微积分-课件5定积分及其应用

（第二版）微积分普通高等院校数学类规划教材主编阎慧臻刘超刘燕5.1定积分的概念与性质5.2微积分基本公式5.3定积分的换元法和分部积分法5.4定积分在几何学及经济学中的应用第5章5.5反常积分定积分及其应用在微积分学中,积分法与微分法一样是研究函数性质的重要方法和解决实际问题的有力工具.本章中,我们将从几何学、力学与经济学问题出发引入定积分的定义,然后讨论它的性质、计算方法及其应用,最后介绍反常积分.第5章5.1.1面积、路程和收入问题由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)及直线x=a,x=b,y=0所围成的图形称为曲边梯形(图5-1),y=f(x)称为曲边.如果f(x)在[a,b]上是一个常数,则已知曲边梯形是矩形,容易求出它的面积是A=f(x)(b-a);如果f(x)在[a,b]上不是常数,虽然不能直接用矩形面积公式来计算已知曲边梯形的面积,但由于函数f(x)在a,b上是连续的,它在[a,b]内很小的一段区间上变化很小,近似于不变.因此,如果把区间[a,b]划分为许多小区间,在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替同一个小区间上的小曲边梯形的高,那么这个小曲边梯形的面积就近似地等于同一个小区间相应的小矩形的面积.把所有这些小矩形的面积相加,就得到曲边梯形面积的近似值.一般地,每个小区间的长度越小,近似程度越高.当把区间[a,b]分得无限细小,也就是使每个小区间的长度都趋于零时,所有小矩形面积之和的极限就认定为是曲边梯形的面积.计算过程如下:1.曲边梯形的面积问题图5-1设有一质点做直线运动,在时刻t的速度v=v(t)是一已知的连续函数,计算质点从时刻T1

到时刻T2

所经过的路程S.如果速度是常量C,则路程等于C(T2-T1).如果速度不是常量,而是随时间变化的变量,就不能按等速直线运动的路程公式来计算,然而质点运动的速度函数v=v(t)是连续变化的,在很短一段时间内速度变化很小,近似于等速直线运动.因此,如果在小段时间内,以等速运动代替变速运动,就可算出部分路程的近似值.再求和,得到整个路程的近似值.如果对时间间隔无限细分,那么所有部分路程的近似值之和的极限,就是所求的路程S,计算过程如下:2.变速直线运动的路程问题为路程近似值;

(3)将每段时间通过的路程相加作为变速直线运动路程的近似值3.收入问题设某商品的价格P

是销售量Q

的函数:P=P(Q),计算当销售量从α

变动到β

时的收入为多少?设Q

为连续变量,价格随销售量的变动而变动.仿照上面两个例子,我们将销售量变动范围[α,β]分成若干个销售量段,每个销售量段的收入近似等于销售量乘以该段内任意一个销售量时的价格,再把所有销售量段的收入相加作为收入的近似值,最后对[α,β]无限细分,求极限即得收入的精确值.计算过程如下:5.1.2定积分的定义从上面三个例子可以看到,所要计算的量的具体意义虽然不同,但它们都归结为具有相同结构的特定和的极限.图5-25.1.3定积分的性质下面讨论定积分的性质.为简化讨论,我们假定在性质中所出现的定积分都是存在的,并补充规定:这个性质说明,定积分对于积分区间具有可加性.事实上,不论a,b,c的位置如何,上式总成立.图5-35.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系由5.1节可知,质点以速度v=v(t)做直线运动时,从时刻T1

到T2

通过的路程可以用速度函数v(t)在[T1,T2]上的定积分来表示.又设时刻t时质点所在的位置为S(t),因此从时刻T1

到T2

经过的路程又可以通过位置函数S(t)在区间[T1,T2]上的增量S(T2)-S(T1)来表示,故有因为S'(t)=v(t),即位置函数S(t)是速度函数v(t)的原函数,所以式(1)表示速度函数v(t)在区间T1,T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1,T2上的增量.那么由这个特殊问题得到的这种关系是否具有一般性呢?即对一般函数f(x),设F'(x)=f(x),是否也有成立?事实上,若f(x)在a,b

上连续,则上式总是成立的.为证明这一公式,先引入积分上限函数.5.2.2积分上限的函数及其导数设函数f(x)在a,b

上连续,x为a,b

上的一点,则f(x)在部分区间a,x

上的定积分一定存在,这里x既表示积分上限,又表示积分变量.因为定积分与积分变量的记法无关,所以为明确起见,我们把积分变量改用其他符号,例如用t表示,则上面的定积分可写成当积分上限x在[a,b]上变动时,积分值也随之变动.当x取定一个值时,就有一个确定的积分值与之对应,于是我们就定义了一个函数,记作Φ(x)称为积分上限函数,这个函数具有下面定理1所指出的重要性质.5.2.3牛顿-莱布尼茨公式由上节结果可知,计算定积分的简便方法是把它转化为求f(x)的原函数的增量.在第4章中,我们知道应用换元法和分部积分法可以求出一些函数的原函数,因此,可以用换元法和分部积分法来计算定积分.下面就来讨论定积分的这两种计算方法.5.3.1定积分的换元法关于定积分的换元法,我们有如下的定理:5.3.2定积分的分部积分法设函数u=u(x)与v=v(x)在a,b

上有连续导数,根据不定积分的分部积分法,可得我们知道,由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0),直线x=a,x=b及x

轴所围成的曲边梯形的面积A

表示为定积分的步骤是:

(1)用任意一组分点把[a,b]分成长度为Δxi(i=1,2,…,n)的n

个小区间,相应地把曲边梯形分为n

个小曲边梯形,设第i

个小曲边梯形的面积为ΔAi,于是

(2)计算ΔAi

的近似值

(3)求和,得A的近似值5.4.1定积分的元素法图5-6

【例1】求抛物线x2-4y+4=0与直线x-2y+6=0所围成的图形的面积.解抛物线与直线所围图形如图5-7所示.为了确定图形的所在范围,先求它们的交点.为此,解方程组5.4.2定积分在几何学中的应用1.平面图形的面积图5-7得到两个解:x=-2,y=2和x=4,y=5,即交点为(-2,2)及(4,5),从而知道这个图形在直线x=-2与x=4之间.旋转体就是一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体,这条直线叫作旋转轴.圆柱、圆锥、球体分别可以看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体,它们都是旋转体.设某一旋转体由y=f(x),直线x=a,x=b(a<b)与x轴所围平面图形绕x轴旋转而成,现在用元素法求这个旋转体的体积.在区间[a,b]上任取区间[x,x+dx]截得的部分立体的体积近似于以f(x)为底半径、dx为高的扁圆柱体的体积(图5-10),即体积元素为两端积分便得所求旋转体的体积为2.旋转体的体积图5-10类似可推出:由曲线x=φ(y),直线y=c,y=d(c<d)与y轴所围成的平面图形绕y

轴旋转而成的旋转体(图5-11)的体积为图5-11设某立体上垂直于一定轴的各个截面面积已知(或可求出),那么,此立体的体积也可用元素法求得.取上述定轴为x

轴,并设该立体在过点x=a、x=b

且垂直于x

轴的两个平面之间(图5-14),以A(x)表示过点x且垂直于x

轴的截面面积,在a,b

上任取

x,x+dx,截得的薄片可近似地看成一个底面积为A(x)、高为dx

的扁柱体的体积,即体积元素为两端积分便得所求立体的体积为3.平行截面面积已知的立体的体积设经济应用函数u(x)的边际函数为u'(x),则有于是5.4.3定积分在经济学中的应用1.由边际函数求原函数

【例9】某工厂生产某商品在时刻t的总产量变化率为x'(t)=100+12t,求由t=2到t=4时的总产量.解总产量为2.由变化率求总量在生产经营活动中,若公司的收益可以近似看成是连续