广东省东莞市丰泰外国语实验高级中学2025-2026学年高二上学期第1次月考数学试题（港澳台联考）（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页广东省东莞市丰泰外国语实验高级中学2025-2026学年高二上学期第1次月考数学试题（港澳台联考）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为A．- B． C．- D．2．若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（

）A．2 B． C． D．103．已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（

）A． B． C． D．4．设，，直线l过点且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．5．三棱锥中，，点为中点，点满足，则（

）A． B．C． D．6．已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（

）A． B．C． D．7．若多项式有因式，则（

）A．－3 B．－1 C．1 D．38．已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．9．已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（

）A．与向量方向相同的单位向量是B．在上的投影向量是C．与夹角的余弦值是D．坐标原点关于平面的对称点是10．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（

）A．2 B． C． D．二、填空题11．设空间向量，且，则.12．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝.13．若多项式满足，，则被除所得的余式为．14．已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为．15．已知多项式被除后的余式为，且，那么被除后所得的余式为．三、解答题16．已知(1)，求的坐标；(2)求；(3)若与互相垂直，求实数的值.17．如图，在平行六面体中，，，，，，与相交于点，设，，.(1)试用基底表示向量；(2)求的长；(3)求直线与直线所成角.18．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，.(1)求点到直线的距离(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.19．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．《广东省东莞市丰泰外国语实验高级中学2025-2026学年高二上学期第1次月考数学试题（港澳台联考）》参考答案题号12345678910答案CABDCCCDCB1．C【分析】由题意可得L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，从而得到L2的斜率为tan120°，运算求得结果．【详解】如图：直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，则L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，∴L2的斜率为tan120°＝﹣tan60°，

故选C．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．2．A【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得.【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，，得，则，解得，所以实数.故选：A3．B【分析】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解.【详解】由题，直线的斜率为，又，.故选：B.4．D【分析】根据题意，求得，再结合图像，即可得到的取值范围.【详解】

由题意可得，，因为直线与线段相交，则或.所以斜率k的取值范围是.故选：D5．C【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案.【详解】，又为中点，故选：C6．C【分析】根据基底的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底；选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底；选项C：设存在，，使得，所以，故方程组无解，故不存在实数的值使得，所以，，不共面，故可作为空间的一个基底；选项D：，所以，，共面，不能构成基底．故选：C．7．C【分析】由题意得到为的根，即可求解.【详解】由题意得多项式有因式，可得为的根，即有，解得，故选：C．8．D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得.【详解】连接，，如图：因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角，设正方体的棱长为，，，在中，，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：D.9．C【分析】对A，利用与向量方向相同的单位向量是，即可求解；对B，利用投影向量的定义，直接求出投影向量，即可求解；对C，利用向量的夹角公式，即可求解；对D，设，利用平面，得到间的关系，从而有，利用中点在平面内，再由共面向量定理，即可求解.【详解】对于A，因为，，所以与向量方向相同的单位向量是，故A正确；对于B，因为，所以在上的投影向量是，故B正确；对于C，因为，，所以，故C错误；对于D，设坐标原点关于平面的对称点是，则平面，所以，又，由，得到所以，故点为，的中点为，则四点，，，共面，设，即，所以，解得，所以，所以坐标原点关于平面的对称点是，故D正确，故选：C.10．B【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长.【详解】由条件知，，，又二面角的平面角为，则，所以，所以.故选：B.11．1【分析】根据，由求解.【详解】因为向量，且，所以，即，解得.故答案为：112．4【详解】由题意，得tan45°＝，解得a＝4.13．【分析】设所得余式为，商为，由即可求解.【详解】设所得余式为，商为则，，，联立的方程组解得：，，余式为．故答案为：14．【分析】由题意得，根据空间向量的模及夹角的余弦值公式，结合三角形面积公式即可求解.【详解】因为，，所以，，，所以，所以以为邻边的平行四边形的面积为.故答案为：.15．【分析】由题意可得，再结合，得到，即可求解.【详解】被除后的余式为，可设，由可得，可令，即有，则被除后的余式为，故答案为：．16．(1)或(2)(3)或【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．【详解】（1）由题可知，，由，得，设，因为，所以，解得，所以或．（2）因为、、，，，所以，，则.（3）因为，，又与垂直，所以，解得或．17．(1)(2)(3)【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；（3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【详解】（1）；（2），，，，，所以，，，由（1）知，所以，所以；（3），，，所以与所成角为，所以直线与直线所成角为.18．(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离.（2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）利用向量法可求出点P到平面的距离．【详解】（1）三棱锥中，平面，平面，则，又，，，则，，，于是等腰腰上的高，由，分别是棱，的中点，得，是的中位线，所以点到直线的距离为.（2）依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，又，，分别是棱，，的中点，，得，则，设平面的法向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）知，，点P到平面的距离，所以点P到平面的距离为.19．(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）作交于，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证.（2）求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解.（3）假定存在，求出，利用线面角的向量法列式求解即得.【详解】（1）在四棱锥中，过作交于，由，得，而平面，则直线两两垂直，以为原点