备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题06 平面向量与解三角形（解析版）

专题06平面向量与解三角形

目录

题型一：平面向量

易错点01对平面向量的基本概念理解不到位

易错点02忽略平面向量夹角的范围与方向性

易错点03忽略向量共线时的两种情况

易错点04错用平面向量的运算律

题型二：解三角形

易错点05解三角形时错判解的个数

易错点06忽略边角互化条件

易错点07忽略三角形中的隐含条件

题型一：平面向量

易错点01：对平面向量的基本概念理解不到位

典例（24-25高二下·全国·课后作业）在下列结论中，其中正确的是（）

A．若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行

B．若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面

C．若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面

D．已知空间的两个不共线向量a，b，对于空间的一个向量p，存在实数x，y，使得pxayb，则

向量p与向量a，b共面

【答案】D

【分析】根据向量共线共面的判断，对选项逐一判断即可.

【详解】选项A，向量a,b共线，则向量a,b所在的直线平行或重合，故A错误；

选项B，根据空间向量的意义知，空间任意两个向量a,b都共面，故B错误.

选项C，由于三个向量a,b,c两两共面，但是a,b,c不一定共面，故C错误；

选项D，已知向量a,b是空间的一个基底，若pxayb，则向量a,b,p共面，D选项正确.

故选：D.

【易错剖析】

在解题时容易混淆向量平行与直线平行的不同而出错，另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避错攻略】

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量．

(4)共线向量：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定：

零向量与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

加法求两个向量和的运算

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

求a与b的相反向量－b

减法的和的运算叫做a与b的a－b＝a＋(－b)

差

(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa

λ(μa)＝(λμ)a；

求实数λ与向量a的积的的方向与a的方向相同；当λ<0

数乘(λ＋μ)a＝λa＋μa；

运算时，λa的方向与a的方向相反；

λ(a＋b)＝λa＋λb

当λ＝0时，λa＝0

【解读】(1)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．

(2)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．

3．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

【解读】共线向量定理中规定a≠0原因：(1)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa，但此时

向量a与b共线；(2)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．

因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．

易错提醒：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它

们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向

不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行

与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可

以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．

1．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向

是任意的；②若a，b都是单位向量，则ab；③向量AB与BA相等.其中正确命题的序号为（）

A．①B．③C．①③D．①②

【答案】A

【分析】由向量的有关概念逐项判断即可.

【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，

且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确；

根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，

故两个单位向量不一定相等，故②错误；

向量AB与BA互为相反向量，故③错误.

故选：A.

2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（）

A．若a与b都是单位向量，则ab.

B．“ab”是“ab”的必要不充分条件.

ab

C．若a,b都为非零向量，则使+0成立的条件是与反向共线.

abab

D．若ab,bc，则ac.

【答案】A

【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.

【详解】对A，a,b都是单位向量，则a,b模长相等，但方向不一定相同，

所以得不到ab，A错误；

对B，“ab”推不出“ab”，但“ab”能推出“ab”，

所以“ab”是“ab”的必要不充分条件，B正确；

对C，因为a与b反向共线，

abab

且，都为单位向量，则+0，C正确；

|a||b|ab

对D，若ab,bc，则ac，D正确，

3．（23-24高一下·四川·期中）下列命题正确的是（）

A．若a与b都是单位向量，则ab

B．方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量

C．若a与b是平行向量，则ab

D．若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合

【答案】BD

【分析】利用向量相等的条件，可判断出选项A和C的正误，利用共线向量的定义可判断出选项B的正误，

根据向量的几何表示，可判断出选项D的正误，从而得出结果.

r

r

【详解】对于选项A，若a与b都是单位向量，则ab1，但a与b可以方向不同，故选项A错误，

对于选项B，因为方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量方向相反，所以选项B正确，

对于选项C，若a与b是平行向量，但当ab或a与b方向相反，不满足ab，所以选项C错误，

对于选项D，由向量的几何表示知，选项D正确，

故选：BD.

1．（2024高三·北京·专题练习）下列说法正确的是（）

A．长度相等的向量叫做相等向量

B．共线向量是在同一条直线上的向量

C．零向量的长度为零，方向是任意的

D．AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线

【答案】C

【分析】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选项，

举出反例.

【详解】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；

B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；

C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确；

D选项，当AB∥CD时，AB所在的直线与CD所在的直线可能重合，故D不正确．

故选：C．

2．（2024高三·全国·专题练习）已知非零向量a与b共线，下列说法不正确的是（）

A．ab或ab

B．a与b平行

C．a与b方向相同或相反

D．存在实数，使得ab

【答案】A

【分析】根据共线向量的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.

【详解】非零向量a与b共线，

对于A，ab，0，故A错误；

对于B，∵向量a与b共线，∴向量a与b平行，故B正确；

对于C，∵向量a与b共线，∴a与b方向相同或相反，故C正确；

对于D，∵a与b共线，∴存在实数，使得ab，故D正确．

故选：A．

3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A．若ab，则abB．若ab，则ab

C．若ab，则a//bD．若a//b,b//c，则a//c

【答案】C

【分析】根据向量的概念逐一判断.

【详解】对于A：若ab，则a,b只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；

对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；

对于C：若ab，则a,b方向相同，C正确；

对于D：若a//b,b//c，如果b为零向量，则不能推出a,c平行，D错误.

故选：C.

4．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（）

A．a与a的方向相反B．a与2a的方向相同

C．aaD．aa

【答案】B

【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.

【详解】对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反，故A不正确；对于B，

显然20，即B正确；

r

对于C，aa，由于与1的大小不确定，故a与a的大小关系不确定，故C不正确；

对于D，a是向量，而a表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．

故选：B

5．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列命题中错误的有（）

A．平行向量就是共线向量

B．相反向量就是方向相反的向量

C．a与b同向，且ab，则ab

D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

【答案】BC

【分析】根据向量的相关概念，即可得出答案.

【详解】对于A，由平行向量和共线向量的定义可知，A正确；

对于B，因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B错误；

对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C错误；

对于D，因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，

因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确．

故选：BC.

6．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）（多选）给出下列命题，其中假命题为（）

A．向量AB的长度与向量BA的长度相等

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．ababa与b方向相反

⇔

D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同

【答案】BCD

【分析】根据平面向量的定义与性质逐项判断即可.

【详解】对于A，向量AB与向量BA，长度相等，方向相反，命题成立；

对于B，当a0时，命题不成立；

对于C，当a，b之一为零向量时，命题不成立；

对于D，当ab0时，ab的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同，命题不成立；

故选：BCD.

7．（2024高三·江苏·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（）

A．若a0,b0,a//b，则a与b的方向相同或者相反

ab

B．若，b为非零向量，且，则与b共线

aaba

C．若a//b，则存在唯一的实数使得ab

D．若e1,e2是两个单位向量，且e1e21，则e1e22

【答案】CD

【分析】根据题意，结合零向量的性质，共线向量的概念，以及向量的线性运算法则，逐项判定，即可求

解.

【详解】对于A中，若a0,b0,a//b，则a与b的方向相同或相反，所以A正确；

ab

对于B中，由a,b为非零向量，表示与a方向相同的单位向量，表示与b方向相同的单位相同，因为

ab

ab

，所以与b共线，所以B正确；

aba

对于C中，当b0，且a为非零向量时，此时不存在，所以C错误；

对于D中，由e1e21，可得112e1e21,2e1e21，

2

所以，所以错误．

e1e2e1e2112e1e23D

故选：CD．

8．（多选）下列叙述中正确的是（）

rr

A．若a//b,b//c，则a//c

B．若ab，则3a2b

C．已知非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反

a

D．对任一非零向量a,是一个单位向量

a

【答案】CD

【分析】A注意b0即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义

判断.

rr

【详解】A：若b0时，a//b,b//c不一定有a//c，错误；

B：向量不能比较大小，错误；

C：非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反，正确；

a

D：非零向量a，则是一个单位向量，正确.

a

故选：CD

9．（多选）下列说法错误的是（）

A．AB//CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线

B．长度相等的向量叫相等向量

C．零向量的长度等于0

D．ABCABC0

【答案】AB

【分析】对于A，利用平行向量的定义即可判断；

对于B，利用相等向量的定义即可判断；

对于C，根据零向量的定义即可判断；

对于D，根据向量的加法即可求解.

uuuruuur

【详解】对于A，若AB//CD，则AB,CD的方向相同或相反，AB所在的直线与CD所在的直线平行或在同

一直线上，故A不正确；

对于B，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B不正确；

对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；

对于D，ABCABCABBCCAACCA0，故D正确.

故选：AB.

易错点02：忽略平面向量夹角的范围与方向性

典例（23-24高三上·山东聊城·期末）已知向量a3t1,2，b1,t，若a与b所成的角为钝角，则实数

t的取值范围：.

1

【答案】,11,

5

【分析】a与b所成的角为钝角即ab0且a与b不平行，列式求解即可.

【详解】a与b所成的角为钝角即ab0且a与b不平行，

1

3t12t0t

即5，

3t1t22

3tt20

1

所以t,11,.

5

1

故答案为：,11,.

5

【易错剖析】

本题容易误认为ab0是a与b夹角为钝角的充要条件而出错，因为当ab0时a与b夹角可能为.

【避错攻略】

1.向量的模

（）向量的大小叫向量的模向量的模为a22

1.ax1,y1x1y1.

22

（）若Ax,y,Bx,y，则向量的模

21122ABABx1x2y1y2.

2.向量的夹角

→→

（1）已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)

叫做向量a与b的夹角．

（2）当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．

（）设是两个非零向量，它们的夹角为，则abx1x2y1y2

3ax1,y1,bx2,y2cos

2222

abx1y1x2y2

π

3．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.

2

易错提醒：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角（2）向量的夹角是指向量方向的夹

角；（3）向量的夹角范围是0,，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.

1．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）已知向量a(m1,m)，b(2,1)，若a与b所成的角为锐角，则

实数m的取值范围为.

11

【答案】2,,

33

【分析】根据数量积为正可求参数的取值范围，注意a与b不共线同向.

【详解】因为a与b所成的角为锐角，故ab0且a,b不共线同向.

故2m1m0即m2.

1

若a,b共线，则(m1)2m即m，

3

11

故实数m的取值范围为2,,.

33

11

故答案为：2,,.

33

2．（24-25高三上·北京顺义·期中）设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是

“|ABAC||ABAC|”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】将向量的模用向量的数量积来表示，化简后结合向量夹角的范围，即可判断.

【详解】|ABAC||ABAC|

|ABAC|2|ABAC|2

22

ABACABAC

ABAC0

cosAB,AC0

由题意知A，B，C不共线，所以AB,AC0,π，

所以cosAB,AC0AB与AC的夹角为锐角，

故“AB与AC的夹角为锐角”是“|ABAC||ABAC|”的充分必要条件；

故选：C.

3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，AB3AE，

则ADCE（）

44

A．2B．C．2D．

33

【答案】C

【分析】应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律，将ADCE作转化，再应用数量积的定义求结果.

【详解】由题设ADCE(ACCD)(CAAE)(ACCD)(AEAC)

2

ACAECDAEACCDAC

1121

ACABCBABACCBAC

362

111111

22222222()

326222

21

41

33

2.

故选：C

1．（23-24高三上·北京·开学考试）已知不共线的两个非零向量a，b，则“a+b与ab所成角为钝角”是

“|a||b|”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合向量数量积运算法则计算即可.

22

【详解】因为“a+b与ab所成角为钝角,所以(ab)(ab)0abab，

所以“a+b与ab所成角为钝角”是“|a||b|”的充要条件.

故选：C.

2．（24-25高三上·河南安阳·期中）设非零向量a,b的夹角为，若a1,b2，则“为钝角”是“ab5”

的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据数量积和模长关系分析可知ab5等价于cos0，进而结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为a1,b2，

22

则abab2ab54cos5，解得cos0，

即ab5等价于cos0，

若为钝角，则cos0，即充分性成立；

若cos0，则为钝角或平角，即必要性不成立；

综上所述：“为钝角”是“ab5”的充分不必要条件.

故选：C.

π

3．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量a,b,c满足abc0,a2,b3，且a与b的夹角为，则

6

cosb,c（）

213213239239

A．B．C．D．

13131313

【答案】D

r

【分析】根据条件计算出bc以及c，结合夹角余弦公式求解出结果.

3

【详解】因为cab,ab233，

2

2

所以bcb(ab)abb336，

2222

因为，

caba2abb46313

bc6239

所以c13,cosb,c，

bc31313

故选：D．

4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知VABC为单位圆O的内接正三角形，则OBBC（）

33

A．B．C．1D．1

22

【答案】A

【分析】先根据内接正VABC各边以及OA,OB,OC与单位圆O半径的关系，求出各边长度，再根据OB,BC

的模长与夹角代入平面向量数量积公式求解答案.

【详解】如图所示:

因为单位圆O半径为1，VABC为单位圆O的内接正三角形，

可得OAOBOC1，又O也是正VABC的中心，延长OA交BC于D，

113

可得ODOA，ADOAOD，ADBC，

222

设VABC的边长为a，则由勾股定理得|AB|2|AD|2|BD|2，

13

即a2(a)2()2，解得a3.

22

所以|OB|1，|BC|3.又因为OB,BC的夹角为OBC的补角，

π5π

OBC，所以OB,BC的夹角为，

66

5π3

所以OBBC|OB||BC|cos.

62

故选：A.

5．（2024·云南贵州·二模）设向量a1,2,bm,1，且abab，则m，a和b所成角为

【答案】290

【分析】将abab化简变形，并将坐标代入求出m，根据ab0判断两个向量夹角为直角．

22

【详解】因为abab，所以abab，

化简整理得ab0，所以1m210，所以m2．

因为ab0，所以a和b所成角为90．

故答案为：2；90.

6．（2024·四川绵阳·模拟预测）平面向量a与b相互垂直，已知a(6,8)，|b|5，且b与向量(1,0)的夹角

是钝角，则b.

【答案】(4,3)

【分析】设b(x,y)，根据向量垂直和向量模的坐标表示得到方程组，再结合b与向量(1,0)的夹角为钝角

得到x0，最后解出方程组即可.

22

【详解】设b(x,y),ab，ab0，6x8y0，①，|b|xy5，②，

因为b与向量(1,0)夹角为钝角，x0，③，

x4

由①②③解得，b(4,3).

y3

故答案为：(4,3).

7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知a6，e为单位向量，且a在e上的投影向量为32e，则a与e的

夹角为.

3π

【答案】

4

【分析】利用投影向量的意义，结合向量的夹角公式计算即得.

rrr

【详解】依题意，a在e上的投影向量为(ae)e，则ae32，

ae322

cosa,e，而0a,eπ，

|a||e|612

3π

所以a,e.

4

3π

故答案为：

4

8．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知a1,2，bx,4，若a与b的夹角是钝角，则实数x的取

值范围是．

【答案】,22,8

【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围.

【详解】因为a与b夹角为钝角，

可以得出a·b1x24x80，解得：x8，

且a,b不平行，则142x,x2，

即x8且x2，即x,22,8.

故答案为：,22,8

易错点03：忽略向量共线时的两种情况

典例（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量a与向量b(1,2)共线，则向量a的坐标

是．

525525

【答案】(,)或(－,－).

5555

【解析】根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，单位向量a与向量b(1,2)共线，

b1525525

则向量ab，即向量a的坐标是(,)或(－,－).

b55555

【易错剖析】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，并规定零向量与任意向量共

线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.

【避错攻略】

1.向量数乘的定义

规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度与方向规定如

下：①|a|＝|||a|；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相

反.当0或a0时，a0.

2.向量共线（平行）定理

向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.

3.平面向量共线的坐标表示

，，，，，

（1）设a(x1y1)b(x2y2)，其中b0ab共线的充要条件是存在实数，使ab.

，

（2）如果用坐标表示，向量ab(b0)共线的充要条件是x1y2x2y10.

易错提醒：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题

的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反

的情况.

1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量a,b不共线，且cab,da(21)b，若c与d反共线，则

实数λ的值为（）

111

A．1B．C．1或D．1或

222

【答案】B

k

【分析】根据题意设ckd(k0)，然后将c，d代入化简，可得，从而可求出实数λ的值.

2kk1

【详解】解：由于c与d反向共线，则存在实数k使ckd(k0)，

于是abk[a(21)b]，

整理得abka(2kk)b．

k

由于a,b不共线，所以有，整理得2k2k10，

2kk1

1

解得k1或k．

2

1

又因为k0，故．

2

故选：B．

2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线l1的方向向量为a1k,1，直线l2的方向向量为a22k,k，

若l1∥l2，则k（）

A．2B．1C．2或1D．0或2

【答案】C

【分析】根据直线平行可得a1∥a2，结合向量平行的坐标表示运算求解即可.

【详解】因为a1k,1，a22k,k，

若l1∥l2，可知a1∥a2，

则k22k，解得k2或k1.

故选：C.

3．（24-25高一下·四川泸州·期中）（多选）与a(3,4)共线的单位向量有（）

3434

A．b,B．b(,)

5555

r34r34

C．b(,)D．b(,)

5555

【答案】BC

1

【分析】设ba，结合模长公式可得，即可得结果.

5

rrr

221

【详解】设ba3,4,R，且b341，解得，

5

r1r34r1r34

所以ba,或ba,.

555555

故选：BC.

1．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知向量a，b不共线，且cab，da21b，若c与d同

向共线，则实数的值为（）

1

A．1B．

2

11

C．1或D．1或

22

【答案】B

【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍.

1

【详解】因为c与d共线，所以2110，解得1或.

2

若1，则cab，dab，所以dc，所以c与d方向相反，故舍去；

111

若，则cab，da2b，所以d2c，所以c与d方向相同，故为所求.

222

故选：B

2．（2024·全国·模拟预测）已知向量a(3,1)，单位向量c与向量b(2,1)同向共线，则向量c在向量a方向

上的投影向量为（）

355355232322

A．,B．,C．,D．,

101010102222

【答案】B

【分析】根据题意，由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.

b255

【详解】由已知得c,，

b55

aaca

ccosc,a