2025年上学期高一数学多项选择题专练（四）

2025年上学期高一数学多项选择题专练（四）一、集合与常用逻辑用语1.已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|ax-2=0})，若(B\subseteqA)，则实数(a)的值可能为（）A.0B.1C.2D.3解析：解方程(x^2-3x+2=0)，得(A={1,2})。当(a=0)时，(B=\varnothing)，满足(B\subseteqA)；当(a\neq0)时，(B=\left{\frac{2}{a}\right})，需(\frac{2}{a}=1)或(2)，解得(a=2)或(1)。综上，(a=0,1,2)，答案：ABC。2.下列命题中为真命题的是（）A.“(x>1)”是“(x^2>1)”的充分不必要条件B.命题“(\forallx\in\mathbf{R},x^2+x+1>0)”的否定是“(\existsx\in\mathbf{R},x^2+x+1\leq0)”C.若(p\landq)为假命题，则(p,q)均为假命题D.“若(x=y)，则(\sinx=\siny)”的逆否命题为真命题解析：A：(x>1\Rightarrowx^2>1)，但(x^2>1\nRightarrowx>1)（如(x=-2)），故A正确；B：全称命题的否定为特称命题，且否定结论，B正确；C：(p\landq)为假，则至少一个为假，C错误；D：原命题为真，逆否命题与原命题同真，D正确。答案：ABD。二、函数概念与基本初等函数3.已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})则下列结论正确的是（）A.(f(f(-1))=-1)B.函数(f(x))的值域为((-\infty,1])C.函数(f(x))在((-\infty,0])上单调递增D.方程(f(x)=\frac{1}{2})有两个实数解解析：A：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1)，A正确；B：(x\leq0)时，(2^x\in(0,1])；(x>0)时，(\log_2x\in\mathbf{R})，故值域为(\mathbf{R})，B错误；C：(y=2^x)在((-\infty,0])上单调递增，C正确；D：方程(2^x=\frac{1}{2}\Rightarrowx=-1)；(\log_2x=\frac{1}{2}\Rightarrowx=\sqrt{2})，共两解，D正确。答案：ACD。4.已知函数(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0))的图像过点((0,1))，且对任意(x\in\mathbf{R})，有(f(x)\geqx)，(f(-1)=0)，则（）A.(a=\frac{1}{4})B.(b=\frac{1}{2})C.(c=1)D.函数(f(x))的最小值为(\frac{3}{4})解析：由(f(0)=1)得(c=1)；由(f(-1)=0)得(a-b+1=0\Rightarrowb=a+1)；对任意(x)，(ax^2+bx+1\geqx\Rightarrowax^2+(b-1)x+1\geq0)恒成立，即(a>0)且(\Delta=(b-1)^2-4a\leq0)；代入(b=a+1)，得(a^2-4a\leq0\Rightarrowa=1)（(a>0)），则(b=2)；故(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2)，最小值为0，答案：C（注：原选项中仅C正确，此处题目可能存在设置问题，按解析选C）。三、三角函数与解三角形5.已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的最小正周期为(\pi)，且图像关于直线(x=\frac{\pi}{3})对称，则（）A.(\omega=2)B.(\varphi=-\frac{\pi}{6})C.(f(x))在(\left(0,\frac{\pi}{2}\right))上单调递增D.(f(x))的图像可由(y=\sin2x)向左平移(\frac{\pi}{6})个单位得到解析：周期(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\Rightarrow\omega=2)，A正确；对称轴(2\cdot\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow\varphi=-\frac{\pi}{6}+k\pi)，由(|\varphi|<\frac{\pi}{2})得(\varphi=-\frac{\pi}{6})，B正确；(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right))，令(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow-\frac{\pi}{6}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{3}+k\pi)，在(\left(0,\frac{\pi}{3}\right))递增，(\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right))递减，C错误；(y=\sin2x)向左平移(\frac{\pi}{6})个单位得(\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\neqf(x))，D错误。答案：AB。6.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，下列结论正确的是（）A.若(a=4,b=5,c=6)，则(\triangleABC)为锐角三角形B.若(\sin2A=\sin2B)，则(\triangleABC)为等腰三角形C.若(a\cosA=b\cosB)，则(\triangleABC)为等腰或直角三角形D.若(\cosC=2\sinA\sinB-1)，则(A+B=\frac{\pi}{2})解析：A：由余弦定理，(\cosC=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot4\cdot5}=\frac{1}{8}>0)，最大角(C)为锐角，A正确；B：(\sin2A=\sin2B\Rightarrow2A=2B)或(2A=\pi-2B\RightarrowA=B)或(A+B=\frac{\pi}{2})，即等腰或直角三角形，B错误；C：由正弦定理，(\sinA\cosA=\sinB\cosB\Rightarrow\sin2A=\sin2B)，同B，C正确；D：(\cosC=-\cos(A+B)=2\sinA\sinB-1\Rightarrow-\cosA\cosB+\sinA\sinB=2\sinA\sinB-1\Rightarrow\cos(A+B)=1\RightarrowA+B=0)（舍），D错误。答案：AC。四、平面向量与复数7.已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，则下列说法正确的是（）A.若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(m=2)B.若(\vec{a}\parallel\vec{b})，则(m=-\frac{1}{2})C.(|\vec{a}+\vec{b}|)的最小值为(\sqrt{5})D.若(\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=135^\circ)，则(m=3)解析：A：(\vec{a}\cdot\vec{b}=m-2=0\Rightarrowm=2)，A正确；B：(1\cdot(-1)-2m=0\Rightarrowm=-\frac{1}{2})，B正确；C：(\vec{a}+\vec{b}=(m+1,1))，(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(m+1)^2+1}\geq1)，最小值为1，C错误；D：(\cos135^\circ=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{m-2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{m^2+1}}=-\frac{\sqrt{2}}{2})，解得(m=3)（(m=-\frac{1}{3})舍），D正确。答案：ABD。8.已知复数(z=\frac{1+i}{1-i}+(1-i)^2)，则下列结论正确的是（）A.(z)的实部为(-1)B.(z)的虚部为(0)C.(|z|=1)D.(z)在复平面内对应的点位于第四象限解析：化简(z)：(\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{2}=i)，((1-i)^2=-2i)，故(z=i-2i=-i)；实部为0，虚部为-1，(|z|=1)，对应点((0,-1))在虚轴上，答案：C。五、数列与不等式9.已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，(a_1=1)，(S_5=25)，数列({b_n})满足(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，则（）A.数列({a_n})的公差(d=2)B.(S_n=n^2)C.数列({b_n})的前(n)项和(T_n=\frac{n}{2n+1})D.不等式(T_n>\frac{2025}{4052})的解集为({n|n>2025})解析：由(S_5=5a_1+10d=5+10d=25\Rightarrowd=2)，A正确；(a_n=2n-1)，(S_n=n^2)，B正确；(b_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right))，(T_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1})，C正确；解(\frac{n}{2n+1}>\frac{2025}{4052}\Rightarrow4052n>2025(2n+1)\Rightarrow4052n>4050n+2025\Rightarrow2n>2025\Rightarrown>1012.5)，解集为(n\geq1013)，D错误。答案：ABC。10.若正数(x,y)满足(x+2y=1)，则下列不等式正确的是（）A.(xy\leq\frac{1}{8})B.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq3+2\sqrt{2})C.(x^2+y^2\geq\frac{1}{5})D.(2^x+4^y\geq2\sqrt{2})解析：A：(x=1-2y)，(xy=(1-2y)y=-2y^2+y\leq\frac{1}{8})（当(y=\frac{1}{4},x=\frac{1}{2})时取等），A正确；B：(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x+2y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq3+2\sqrt{2})，B正确；C：(x^2+y^2=(1-2y)^2+y^2=5y^2-4y+1\geq\frac{1}{5})（当(y=\frac{2}{5},x=\frac{1}{5})时取等），C正确；D：(2^x+4^y=2^x+2^{2y}\geq2\sqrt{2^{x+2y}}=2\sqrt{2^1}=2\sqrt{2})，D正确。答案：ABCD。六、立体几何初步11.如图，在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E,F)分别为棱(AA_1,CC_1)的中点，则下列直线中与直线(EF)异面的是（）A.(A_1B_1)B.(B_1C)C.(BD)D.(CD_1)解析：建立空间直角坐标系，设棱长为2，(E(2,0,1))，(F(0,2,1))，(\overrightarrow{EF}=(-2,2,0))；(A_1B_1)：((0,2,0))，与(\overrightarrow{EF})共面；(B_1C)：((-2,0,-2))，不共面；(BD)：((-2,2,0))，与(\overrightarrow{EF})共线；(CD_1)：((0,-2,2))，不共面。答案：BD。12.已知三棱锥(P-ABC)的四个顶点在球(O)的球面上，(PA=PB=PC=2)，(\triangleABC)为等边三角形，且边长为(2\sqrt{3})，则球(O)的表面积可能为（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)解析：设(\triangleABC)的外接圆半径为(r)，则(r=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2)；设(P)到平面(ABC)的距离为(h)，则(h=\sqrt{PA^2-r^2}=\sqrt{4-4}=0)（此时(P)在平面(ABC)内，球心为(\triangleABC)外心，半径(R=2)，表面积(16\pi)）；若(P)在平面(ABC)外，设球心到平面(ABC)的距离为(d)，则(R^2=r^2+d^2=4+d^2)，且((h-d)^2+r^2=R^2\Rightarrow(h-d)^2+4=4+d^2\Rightarrowh=2d)，又(h=\sqrt{4-r^2})（矛盾，此处原三棱锥为正三棱锥，高(h=\sqrt{2^2-(2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{4-4}=0)，故仅(R=2)，表面积(16\pi)）。答案：B。七、概率与统计13.某学校高一（1）班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现按性别分层抽样抽取10人参加某项活动，则下列说法正确的是（）A.男生应抽取6人B.女生应抽取4人C.每个学生被抽到的概率为(\frac{1}{5})D.样本中男生人数与女生人数的比为(3:2)解析：抽样比为(\frac{10}{50}=\frac{1}{5})，男生抽(30\times\frac{1}{5}=6)人，女生抽(20\times\frac{1}{5}=4)人，A、B、C、D均正确。答案：ABCD。14.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取2张，记事件(A=)“两张卡片上的数字之和为偶数”，事件(B=)“两张卡片上的数字均为奇数”，则（）A.(P(A)=\frac{2}{5})B.(P(B)=\frac{3}{10})C.(P(B|A)=\frac{3}{4})D.事件(A)与事件(B)相互独立解析：总基本事件数(C_5^2=10)；(A)：两数同奇或同偶，同奇(C_3^2=3)，同偶(C_2^2=1)，(P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5})，A正确；(B)：同奇，(P(B)=\frac{3}{10})，B正确；(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{3/10}{4/10}=\frac{3}{