江苏省无锡市湖滨中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江苏省无锡市湖滨中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是（）A.x+1=0 B.x2-1=0 C.x（x+1）=x2+1 D.2.若⊙O的直径为8cm,点A到圆心O的距离为4cm,那么点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外 B.点A在圆上 C.点A在圆内 D.不能确定3.肚脐眼是人上下身的分界点，已知某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，若该人的身高约为1.8米，则他的上身长度约为（）（精确到0.1米）A.0.9米 B.1.0米 C.1.1米 D.1.2米4.关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根5.我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示.已知AC与BD交于点O，AB∥CD.若点O到AB的距离为10cm,点O到CD的距离为15cm,蜡烛火焰AB的高度是2cm,则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（）

A.3cm B. C. D.4cm6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（-4，4），C（-6，2）都在⊙M上，则⊙M的半径为（）A.

B.2

C.

D.

7.要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（）A. B. C.x（x+1）=30 D.x（x-1）=308.下列有关圆的一些结论：

①任意三点可以确定一个圆；

②相等的圆心角所对的弧相等；

③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

④圆内接四边形对角互补；

⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．

正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.对于代数式M、N，定义新运算M⊗N=M2-MN-N2，则下列说法正确的个数为（）

①若（2x）⊗1=1，则或1

②若方程x2+5x+3=0的解为a、b,则a⊗b的值为

③若关于x的方程|2⊗（x-1）|=x+b有两个不相等的实数解，则

A.0 B.1 C.2 D.310.如图，AB为⊙O的直径，AB=2，C为的中点，连接OC，点D在射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过E作EF⊥BD交OC于F，连接CE.下列结论：①DF⊥BF；②EC=EF；③∠OFB=∠ADB；④为定值2.其中正确结论的个数为（）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.方程x2=3x的解为：

.12.若一元二次方程kx2=1没有实数根，则k的值可以是

.（写出一个即可）13.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为______．

14.已知△ABC，AC=5，BC=12，AB=13，则它的内切圆的半径为

.15.如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过

秒钟，△PBQ与△ABC相似.16.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD=4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了

cm（结果保留根号）．

17.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB=α，则称点C是弦AB的“α可及点”.点A（0，1），B（1，0）.

①在点C1（2，1），，C3（3，1）中，点

是弦AB的“α可及点”；

②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为

.

18.矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点M是AD中点，点N从点B出发，沿BC边运动至点C停止，四边形MNB'A'与四边形MNBA关于直线MN对称，设BN=x,四边形MNB'A'与矩形ABCD重叠部分的面积记为S.

①当点M、A′、C三点共线时，则x=

；

②求S关于x的函数表达式

.

三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

解下列方程：

（1）（2x-1）2-3=0；

（2）x2-4x+1=0.20.(本小题8分)

关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k的值．21.(本小题10分)

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若

∠1=∠2.

（1）求证：△ABD∽△EDC.

（2）若∠A=130°，BE=BC，求∠DBC的度数.22.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，-2），B（2，-1），C（4，-3）．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；

（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是______．

​​​​​​​23.(本小题10分)

如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．

（1）求证：∠D=∠ABC；

（2）若OE=CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．24.(本小题10分)

如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB垂足为M，∠CAB的平分线AE交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC交AC的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若CD=24，=，求EF的长．25.(本小题10分)

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC=∠DAP．

（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）；

（2）若CE=1，试确定BP的长．26.(本小题10分)

2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“已”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红.素材1据统计，某电商平台2024年12月份“已升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件.素材2某实体店“已升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件.素材3经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存.问题解决任务1（1）确定增长率若月平均增长率相同，求月平均增长率.任务2（2）确定销售价格若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元？根据上述素材，解决任务1、任务2的问题.27.(本小题10分)

已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠B=90°，∠ACB=30°，AB=8）进行了如下的实验操作：

（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AB恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD=______；

（2）如图2，将三角板的顶点A在⊙O上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若BC边与⊙O相切于点M，求点B的坐标；

（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点B恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG=1，求GH的长.

28.(本小题10分)

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4.点P为边BC上一动点（不与点B，点C重合），以BP为直径作圆，圆心记为点O，连接AP交⊙O于点E.过点B作BD∥AC，与⊙O交于点D，连接BE，DE.

（1）当∠BDE=45°时，求BP的长；

（2）当△BDE为等腰三角形时，求所有满足条件的BP的长.

（3）延长BE交边AC于点F，若=k，求的值.（用含k的代数式表示，直接写出答案）

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】x=0或x=3

12.【答案】-1（答案不唯一，任一负数均可）

13.【答案】

14.【答案】2

15.【答案】2或5

16.【答案】（4-8）

17.【答案】C1

18.【答案】

19.【答案】；

20.【答案】解：（1）∵方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根，

∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，

即4k-3＞0，

解得：k＞；

（2）把x=-1代入原方程得：k2-2k+1=0，

解得k=1，

∴原方程化为：x2+3x+2=0，

解这个方程得，x1=-1，x2=-2

故另一个根为-2，k的值为1．

21.【答案】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDE，

又∠1=∠2，

∴△ABD∽△EDC；

（2）解：∵△ABD∽△EDC，

∴∠A=∠DEC=130°，

∴∠BEC=50°，

∵BE=BC，

∴∠BEC=∠BCE=50°，

∴∠DBC=180°-2×50°=80°．

22.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）（2a，-2b）．

23.【答案】（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∴∠A+∠ABC=90°

∵DO⊥AB，

∴∠A+∠D=90°

∴∠D=∠ABC；

（2）解：设∠B=α，则∠BCO=α，

∵OE=CE，

∴∠EOC=∠BCO=α，

在△BCO中，α+α+90°+α=180°，

∴α=30°

∴∠A=60°，

∵OA=AB=3，

∴OC=OA=3，OD=3，OA边上的高为，

∴S=3×3--=-π．

24.【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAF，

∴∠EAF=∠EAB，

∵OA=OE，

∴∠EAB=∠AEO，

∴∠EAF=∠AEO，

∴OE∥AF，

∵EF⊥AC，

∴OE⊥EF，

∵OE是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：AB为⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CM=CD=12，

∵=，

设AM=4x，BM=9x，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACM+∠BCM=∠ACM+∠CAM=90°，

∴∠CAM=∠BCM，

∴△ACM∽△CBM，

∴=，

∴CM2=AM•BM，

∴122=4x•9x，

∴x=2（负值舍去），

∴AM=8，BM=18，

∴BC==6，

设OE与BC交于H，

∵∠F=∠FEO=∠FCH=90°，

∴四边形CHEF是矩形，

∴∠CHE=90°，CH=EF，

∴CH=EF=BC=3，

故EF的长的长为3．

25.【答案】解：（1）如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″，

则点P′和P″即为所求；

（2）∵矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB，

∵∠PEC=∠DAP，

∴∠APB=∠PEC，

∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴=，

设BP′=x,AB=4，BC=5，

∴P′C=5-x,

∴=，

解得x1=1，x2=4，

∴BP的长为1或4．

26.【答案】20%；

每件的售价应降低20元

27.【答案】

点B的坐标为（，0）

GH的长为2-3或3

28.【答案】解：（1）∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABC=90°，

∴△ABP是等腰直角三角形，

∴BP=AB=2；

（2）分三种情况：

①当BD=BE时，∠EBP=∠DBP，

∵BP是⊙O的直径，

∴∠BEP=90°，

∴∠EBP+∠APB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAP+∠APB=90°，

∴∠BAP=∠EBP，

∵BD∥AC，

∴∠DBP=∠C，

∴∠BAP=∠C，

又∵∠ABP=∠CBA=90°，

∴△ABP∽△CBA，

∴===，

∴BP=AB=；

②当EB=ED时，连接DP并延长交AC于H，如图1所示：

∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，

∴AC===10，

∵ED=EB，

∴∠EBD=∠EDB=∠BPA，

∵∠APH=∠EBD，

∴∠BPA=∠APH，

∵BP是⊙O的直径，

∴∠BDP=90°，

∵BD∥AC，

∴∠PHC=∠BDP=90°，∠AHP=180°-90°=90°=∠ABP，

又∵AP=AP，

∴△ABP≌△AHP（AAS），

∴AH=AB=2，BP=PH，

∴CH=AC-AH=10-2，

∵∠PHC=∠ABC，∠C=∠C，

∴△PHC∽△ABC，

∴==，

∴BP=PH=CH=5-；

③当DB=DE时，∠APH=∠EBD=∠DEB=∠DPB=∠CPH，