初中数学华东师大版九年级上册234中位线举一反三

23.4中位线xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】利用三角形中位线定理求长度 3【题型2】利用三角形中位线定理求度数 7【题型3】利用三角形中位线定理求周长 12【题型4】利用三角形中位线定理求面积 15xixix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点

∴DE∥BC，DE=12BC1.（2024•甘谷县三模）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=10m,则A，B之间的距离是（）A．5mB．10mC．20mD．40m【答案】C【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴AB=2CD=20（m），故选：C．【知识点2】梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积=12×2×中位线的长×高=中位线的长×（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．1.（2024•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）A．9B．10.5C．12D．15【答案】C【分析】根据梯形的中位线等于两底和的一半解答．【解答】解：∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=12（AD+BC∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选：C．2.（2024秋•乐至县期末）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，EF是梯形的中位线，AC交EF于G，BD交EF于H，以下说法错误的是（）A．AB∥EFB．AB+DC=2EFC．四边形AEFB和四边形ABCD相似D．EG=FH【答案】C【分析】根据梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半以及相似多边形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：AB∥DC，EF是梯形的中位线，∴AB∥EF，AB+DC=2EF，故A、B选项结论正确，故本选项错误；∵EF是梯形的中位线，∴点G、H分别是AC、BD的中点，∴EG=FH=12CD，D∵AEAD=12，EFAB∴四边形AEFB和四边形ABCD一定不相似，故C选项正确．故选：C．【题型1】利用三角形中位线定理求长度【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝BC＝7，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝1，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】∵BC＝7，BF＝1，∴FC＝BC﹣BF＝7﹣1＝6，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE＝FC＝×6＝3．故选：B．【举一反三1】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A.2B.5C.7D.9【答案】B【解析】连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝AD2+BD2＝∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，点M是AD上动点，点N是CD上一定点，点E、F分别是BM、NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（）A.线段EF的长度逐渐减小B.线段EF的长度逐渐增大C.线段EF的长度不改变D.线段EF的长度不能确定【答案】C【解析】连接NB，如图所示，∵点E、F分别是BM、NM的中点，∴EF=1∵点N是CD上一定点，B是定点，BN的长度不变，∴EF的长度不改变，故选：C．【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB＝10，CD＝6，则MN的长度的取值范围是

．【答案】2＜MN＜8【解析】连接BD，取BD的中点E，连接ME、NE，∵M是AD的中点，E是BD的中点，∴ME＝AB＝5，同理，NE＝CD＝3，在△MNE中，5﹣3＜MN＜5+3，即2＜MN＜8，故答案为：2＜MN＜8．【举一反三4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝8，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则AC的长度是

．【答案】6【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝BC＝4，∵EF＝3DF∴DE＝4DF，∴DF＝DE＝1，∴EF＝DE﹣DF＝3，∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，∴AC＝2EF＝6，故答案为：6．【举一反三5】如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．【答案】解∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×19＝，在△ABF中，∵AF2+BF2＝52+122＝169＝132，AB2＝132，∴AF2+BF2＝AB2，∴∠AFB＝90°，∴EF＝AB＝×13＝，∴DF＝DE﹣EF＝﹣＝3．【题型2】利用三角形中位线定理求度数【典型例题】如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°．则∠FEG的度数为（）A.18°B.23°C.31°D.33°【答案】B【解析】∵E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，∴EG、FG分别是△ABC和△ADC两个三角形的中位线，∴EG∥BC，FG∥AD，EG＝BC，FG＝AD，∵AD＝BC，∴EG＝FG，∵EG∥BC，FG∥AD，∴∠FGC＝∠DAC＝20°，∠EGC＝180°﹣∠ACB＝114°，∴∠EGF＝∠FGC+∠EGC＝134°，∵EG＝FG，∴∠FEG＝（180°﹣134°）＝23°．故选：B．【举一反三1】如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.80°【答案】C【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣45°﹣60°＝75°．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴∠EDF＝∠C＝75°．故选：C．【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E是AB的中点，F是DC的中点，EF交AC于点O．∠DAC＝60°，∠ACB＝40°，则∠AOE的度数为（）A.40°B.45°C.50°D.55°【答案】C【解析】取AC的中点G，连接EG、FG，如图所示：∵E是AB的中点，F是DC的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△ACD的中位线，∴EG∥BC，EG＝BC，FG∥AD，FG＝AD，∴∠AGE＝∠ACB＝40°，∠AGF+∠DAC＝180°，∴∠AGF＝180°﹣∠DAC＝120°，∴∠EGF＝∠AGE+∠AGF＝40°+120°＝160°，∵AD＝BC，∴EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE＝（180°﹣160°）＝10°，∴∠AOE＝∠GEF+∠AGE＝10°+∠40°＝50°；故选：C．【举一反三3】在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝36°，点E，F分别在AC，BC上，且满足AE＝BF，M，N分别为AB，EF的中点，则∠BMN的度数等于

．【答案】103°【解析】如图，连接BE，取BE的中点H，连接MH，NH，∵BM＝MA，∴MH是△ABE的中位线，∴MH＝AE，MH∥AE，∴∠BMH＝∠A＝62°，同理可得：NH＝BF，∠EHN＝∠EBF，∵∠MHE＝∠BMH+∠ABE＝62°+36°﹣∠EBF，∴∠MHN＝62°+36°﹣∠EBF+∠EBF＝98°，∵AE＝BF，∴∠HMN＝∠HNM＝41°，∴∠BMN＝62°+41°＝103°，故答案为：103°．【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．【答案】解∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∴△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠FPE＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．【举一反三5】（1）如图，点E是AD的中点，点F是AB的中点，过点E画EH∥AC，交DC于点H；过点F画FG∥AC，交BC于点G，测量EH、FG的长度，你有什么发现？（2）连接EF、GH，通过测量∠FEH、∠EHG、∠HGF、∠GFE的度数，判断其中相等的角有哪些，互补的角有哪些．【答案】解（1）经测量，EH＝1.2cm，FG＝1.2cm，∴EH＝FG；（2）经测量，∠FEH＝84°，∠EHG＝106°，∠HGF＝84°，∠GFE＝106°，∴∠FEH＝∠HGF，∠EHG＝∠HGF，∠FEH与∠EHG互补，∠GFE与∠HGF互补，∠EHG与∠HGF互补，∠FEH与∠GFE互补．【题型3】利用三角形中位线定理求周长【典型例题】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是10，则△ABC的周长是（）A.10B.15C.18D.20【答案】D【解析】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，AD＝AB，AE＝AC，∴DE＝BC，∵△ADE的周长＝10，∴AD+AE+DE＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（AD+AE+DE）＝20，故选：D．【举一反三1】如图所示，已知点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的周长为（）A.12B.14C.16D.18【答案】B【解析】∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，∴HG、GF、FE、EH分别为△ADC、△BDC、△ABC、△ABD的中位线．∴GF＝HE＝BD＝×6＝3；HG＝EF＝×AC＝×8＝4，∴四边形EFGH的周长4×2+3×2＝14．故选：B．【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（）A.10B.12C.16D.18【答案】B【解析】∵P、N是AB和BD的中点，AD＝BC，BC＝8，∴PN＝AD＝×8＝4，PN∥AD，∴∠NPB＝∠DAB＝50°，同理，PM＝4，∠MPA＝∠CBA＝70°，∴PM＝PN＝4，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN是等边三角形．∴MN＝PM＝PN＝4，∴△PMN的周长是12．故选：B．【举一反三3】如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝4，则△ABC的周长是

．【答案】43【解析】∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠DAN，在△ABN和△ADN中，∠BAN=∠DANAN=AN∴△ABN≌△ADN（A.S.A.），∴AD＝AB＝10，BN＝DN，∵M是△ABC的边BC的中点，BN＝DN，∴CD＝2MN＝8，∴AC＝AD+CD＝10+8＝18，∴△ABC的周长为：AB+BC+CA＝10+15+18＝43．故答案为：43．【举一反三4】在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若△ABC的周长为20cm，则△DEF的周长为

．【答案】10cm【解析】∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，∵AB+AC+BC＝20cm，∴DE+EF+DF＝（AB+AC+BC）＝×20＝10．故答案为：10cm．【举一反三5】已知一个三角形各边的比为3：4：5，连接各边的中点所得的三角形的周长为52cm，求原三角形各边的长．【答案】解如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，所以△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（AC+BC+AB）＝52cm，所以AC+BC+AB＝104．又因为AC：BC：AB＝3：4：5，所以AC＝26cm，BC＝cm，AB＝cm．【题型4】利用三角形中位线定理求面积【典型例题】如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且AC=42

,

BD=62，依次取AB，BC，CDA.6B.12C.24D.48【答案】B【解析】∵点M、N、P、Q分别为AB，BC，CD，AD的中点，∴MQ∥BD，MQ＝BD＝×6＝3（三角形中位线定理），同理可得PN∥BD，PN＝BD．∴MQ∥PN，并且MQ＝PN，∴四边形MNPQ是平行四边形．∵MN∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥MN，∴MQ⊥MN．∴▱MNPQ为矩形．又∵MN＝AC＝×4＝2．∴矩形MNPQ的面积为MQ•MN＝3×2＝12．故答案为：B．【举一反三1】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是（）A.20B.25C.30D.35【答案】C【解析】∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，AD＝DB，∴BC＝2DE＝2×5＝10，在△AFD和△BGD中，∠AFD=∠BGD=90°∠ADF=∠BDG∴△AFD≌△BGD（A.A.S.），∴BG＝AF＝3，∴长方形BCHG的面积为：3×10＝30，∴△ABC的面积是30，故选：C．【举一反三2】如图，DE∥BC，连接BD，△ABC被分成①②③三部分，其中图形①和②的面