2026届江苏省宿迁市沭阳县数学高二第一学期期末调研模拟试题含解析

2026届江苏省宿迁市沭阳县数学高二第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）A.24种 B.48种C.72种 D.96种2．已知是虚数单位，若复数满足，则（）A. B.2C. D.43．若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（）A.2 B.C. D.36．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依点的位置而定7．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度A. B.C. D.8．设函数是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集为（）A. B.C. D.9．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线10．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．圆（）上点到直线的最小距离为1，则A.4 B.3C.2 D.112．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.A. B.C.20 D.400二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，，则曲线在处的切线方程为___________.14．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则5a+b＝__15．已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，为双曲线上一点，且，线段的垂直平分线恰好经过点，则双曲线的离心率为_______16．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求的单调递减区间；（2）若关于的方程恰有两个不等实根，求实数的取值范围18．（12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.19．（12分）已知正项数列的首项为，且满足，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前n项和20．（12分）如图①，在梯形PABC中，，与均为等腰直角三角形，，，D，E分别为PA，PC的中点.将沿DE折起，使点P到点的位置（如图②），G为线段的中点.在图②中解决以下两个问题.（1）求证：平面平面；（2）若二面角为120°时，求CG与平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函数，.（1）令，求函数的零点；（2）令，求函数的最小值.22．（10分）如图，四边形为矩形，，，为的中点，与交于点，平面.（1）若，求与所成角的余弦值；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解.【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.故选：B.2、C【解析】先求出，然后根据复数的模求解即可【详解】，，则，故选：C3、B【解析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】构造函数，则，故在上单调递减；又，故可得，则，即，解得，故不等式解集为.故选：B.【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题.4、A【解析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：A.5、C【解析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.【详解】因为数列满足，，（且）所以，，，，因为恒成立，所以，则M的最小值是，故选：C6、B【解析】构造三角形,先证∥平面,同理得∥平面,再证平面∥平面即可.【详解】连接，，.因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以∥.因为平面内，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因为，平面，平面，所以平面∥平面.又因为P点在线段上，所以∥平面.故选：B.7、B【解析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角【详解】解析：由题意，设切线为，∴.∴或.∴时转动最小∴最小正角为.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题8、B【解析】根据当时，可知在上单调递减，结合可确定在上的解集；根据奇偶性可确定在上的解集；由此可确定结果.【详解】，当时，，在上单调递减，，，在上的解集为，即在上的解集为；又为上的奇函数，，为上的偶函数，在上的解集为，即在上的解集为；当时，，不合题意；综上所述：的解集为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.9、C【解析】设是界限上的一点，则，即，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：设是界限上的一点，则，所以，即，在中，，所以点的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线.故选：C.10、A【解析】以C为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，则，，所以.又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.11、A【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题12、B【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.【详解】由题设，，则，所以在时的瞬时降雨强度为mm/min.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据导数的几何意义求得在点处的切线方程.【详解】由，求导，知，又，则函数在点处的切线方程为.故答案为：14、36【解析】根据方向向量和平面法向量的定义即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，进而求出5a+b的值【详解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案为：3615、【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齐次式，化简即可求出离心率【详解】设双曲线：，，不妨设为双曲线右支上一点因为线段的垂直平分线恰好经过点，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化简得，，即，而，解得故答案为：16、【解析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.【详解】由题设，，又在R上的单调递增函数，∴恒成立，令，则，∴当时，则递减；当时，则递增.∴，故.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）求出导数，令，得出变化情况表，即可得出单调区间；（2）分离参数得，构造函数，利用导数讨论单调性，根据与恰有两个不同交点即可得出.【详解】（1）当时，函数，则令，得，，当x变化时，的变化情况如下表:1+00+↗极大值↘极小值↗∴在上单调递减（2）依题意，即．则令，则当时，，故单调递增，且；当时，，故单调递减，且∴函数在处取得最大值故要使与恰有两个不同的交点，只需∴实数a的取值范围是【点睛】关键点睛：本题考查根据方程根的个数求参数，解题的关键是参数分离，构造函数利用导数讨论单调性，根据函数交点个数判断.18、(1)(2)=2【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面积==,故=4，而故=8，解得=219、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由递推关系式化简及等比数列的的定义证明即可；（2）根据裂项相消法求解即可得解.【小问1详解】证明：由得，而且，则，即数列为首项，公比为的等比数列【小问2详解】由上可知，所以，20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过两个线面平行即可证明面面平行（2）以为坐标原点建立直角坐标系，通过空间向量的方法计算线面角的正弦值【小问1详解】如上图所示，在中，因为D，E分别为PA，PC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，连接，交于点，连接，因为与均为等腰直角三角形，，所以，，所以，且，则四边形是平行四边形，所以是中点，且G为线段的中点，所以中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面【小问2详解】因为，平面，，所以平面，所以可以以为坐标原点，建立如上图所示的直角坐标系，此时，，，，因为G为线段的中点，所以，所以，，，设平面的法向量为，则有，即，得其中一个法向量，，所以CG与平面所成角的正弦值为21、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）函数零点的个数，就是方程的解的个数，显然是方程的一个解，再对a分类讨论，即得函数的零点；（2）令，可得，得，再对二次函数的对称轴分三种情况讨论得解.【详解】（1）由，可知函数零点的个数，就是方程的解的个数，显然是方程的一个解；当时,方程可化为，得，由函数单调递增，且值域为，有下列几种情况如下:①当时，方程没有根，可得函数只有一个零点；②当时，方程的根为，可得函数只有一个零点；③当且时，方程的根为，由，可得函数有两个零点和；由上知，当或时，函数的零点为；当且时，数的零点为和.（2）令，可得，由，，可得，二次函数的对称轴为，①当时，即，此时函数的最小值为；②当时，即，此时函数的最小值为；③当，即，此时函数最小值为.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查指数对数函数的图象，考查函数的最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22、（1）（2）【解析】（