备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题04 指数函数、对数函数和幂函数（解析版）

专题04指数函数、对数函数及幂函数

目录

题型一：指数运算及指数函数

易错点01对根式性质理解不到位出错

易错点02忽略底数对指数函数性质的影响

题型二对数运算及对数函数

易错点03忽视对数式成立的条件而出错

易错点04判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

易错点05利用换元法求值域遗忘范围

题型三幂函数

易错点05错判幂函数的性质

题型一：指数运算及指数函数

易错点01：对根式性质理解不到位出错

典例（24-25高三·全国·专题）下列说法正确的个数是（）

31

32

①49的平方根为7；②aa；③a2a；④6333．

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.

【详解】49的平方根是7，故①错误；

13

3

3aa3a，故②正确；

a2a，故③错误；

1

2

6333，故④错误．

故选:A．

【易错剖析】

1

22

本题容易混淆根式的性质和分数指数幂的运算律而认为aa，6333成立而误选C.

【避错攻略】

1.根式的概念

一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且nN*.

（1）当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号na

表示.

（2）当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,记为na,负数没有偶次方根.

（3）0的任何次方根都是0,记作n00.

*

式子a叫做根式,其中nn1,且nN叫做根指数,a叫做被开方数.

2.根式的性质

根据n次方根的意义,可以得到:

nna,a0,

（1）(na)na.（2）当n是奇数时,nana;当n是偶数时,a|a|

a,a0

3．分数指数幂的意义

m

正分数指数幂规定annama0,m,nN*,且n1

m

1

分数指数幂n*且

负分数指数幂规定ama0,m,nN,n1

an

0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值

范围不同，如(na)n中当n为奇数时,aR;n为偶数时,a0，另外根式的化简结果也不同；

mn

(2)分数指数幂an中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．

m

1．（2024·河南·三模）若a0,bR，则化简2log23(a)2b2的结果是（）

A．3abB．3ab

C．2abD．2ab

【答案】B

【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.

2

2

【详解】由2log233，aa，bb可知，

2log23(a)2b23ab.

故选：B

2．（2025高一·全国·课后作业）n(3π)n(nN,n2)（）

A．3πB．π3

C．3πD．当n为奇数时，3π；当n为偶数时，π3

【答案】D

【分析】当n为奇数时，n(3π)n3π；当n为偶数时，n(3π)n3π，即可求解.

【详解】当n为奇数时，n(3π)n3π；

当n为偶数时，n(3π)n3ππ3.

故选：D

3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）

11

．．623

Ax(x)2Byy(y0)

1

1

C．x3(x0)D．

3x

【答案】C

【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.

11

【详解】对于A选项：xx2(x0)，(x)2x(x0)，故A错误；

1

对于B选项：6y2y3(y0)，故B错误；

1

11

3

对于C选项：x1(x0)，故C正确；

3x

x3

313

211

24

对于D选项：当x0时，3(x)(x)34x2，而当x0时，2没有意义，故D错误.

xx

故选：C

1．（23-24高一上·北京延庆·期末）4(2)4的值为（）

A．2B．4C．2D．4

【答案】C

【分析】根据根式的运算求得正确答案.

【详解】4(2)422.

故选：C

1

2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（）

7a4

4477

．．．．

Aa7Ba7Ca4Da4

【答案】B

【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.

14

【详解】将写成分数指数幂的形式为7.

7a4a

故选：B.

3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列运算结果中正确的是（）

3

A．a3a4a12B．a2a6

5

C．8a8aD．5ππ

【答案】D

【分析】根据有理数指数幂、根式的运算法则计算可得答案．

【详解】对于A选项，a3a4a34a7，故A错误；

对于B选项，(a2)3a6，故B错误；

对于C选项，当a0时，8a8a，当a<0时，8a8a，故C错误；

对于D选项，5(π)5π，故D正确．

故选：D．

a2

4．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）设a0，将表示成指数幂的形式，其结果是（）

3aa3

．1．5．7．3

Aa2Ba6Ca6Da2

【答案】C

【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解.

22257

aaa2

a6a6

31

3335

【详解】因为a0，所以aa23.

aa2

a

故选：C

5．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中正确的有（）

20

A．nanaB．若aR，则aa11

4

C．3x4y3x3yD．35652

【答案】BD

【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得.

nn

【详解】对A：当n为偶数时，aa，故nana不一定成立，故A错误；

2

0

2132

对B：aa1a0，故aa11，故B正确；

24

对C：显然不成立，如当xy1时，左边为32，右边为2，故C错误；

1

对：623，故正确

D5535D.

故选：BD.

6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）下列运算正确的是（）

236

A．4a2aB．aa

C．log432log23D．lg5lg2log25

【答案】BD

【分析】运用根式性质，指数幂性质和对数性质化简计算即可.

【详解】4a2|a|，故A错误.

3

指数幂性质，知道a2a6，B正确；

1

对数运算性质，知道log3log3，C错误；

422

换底公式逆用，知道lg5lg2log25,D正确.

故选：BD.

7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）（多选）若代数式x12x有意义，则

x22x14(x2)4．

【答案】1

【分析】由二次根式有意义得到x的取值范围，化简所求代数值，由x的取值范围去掉绝对值符号即可得到

解.

x10

【详解】由题意可知：，∴1x2

2x0

2

∴x22x14(x2)4x14(x2)4x1x2x12x1

故答案为：1

74

8．（2023高三·全国·专题练习）（多选）7243的值为．

【答案】1

【分析】利用根式的性质进行化简求值即可.

74

【详解】7243727434231.

故答案为：1.

易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响

8

典例（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数fxaxbaxa0,a1在1,1上的最大值为，则

3

a（）

11

A．或3B．或2C．3D．2

32

【答案】A

【分析】根据奇偶性求得b，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．

【详解】因为fx是奇函数，所以fxfx，所以fxfx0．

xx

即axbaxaxbax0，则b1aa0，解得b1，

经检验b1符合题意，所以fxaxax，

1

当a1时，01，

a

x

xx1

则函数ya在1,1上单调递增，ya在1,1上单调递减，

a

所以fxaxax在1,1上单调递增，

8

所以，f(x)f(1)aa1，整理得3a28a30，

max3

1

解得a3或a(舍去)，所以a3；

3

1

当0a1时，1，

a

x

xx1

则函数ya在1,1上单调递减，ya在1,1上单调递增，

a

所以fxaxax在1,1上单调递减，

8

所以，f(x)f(1)a1a，整理得3a28a30，

max3

11

解得a或a3(舍去)，所以a，

33

1

综上，a或3．

3

故选：A．

【易错剖析】

本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解.

【避错攻略】

1指数函数的概念

一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等

于1的常量，定义域是R.

【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点

（1）定义域为：R

（2）规定a0,且a1是因为：

①若a1，则yax1（恒等于1）没有研究价值；

②若a0，则x0时，yax0（恒等于0），而当x0时，ax无意义；

nn

③若，则中m为偶数，n为奇数时，无意义.

a0amam

④只有当0a1或a1时，即a0,且a1，x可以是任意实数.

2底数对指数函数图像与性质的影响

（1）底数a与1的大小关系决定了指数函数yax(a0且a1)图象的“升”与“降”.

①当a1时，指数函数的图象是“上升”的，且当x0时，底数a的值越大，函数的图象越“陡”，

说明其函数值增长的越快.

②当0a1时，指数函数的图象是“下降”的，且当x0时，底数a的值越小，函数的图象越

“陡”，说明其函数值减小的越快.

（2）底数a的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a1还是0a1，底数越大，在第一象

限内的函数图象越“靠上”.

在同一平面直角坐标系中，底数a的大小决定了图象相对位置的高低；

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；

在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；

易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系.

1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数fxax(a0且a1)在[0,1]上的最小值与最大值的和为3，则

函数y2ax1在[0,1]上的最大值是.

【答案】3

【分析】对指数函数的底数进行分情况讨论求出a值，代入所求函数，判断单调性即得其最大值.

【详解】当a1时，fxax在上为增函数，

[0,1]

则，解得；

fxmaxf(x)minf(1)f(0)a13a2

当0a1时，fxax在上为减函数，

[0,1]

则，解得（舍去）；

fxmaxf(x)minf(0)f(1)1a3a2

于是函数y2ax14x1，显然在[0,1]上为增函数，

故当x[0,1]时，ymax4113.

故答案为：3.

2．已知函数fxa1ax（a0且a1）在区间2,3上单调递增，则a的取值范围为（）

1

A．0,B．1,

2

111

C．0,D．,

332

【答案】C

【详解】由a0且a1，得y1ax为单调递减函数，

由复合函数单调性法则得a0,1，

13a01

又，解得a0,．

12a03

故选：C．

3．函数y3axa2x在区间1,2上的最小值是3，则a的值是.

【答案】或1

22

2

x21131

【详解】令at，则ytt3t，其对称轴为t，

242

1

当a1时，因为x1,2，所以ta2，

a

2

211312

所以函数ytt3t在,a上单调递减，

24a

242

所以当ta时，yminaa33，解得a2，

1

当0a1时，因为x1,2，所以a2t，

a

2

211321

所以函数ytt3t在a,上单调递减，

24a

1111

所以当t时，y33，解得a.

amina2a2

1

综上，所以a2或a.

2

故答案为：或1

22

1．函数（且）的值域是，则实数（）

�5

�=�−2�>0�≠1,−1≤�≤1−3,1�=

A．3B．C．3或D．或

1123

3332

【答案】C

【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得

到答案.0<�<1�>1

【详解】函数（且）的值域为，

�5

又由指数函数的�=单�调性−可2知�，>0�≠1,−1≤�≤1−3,1

当时，函数在上单调递减，值域是

�−1

0<�<1�=�−2−1,1�−2,�−2

所以有，即，解得；

01<�<150<�<111

�−2=−3�=3�=3

当时−，1函数在−1上单调递增，值域是

�−2=1�=3

�−1

�>1�=�−2−1,1�−2,�−2

所以有，即，解得.

�>1

−15�−1>11

�−2=−3�=3�=3

1

综上所述，�−2=或1.�=3

1

3

故选：C.�=�=3

ax,x1

2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知a0且a1，函数fx，若函数fx在区间

xa,x1

5

0,2上的最大值比最小值大，则a的值为（）

2

12717

A．或2B．或2C．2或D．或

23222

【答案】D

【分析】按照a与1的大小进行分类讨论，求出函数fx在0,2上的最值，从而可得a的值.

【详解】①当0a1时，函数fx在0,1上是减函数，在1,2上也是减函数.

∵f0a011a，∴函数的最大值为f01，而f22aaf1，∴函数fx的最小值为

f22a，

51

∴2a1，解得a0,1，符合题意.

22

②当a1时，函数fx在0,1上是增函数，在1,2上是减函数.

∵f1a1a，

∴函数fx的最大值为f1a，而f22a，f0a01，

5

当a1,3时，2a1，此时函数fx的最小值为f22a，因此有2aa，无解；

2

57

当a3,时，2a1，此时函数fx的最小值为f01，因此有1a，解得a3,，

22

符合题意.

17

综上所述，实数a的值为或.

22

故选：D

(a2)x4a1,x2

3．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数f(x)x1(a0且a1)，若f(x)存在

2a,x2

最小值，则实数a的取值范围为()

13

A．0,B．0,

24

133

C．0,,1D．0,(1,2)

244

【答案】A

【分析】通过对参数a分类讨论，研究f(x)在(,2]和(2,)的单调性，再结合已知条件，即可求解.

【详解】由题意，不妨令g(x)(a2)x4a1，x(,2]；h(x)2ax1，x(2,)，

①当0a1时，g(x)(a2)x4a1在(,2]上单调递减，

h(x)2ax1在(2,)上单调递减，易知h(x)2ax1在(2,)上的值域为(0,2a)，

1

又因为f(x)存在最小值，只需g(2)(a2)24a10，解得，a，

2

1

又由0a1，从而0a；

2

②当1a2时，g(x)(a2)x4a1在(,2]上单调递减，h(x)2ax1在(2,)上单调递增，

又因为f(x)存在最小值，故g(2)h(2)，

3

即(a2)24a12a，解得，a，这与1a2矛盾；

4

9,x2

③当a2时，f(x)x，易知f(x)的值域为(4,)，显然f(x)无最小值；

2,x2

④当a2时，g(x)(a2)x4a1在(,2]上单调递增，h(x)2ax1在(2,)上单调递增，从而f(x)无

最小值.

1

综上所述，实数a的取值范围为0,.

2

故选：A.

5．（23-24高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知指数函数fxax在1,1上的最大值与最小值之差为2，则

实数a的值为（）

322223

A．B．21C．D．21

22

【答案】BD

【分析】分0a1和a1两种情况，根据题意列方程求解即可.

【详解】当0a1时，fxax单调递减，

1

所以，a1a2，即a2，解得a21（负根已舍弃）；

a

当a1时，fxax单调递增，

1

所以，aa12，即a2，解得a21（不符合条件的根已舍弃）.

a

综上，实数a的值为21或21.

故选：BD

6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)ax（a0且a1）在区间2,4上的最大值是16，求实数

a的值；

1

【答案】或2.

4

【详解】根据给定条件，利用指数函数的单调性分类求解即得.

1

【分析】当0a1时，函数f(x)在2,4上单调递减，f(x)f(2)a216，因此a；

max4

4

当a1时，函数f(x)在2,4上单调递增，f(x)maxf(4)a16，因此a2，

1

所以实数a的值为或2.

4

7．（2024高三下·全国·专题练习）函数fxa2xax1（，且a1）在1,1上的最大值为13，求实

数a的值.�>0

1

【答案】3或

3

【分析】令axt，讨论a1或0a1，求出t的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.

【详解】∵fxa2xax1

令axt，则t0，

131

则yt2t1(t)2，其对称轴为t.

242

1

该二次函数在[,)上是增函数.

2

x1

①若a1，由x[1,1]，得ta,a，

a

故当ta，即x1时，

2

ymaxaa113，解得a3(a4舍去).

x1

②若0a1，由x[1,1]，可得taa,，

a

1

故当t，即x=1时，

a

2

11

ymax113.

aa

11

∴a或(舍去).

34

1

综上可得a3或.

3

ax1

8．（21-22高一上·河北·阶段练习）已知函数fx(a0且a1).

ax1

1

(1)若f2，求f2的值；

2

1

(2)若fx在1,1上的最大值为，求a的值.

2

1

【答案】(1)；

2

1

(2)或3.

3

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断fx是奇函数，再由f2f2即可求解；

（2）讨论0a1和a1时，函数fx在1,1上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得a的

值.

【详解】（1）因为fx的定义域为R关于原点对称，

xx

ax1a1a1axax1

fxfx，

ax1ax1axax1ax1

1

所以fx为奇函数，故f2f2.

2

ax1ax122

（2）fx1，

ax1ax1ax1

2

若0a1，则yax1单调递减，y单调递增，

ax1

2

可得fx1为减函数，

ax1

21

当x1,1时，f(x)f11，

maxa112

1

解得：a，符合题意；

3

2

若a1，则yax1单调递增，y单调递减，

ax1

2

可得fx1为增函数，

ax1

21

当x1,1时，f(x)f11

maxa12

解得：a3，符合题意，

1

综上所述：a的值为或3.

3

9．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数fxa2xa2xmaxax(a0且a1).

(1)若m2，求函数fx的最小值；

(2)若fx1恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)1

(2)23,23

2

【分析】（1）换元令taxax,，可得yt22t2t11，结合二次函数即可得最小值；

xx

（2）换元令taa,，可得t2mt30恒成立，结合0运算求解.

2

【详解】（1）若m2，则fxa2xa2x2axaxaxax22axax，

令axaxt，

2

故原式化为yt22t2t11，

若a1时，可知yax,yax在R上单调递增，

可知taxax在R上单调递增，可知t,；

若0a1时，可知yax,yax在R上单调递减，

可知taxax在R上单调递减，可知t,；

综上所述：taxax,，

2

可知当t1时，yt11t,取到最小值为1.

2

（2）因为fxa2xa2xmaxaxaxax2maxax，

设taxax,，

由题意得即t2mt21恒成立，即t2mt30恒成立，

且t,，则m2120，解得23m23，

所以实数m的取值范围为23,23.

题型二对数运算及对数函数

易错点03：忽略对数式成立的条件而出错

典例（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数fxlogax（a0，a1）的图象经过点2,1，则不

等式fxf2x1的解集为.

1

【答案】,1

2

【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.

11

【详解】由题意可得f2loga21，则a2，解得a，

2

由函数fxlog1x在0,上单调递减，

2

x2x1

1

则fxf2x1，可得x0，解得x1，

2

2x10

1

故答案为：,1.

2

【易错剖析】

x0,

本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错.

2x10

【避错攻略】

1．对数的定义

一般地，如果x，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫

aN(a0a1)xaNxlogaNa

做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数与自然对数

通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e2.71828为

底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.

3．指数与对数的互化

当时，x.

a0，a1aNxlogaN

4．对数的性质

（1）loga10；（2）logaa1；（3）零和负数没有对数．

5．对数运算性质

如果a0，且a1,M0,N0，那么：

（1）＋；

loga(MN)logaMlogaN

M

（2）loglogM-logN；

aNaa

（3）n．

logaMnlogaM(nR)

【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．

易错提醒：基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数且≠真数，

logaNa>0a1,N>0

在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.

2

1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）已知logx2x7x130，求x的值；

【答案】4

【分析】根据方程可得x27x131，并结合对数的定义取舍；

22

【详解】（1）因为logx2x7x130，可得x7x131，解得x4或x3，

又因为x20且x21，可得x2且x3，

综上所述：x4；

2．（24-25高三上·北京·阶段练习）若log2x10，则实数x的取值范围是．

【答案】1x0

【分析】根据对数函数单调性及定义域得到不等式，求出x的取值范围.

【详解】log2x100x11，解得1x0，

故实数x的取值范围为1x0.

故答案为：1x0

1

3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）若p：loga1，q：a22a30，则p是q的（）

42

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解两个不等式，分别得到1a3和1a3，根据真包含关系，得到p是q的充分不必要条件.

1

【详解】loga1loga1log2，故0a12，解得1a3，

4244

a22a30，解得1a3，

因为a1a3是a1a3的真子集，

所以p是q的充分不必要条件.

故选：A

2

1．（2025·广东·模拟预测）若log2mlog4n2，则mn（）

A．3B．4C．9D．16

【答案】D

【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可.

1

【详解】因为logmlogn2，所以logmlogn2，

24222

1

1

故得，化简得2，

logmlogn2log4log2mnlog24

222

1

所以，故2，故正确

mn24mn16D.

故选：D.

2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知集合Axlog2x1，Bx0x4，则AB（）

A．xx2B．xx4

C．x0x4D．x0x2

【答案】C

【分析】根据对数函数的性质化简集合A，即可由并集的定义求解.

【详解】由log2x1，则log2xlog22，所以0x2，

所以Axlog2x1x0x2，ABx0x4

故选：C

3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知a，bR，lgalg2b1，则4ab的最小值为（）

A．22B．42C．25D．45

【答案】D

【分析】由对数及运算性质可得ab5，a0,b0，再由基本不等式即可求解.

【详解】lgalg2b1，所以lg2ab1，且a0,b0，

所以2ab10，即ab5，

4ab24ab24545，

5

a

当且仅当4ab且ab5，即2时等号成立，

b25

所以4ab的最小值为45.

故选：D.

4．（2024·广东广州·模拟预测）若x，yR，则“2x2y0”是“lnxy0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断.

【详解】因为y2x在xR上单调递增，

由2x2y0可得2x2y，即xy，所以xy0，

但无法保证xy1，故lnxy0不一定成立，充分性不满足；

由lnxy0可得xy1，所以xy一定成立，故必要性满足；

所以“2x2y0”是“lnxy0”的必要不充分条件.

故选：B

3

5．（24-25高三上·四