以，解得a11，b30，

366ab0

所以ab113019.

故答案为：19.

x

13．（2024·上海长宁·一模）已知:2log2x2,:xm，若是的充分条件，则实数m的取值范围

是．

【答案】1,

x

【分析】通过构造函数f(x)2log2x,x0,，利用f(x)的单调性解不等式，再由题意将是的充

分条件转化为包含关系，进而求得参数m范围.

x

【详解】设f(x)2log2x,x0,，

则f(x)在0,单调递增，又f(1)2，

x

所以2log2x2，即f(x)f(1)，故0x1.

则:0x1.

由题意0x1是xm的充分条件，则0,1,m，

所以有m1，故实数m的取值范围是1,.

故答案为：1,.

14．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）如图，曲线C:(x2y2)332x2y2是四叶玫瑰花瓣曲线，若点(x,y)是

曲线C上一点，则x2y2的最大值为，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横､纵坐标均为整数）的

个数为.

【答案】817

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值；求出圆x2y28及内部的整点个数，再剔除在玫瑰

花瓣外的点即可得解.

x2y2

【详解】由基本不等式(x2y2)332x2y232()28(x2y2)2，解得x2y28，

2

当且仅当x2y2时取等号，所以x2y2的最大值为8；

在圆x2y28及其内部的整点横向最上面一排有(2,2),(1,2),(0,2),(1,2),(2,2)，共5排；

纵向每一列也有5个点，有5列，共25个，验证知只有坐标轴上除原点外的8个点不在花瓣内，所以共有

17个.

故答案为：8；17

【点睛】关键点点睛：确定圆x2y28及其内部的整点个数是解决第2空的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

x6

15．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知集合Ax0，Bxx24x0．

x2

ð

(1)求RAB；

(2)已知集合Cxm1x2m1，若“xC”是“xB”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

ð

【答案】(1)RAB{x|x0或x6}

5

(2)m

2

【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式可得集合A,B，再由集合的运算可得结果；

（2）易知CB，对集合C是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可．

x6

【详解】（1）Ax0xx6x20x2x6，

x2

Bxx24x0xxx40x0x4，

可得ABx|0x6，

ð

所以RAB{x|x0或x6}．

（2）若“xC”是“xB”的充分不必要条件，则CB，

若C，则2m1m1,解得m2；

2m1m1

5

若C，则m10，且等号不能同时成立，解得2m≤，

2

2m14

5

综上可知，实数m的取值范围为m.

2

16．（24-25高三上·安徽合肥·期末）已知关于x的不等式x2mxn0的解集为x2x1.

(1)求实数m，n的值；

mn

(2)若正实数a，b满足2，求manb的最小值.

ab

【答案】(1)m1，n2

9

(2)

2

【分析】（1）根据不等式的解集得到2和1是方程x2mxn0的两根，再由韦达定理即可求解；

（2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】（1）因为关于x的不等式x2mxn0的解集为x2x1，

所以2和1是方程x2mxn0的两根，

21m

由韦达定理得，解得m1，n2；

21n

12

（2）由（1）得2，

ab

11212b2a12b2a9

manba2ba2b552，

2ab2ab2ab2

2b2a3

当且仅当，即ab时取等号，

ab2

9

所以a2b取得最小值，

2

9

即manb的最小值为.

2

17．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入

2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，销售收入为R(x)万元，且

1

(10.8x2)x,(0x10)

30

R(x)（注：年利润年销售收入年总成本）

1000

108,(x10)

3x

(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.

x3

8.1x10,0x10

30

【答案】(1)W

1000

982.7x,x10

3x

(2)9千件

【分析】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式.

（2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论.

x3x3

【详解】（1）当0x10时，WRx102.7x10.8x102.7x8.1x10；

3030

10001000

当x10时，WRx102.7x108102.7x982.7x.

3x3x

x3

8.1x10,0x10

30

综上：W.

1000

982.7x,x10

3x

x3x2

（2）当0x10时，Wx8.1x10，Wx8.1.

3010

由Wx00x9；由Wx09x10.

所以Wx在0,9上单调递增，在9,10上单调递减，

93

所以WxW98.191038.6.

30

1000

当x10时，Wx982.7x.

3x

100010001000100

因为2.7x22.7x60，当且仅当2.7x即x时取“”.

3x3x3x9

此时Wx986038.

因为3838.6.

所以当年产量为9千件时，年利润最大.

18．（24-25高三上·安徽六安·期中）已知幂函数fxm24m4x2m4在,0上单调递减.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解关于x的不等式af(x)ax10a1

(3)若对任意x1,2，都存在b1,2，使f(x)bt2tb1成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)fxx2

(2)答案见解析

1

(3),1,

2

【分析】（1）由幂函数的定义结合单调性即可求解；

（2）通过a0和a0两类情况讨论即可；

（）由题意得到2，再得到存在，使得2，进而可求解

3fxmaxbttb1b1,2bttb14.

【详解】（1）由幂函数fxm24m4x2m4在,0上单调递减，

m24m41

可得，解得m3，所以fxx2

2m40

（2）当a0时，10，解集为R，

2

21a

当a0时，axax10，得ax10，

24

Δa24aaa4，

当a0时，0，

22

2aa4aaa4a

方程axax10的两根为xx

12a22a

aa24aaa24a

所以不等式的解为x，

2a2a

2

当0a1时，Δa4aaa40，不等式的解集为R，

aa24aaa24a

综上可知，当a0时，解集为xx，

2a2a

当0≤a<1时，解集为R.

（3）由（1）知fxx2，因为对x1,2，使得fxbt2tb1都成立，

所以2，易知，

fxmaxbttb1fxmax4

所以bt2tb14，

因为存在b1,2，使得bt2tb14成立，

可得bt2tb30，

max

2

因为t210，所以yt1bt3是关于b的单调递增函数，

所以bt2tb32t21t30，

max

1

解得：t或t1，

2

1

所以t的取值范围为,1,.

2

19．（2024·重庆·模拟预测）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集A和B，

,,

定义和集ABabaA,bB.记符号A表示集合A中的元素个数.当A2时，设a1a2,aA是集合A

中按从小到大排列的所有元素，记集合GAak1akk1,2,,A1.

(1)已知集合A1,3,5，B1,2,6，C1,2,6,x，若ABAC，求GC的值.

(2)已知ABmm3,mN*，记集合GA,BxxGA或xGB.

（i）当m3时，证明AB5的充要条件是GA,B1；

（ii）若GA1，AB2m，求GA,B的所有可能取值．

【答案】(1)2

(2)（i）证明见解析；（ii）GA,B2

【分析】（1）先根据ABAC求出x的值，可确定集合C，进而求GC.

（