机械振动学-第五章-两自由度系统振动

第五章两自由度系统振动

§5-1概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的根底。在实际工程问题中，还经

常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多

自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系

统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多

自由度系统振动特性的根底。

所谓两€由度系院是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任

何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度

的振动系统。①沌军动力学模型：

图3.1两自由度汽车动力学模型

§5-2两自由度系统的自由振动

一、系统的运动微分方程

②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为氏和质量

为叫、侬。质量的位移分别用药和用来表示，并以静平衡位置为坐标原点，

以向下为正方向。

（分析）在振动过程中的任一瞬间t,n和例的位移分别为王及右,此时，

在质量m上作用有弹性恢复力k内及&卜-芭），在质量叱上作用有弹性恢复力

以々-2）。这些力的作用方向如下图。

应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式:

m{xx+左内-k2(x2-Xj)=0

2(々一(3.1)

m2x2+kX)=0

人+晨,hh

人a=-——二,〃=y,c==

ym,m.m

1149

那么(3.1)式可改写成如下形式：

、

X+QX]-bx2=0

>

（3.2）

x2-CXx+cx2=OJ

这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。

（分析）在第一个方程中包含-b%2项，第二个方程中那么包含一CX1项，

称为“耦合项”（couplingterm）。这说明，质量处除受到弹簧人的恢复力的

作用外，还受到弹簧k2的恢复力的作用。uh虽然只受一个弹簧k2恢复力的

作用，但这一恢复力也受到第一质点叫位移的影响。我们把这种位移之间有

耦合的情况称为弹性杷金.假设加速度之间有耦合的情况，那么称之为惯性

柘合。

二、固有频率和主振型

［创造思维：］从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是

简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。

因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解.，然后用待定系数法来寻找有简

谐振动解的条件。

设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程

组（3.2）式的特解为:

X]=4sin（Gj+0）

x2=A2sin（^/+^）j（3.3）

其中振幅A与A2、频率切〃、初相位角。都有待于确定。对（3.3）式分

别取一阶及二阶导数：

Xj=Ag〃cos（。/+9）x}=一4力；sin（幼J+夕）］

x2=A2concos（69z/+^）;x2=-A2a）^tsin（69/7r+（p}\（14）

将（3.3）、（3.4）式代入（3.2）式，并加以整理后得：

（a_69；）A_bA?—0

-cA1+（c-0；以=0⑶5）

上式是A1、A2的线性齐次代数方程组。Ai、A2=0显然不是我们所要的振动

解，要使A1、A2有非零解，那么（3.5）式的系数行列式必须等于零，即：

将上式展开得：

①：_（Q+c）@；+c（ci-h）=O（3.6）

解上列方程，可得如下的两个根：

由此可见，（3.6）式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程

(frequencyequation)或特征方程(characteristicequation)o特征方

程的特征值(characteristicvalue)即频率①〃只与参数a,b,c有关。

而这些参数又只决定于系统的质量oh和刚度k”k2,即频率。〃只决定于

系统本身的物理性质，故称为系统的固有频率。两自由度系统的固有频

率有两个，即0I和q2，且2,把qI称为第一阶固有频率

(firstordernaturalcircularfrequency)［基频］。02称为第二阶固

有频率(secondordernaturalcircularfrequency)。［(推广)理论证明，

n个自由度系统的频率方程是口；的n次代数方程，在无阻尼的情况下，它的

n个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统的自由度数目相等。］

将所求得的0〃1和02代入(3.5)式中得:

*丁-丁一=

婷a-a)；2cI(3.8〕

式中：AI")，W"---对应于的质点向，叱的振幅;

A(2),AJ)——对应于

①的质点n,叱的振幅o

由此可见，对应于①山和口〃2,振幅A1与A2之间有两个确定的比值。称

之为振幅比(amplituderatio)o

将(3.8)式与(3.3)式联系起来可以看出，两个叫与m2任一瞬间位移

的比值%/王。系统的其它点的位移都可以由X及用来决定。这样，在振动过

程中，系统各点位移的相比照值都可以由振幅比确定，也就是振幅比决定了整

个系统的振动形态。因此，我们将振幅比称为系统的主振型(principalmode),

也可称为固有振型(naturalmode)©其中：

P\——第一主振型，即对应于第一主频率的振幅比；

02一一第二主振型，即对应于第二主频率口〃2的振幅比。

当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系统的主

振动(principalvibration)o所以,第一主振动为:

x?=Af)sin(g/+0j1

斓=A,sin(q/+夕J=.4⑴sin(%/+?)■.9)

第二主振动为：

¥=4⑵Sin®/+%)1

x?=A/)sin(q2/+%)=22Al⑵sinM/+%)j⑶10)

为了进一步研究主振型的性质，可以将(3.7)式改写成如下形式：

9a+c\(a—c>\.

因为勿"2=三―干'(三―J+bc

因为上式的等式右边恒大于零，所以〃一由(3.8)式知，

因为上式的等式右边恒小于零，所以4—口；2<°,由(3.8)式知，

打<0。

(说明)由此可见，川〉°表示4⑴和A?)的符号相同，即第一主振动中两

个质点的相位相同。因此，假设系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就

同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时到达最大偏离位置。而

尸2<°，那么表示第二主振动中两个质点的相位相反，永远相差180°o当

质量叫到达最低位置时，质量uh恰好到达最高位置。它们一会相互别离，一

会又相向运动，这样，在整个第二主振动的任一瞬间的位置都不改变。这样的

点称为"节点"(nodalpoint)o

“节点”

图3.3两自由度系统的主振动与主振型

振动理论证明，多自由度系统的i阶主振型一般有i—l个节点。这就是

说，高一阶的主振型就比前一阶主振型多一个节点。阶次越高的主振动，节点

数就越多，故其相应的振幅就越难增大。相反，低阶的主振动由于节点数少，

故振动就容易激起。所以，在多自由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。

三、系统对初始条件的响应

［思维方式：］前面分析了两自由度系统的主振动，而这些主振动又都是

简谐振动。但两自由度系统在受到干扰后出现的自由振动究竟是什么形式呢？

这要取决于初始条件。

从微分方程的理论来说，两阶主振动只是微分方程组的两组特解,而它的

通解那么应由这两组特解相叠加组成。从振动的实践来看，两自由度系统受

到任意的初干扰时，一般来说，系统的各阶主振动都要激发。因而出现的自

由振动应是这些简谐振动的合成。

所以，在一般的初干扰下，系统的响应是：

X］=A⑴sin（例/+%）+A，）sin（G〃J+92）|

%=卅¥%m（“+@）+/?24『％山（却+。2）］⑶"）

式中，4⑴,A『），6,3四个未知数要由振动的四个初始条件来决定。

设初始条件为：80时，X=Mo,%=々0,X=Xo,£2=&0经过运算,

可以求出:

(R•_.\2

4(D=_L_夕2$0—120

(/72X|0—X2o)

'A-A<q1>

4(2.)=]笈±10一文20

（4丁-尤2。）+

、叫2>

①,八胴2文10一文20）(3.12)

9=吆”

。2比10一比02

以2（AXC-*20）

02=织”

口iXo一比20

将（3.12）式代入（3.11）就得到系统在上述初始下响应。

四、振动特性的讨论

1.运动规律

从（3.11）式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动

合成的。但从（3.7）式来看，这两个分振动的频率①加与口〃2的比值却不一

定是有理数，因此合成不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种

非周期的复杂运动。

在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于低阶振型

易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条

件下，系统才按一种主振型进行振动。

2.频率和振型

两自由度系统有两个不同数值的固有频率，称为主方率，当系统按任一

个固有频率作自由振动时，即称为主振动。系统作主振动时，任何瞬间的各

点位移之间具有一相比照值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主板型。

3.节点和节面

在两自由度系统的第二阶主振型中存在着节点，而在第一阶主振型中却不

存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶数越高，那么节点

数也就越多。一般来说，第i阶主振型有i-1个节点。

对于弹性体来说，节点已经不再是一个点，而是联成线或面，称为节线

(nodalline)和节面(nodalsurface)o

4.阻尼

假设系统存在阻尼，那么阻尼对多自由度系统的影响和单自由度系统相

似。由于在工程结构中一般阻尼较小，故可略去不计。

［例］试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。

㈣=

m,m2=2m,k}=k2=k.k3=2ko

又假设初始条件为Mo=1・2,X2O=Xo='o=°，试求系统的响应。

解：该系统的运动微分方程式为

k2"_+%

令a=------,b--.

m}m2m2

那么

可解出：［类比前面形式］

2k7kk13k

因为a=—，b=—,c=丁，&=丁

mm2m2m

根据给定的初始条件，代入(3.12)式得:

故余统的响应为：

§5-3两自由度系统的受迫振动

一、系统的运动微分方程

和单自由度系统一样，两自由度系统在受到持续的激振力作用时就会产

生受迫振动，而且在一定条件下也会产生共振。

图3.8所示为两自由度无阻尼受迫振动系统的动力学模型。我们称简谐激

振力作用的质量弹簧系统称为主系统。

把不受激振力作用的叱42质量弹簧系统称为副系统。

这一振动系统的运动微分方程式为：

+左］玉_王）=

m,%1-k1\x2Posin69zl

J（3.13）

m2x2+Z:2（x2-%））=0

k,+,hhPn

令a=-——,c=一，P=—

'mxm,m.mx

那么（3.13）式可改写成：

x}+axx-bx2=pQsincot\

J（3.14）

x2-CX{+cx2=0

这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程组，其通解由两局部组成。一

是对应于齐次方程组的解，即为上一节讨论过的自由振动。二是对应于上述非

齐次方程组的一个特解，它是由激振力引起的受迫振动，即系统的稳态振动。

我们只研究稳态振动，故设上列微分方程组有简谐振动的特解；

二］

x}sincot

（3.15）

x2=B2sincot］

式中，Bi、Bz是n、mz的振幅，在方程组中是待定常数。对（3.15）式分

别求一阶、二阶导数,

2

x}=B169COS69/;工1=-B}cosincot

(3.16)

x2=x2=-B2a)rsincot

将(3.15)及(3.16)式代入(3.14)式得:

1

{a—co—bB2=p[

2

-cBx+(c-co=oj⑶⑺

这是一个二元非齐次联立代数方程，它的解可用行列式原理求出：

故-A1_—港二〃)_

政4B—7i2,”)—加

_A2_pc(3.⑻

2Aia-co1)(c-ar]-bc

这就是说，我们期待的方程组(3.14)式的简谐振动特解是可以得到的。

二、振动特性的讨论

1.运动规律

由(3.15)式得知，两自由度系统无阻尼受迫振动的运动规律是简谐振动。

2.频率

两自由度系统受迫振动的频率与激振力的频率①相同。

3.振幅

由(3.18)式得知，两自由度系统受迫振动的振幅决定于激振力力幅、激

振力频率，以及系统本身的物理性质。现分别讨论如下：

(1)激振力幅值讪的影响

因为pxpo,所以Po与氏、B2成线性关系。即Po越大，振幅B、B2也越大。

(2)激振力频率0的影响

为了说明G对振幅的影响，我们以L、B?为纵坐标，以①为横坐标，将

(3.18)式作成曲线示图3.9中，称之为振幅频率响应曲线，或称幅频特性曲

线。它说明了系统位移对频率的响应特性。

讨论：

①当G=o时，B\=B2=,这说明，此时激振力的作用和静力的作用相

当。

②当口=01,或◎=①〃2,即激振力频率等于系统第一或第二阶固有频率

时，系统即出现共振现象，振幅氏、B2均急剧增加。这就是说，在两自由度系

统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共

振。也就是说，两自由度系统有两个共振区。

现在我们来分析一下系统共振时的振型。

由(3.18)式可得质量®和uh的振幅比为：

层_C

用n-c-co~2(3.19)

这说明，在一定的激振频率下，两个质量的振幅比是一个确定值。当激

振频率G等于第一阶固有频率①山时，两个质量的振幅比的即为:

㈤.C

c(3.20)

V兀-C-%

当。=。〃2时，那么

这说明，系统以那一阶固有频率共振，那么此时的共振振型就是那一阶

主振型。这是多自由度余统臭迨狼动的一个极为重要的忖性。在实践中，经有

用共振法测定系统的固有癞率，并根据测出的振型来判定固有频率的阶次，就

是利用了上述这一规律。

当69=八时,々-^2~~-sincot

k?

故左242二一PoSin初

这就是说，副系统通过弹簧k2传给主系统的力，正好与作用在主系统上

的激振力相平衡。这样，主系统的受迫振动就被副系统吸收掉了。主系统的

质量叫就如同不受激振力作用一样，保持静止。这种现象可以敬利用来作为

减小板动的一种描彻。

当0f8时与、之一0,即激振力的频率很高时，两个质量晒和IU2都

几乎不动。这时受迫振动现象也进入惯性区了。

4.相位

由于系统是无阻尼的情况，所以只要观察振幅的正负变化就可以说明相位

的变化。

现将振幅计算公式(3.18)式的分母作如下的变换：

(a-692)(c-ar)-be=o/-(tz++c[ci-b)(3.23)

?2

由系统的频率方程(3.6)式，可以得知频率方程的两个根他卜①“2必

定满足以下关系式：

921I

垢•比2=c("b)j⑶24)

将(3.24)式代入(3.23)式得：

224

(ci-CO^C-CO)-bc=CO-+%卜2+妨.%

(3,25)

=份-"1储-说)

因而（3.18〕式而改写成:

1

"一获［#一比2）

从（3.26）式中可以看出：

在°＜①工例/阶段，B1、B2均为正值。故质量®、m2的位移和激振力是

同相的，即两个质量的位移也同相。

当0=时，运动的相位对于激振力要出现相位突跳的反相。

当0=八时，B尸0,此后，Bi又重新成为正值，但B?却仍保持负值。这

就是说，在正＜口＜4；2阶段，Bi与激振力同相，B2与激振力反相。即两个质

量之间的相位相反。

当口＞。川以后，B1又改变为负值，而B2却保持正值。

根据以上分析，可作出如图3.10所示的相频特性曲线

三、动力减振器

根据两自由度系统受迫振动的振动特性的分析得知，只要适当地选择系统

的参数，就可以使主系统的受迫振动被副系统所吸收，从而使主系统不动，

动力减振春就是应用这一原理来设计的。

动力减振器是用弹性元件把一个辅助质量固定到振动系统上的一种减振

装置，其动力学模型如图3.11所示。图中向、L为原振动系统（主系统）的

质量（主质量）和弹簧刚度。012、k2为动力减振器（附加系统）的质量（辅助

质量）和弹簧刚度，C为动力减振器的阻尼。P°e为作用在主系统上的激

振力。

从图3.11可以看出，在主系统上增加了附加系统后，即使原来的单自由

度系统变为两自由度系统。其运动微分方程式为:

mxXx+C(X2_*)+((+%2居—左212=Po/

(3.27)

m2x2+c(x2-Xy)+k2x2-k2x1=0

设上列方程组的特解为：（稳态振动）

西icot

=Bxe1

i（ot

x2=B2e\⑶28）

将（3.28）式及其一阶、二阶导数代入（3.27）式得：

（一班〃+勺+&+-化+

icco）B]icco）B2=p（）

一七+①）（-2(3.29)

icB]+m2a）+&+icco）B2=0

解上列联立方程，求出主系统的振幅Bi,并化成实数形式:

PoJ(%2一牡82)+(C①丫

币(3.30)

一加一攵mC―叫疗

曲一叫①21k224)2201+(0)2(4-m2co

为了简化计算，引进以下符号:

源=£——主系统在激振力力幅P。作用下产生的静变位;

/——主系统的固有频率;

//4|

%附加系统的固有频率;

4一7一一激振力频率与主系统固有频率之比;

a=—减振器固有频率与主系统固有频率之比;

"商一辅助质量与主质量之比;

g=2,晨-一一减振器的阻尼比。

那么（3.29）式可改写成以下无量纲形式：

㈤2=________________丁）+4长才_______________

=［（1一下屹2_下）_必2仪2］2+隹2下（］_下一以2）2（3.31）

现根据减振器分类进行讨论：（普遍式）

1.无阻尼动力减振器

假设减振器没有阻尼元件，那么4=°,故（3.31）式简化为：

可__________

方,=（1—刃2/一下）一⑷2a2⑶32）

山此可见，当口=九即。：2=。时，B,-0o即当减振器的固有频率〃”2

等于激振频率3时，辅助吸通过弹性元件k2作用于主质量mi上的力，正好

和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系统振幅为零，从而到达

消振的目的。

当激振频率CO等于主系统固有频率①山，即入=1时，主系统产生共振。

为了靖除余统其狼，度使减振卷固有频率刃：2等于主余统固有频率0用，即

令。=1。假设再取质量比〃=0・2,那么（3.32）式中的四个变量就固定

了两个。对即可作出主系统的幅频响应曲线，如图3.12所示。

从图中可以看到，主系统共振点的振幅已经消失。但又出现了两个新的

共振点4'及4。这两点的坐标值可以从（3.32）式的分项等于零时求出:

因为2=］故上式成为（1_几2）2_川，2&2=0

所以4；=1+5不

3七(3.33)

对于2=1,质量比为〃的系统，两个固有频率（主频率）为:

(3.34)

显然,当激振频率①正好等于6ym或①〃2时，都会使余院产生新的关

报。

根据（3.33）式可作出4'与〃的关系曲线，如图3.13所示

它们表示了系统的两个主频率冲山或°〃2的相隔范围。我们希望这两个

主频率相距较远。但对于稳定的定速运转机械，〃值那么还可以取得小些。

由以上分析可见，使用无阻尼动力减振器时要特别慎重，应用不当会带

来新的祸患。所以，这种减振器主要用于激振频率变化不大的情况。

｛教学演示片：｝

2.有阻尼动力减振器

当减振器有阻尼元件时，那么根据（3.31）式，以4为参变量，仍令

I1

々=L4=与，所作出的主系统的幅频响应曲线如图3.15所示。

/竺］__________（标㈤+4$"____________

222

Ib"［（l-/l）（a-2）-+4g2-2（］一万-"2）2

从图上可以看出：

1）无论阻尼的J为何值，幅频响应曲线均经过P、Q两点，也就是说，当

频率比住于P点和Q点相应的频率比4和4值时，主余统的受迫振动的援幡

与阻尼比4的大小无关，这一物理现象是设计有阻尼动力减振器的重要依据。

2）假设令4=°时的裳值与4=8时的冬值相等，就可求得P点和Q点

Sst2

的横坐标值4和4。

当4=8时从（3.31）式得：

B.±1

£=]_分_〃（3.35）

令（3.32）式与（3.35）式相等得

上式等号左边假设取正号，那么解出入二0,这对减振没有意义。故取负号,

那么上式可展开得：

(3.36)

解上列代数方程得:

(3.37)

将求得的4和4值代入（3.32）式（3.35）式，即可得P、Q两点的纵坐

标值：

4]1

区]―t(3.38〕

\Sst)21一港一44

这里需要说明一点，即Q点的纵坐标值之所以为负值，是因为P、Q两点

在共振点（4=1）的两侧，两者的相位是相反的，所以这两点的振幅的符号

也相反，因此，在图3.15中，在兄=1右边的曲线，实际上应该画在横坐标

轴的下方，（现在为了直观起见）。

3）既然无论4值是多少，所有的幅频响应曲线都要经过P、Q两点。因此，U

0st

的最高点都不会低于p、Q两点的纵坐标。［思想方法］为了使减报暴获得较好

的臧报效果，就应该设法降低P、Q两点，并使P、Q两点的纵生标粕等，而

且成为曲线上的量需点。这样，减振后主系统振幅R与静变位方”的比值就会

减小，并限制在P、Q两点所对应的振幅以下（见图3.16）。

B,

研究工作证明，为了使P、Q两点等高，就要适中选择a值；为了使孩

0st

的最大值在P、Q两点上，就要适中选择J值。所以选择的a和4值，分别

ry

称为最正确频率比（optimumfrequencyratio）op和最正确阻尼比

（optimumdampingratio）&op。下面就来分别介绍它们确实定方法。

（1）最正确频率比二。〃确实定。（第一步）

为了使P、Q两点等高，即使P、Q两点的纵坐标相等，应使（3.38）式所

(3.39)

根据代数方程理论，由（3.36）式得知

2(1+a-+/Lia~)

(3.40)

2+〃

联立（3.39