高考数学一轮复习作业统计与统计案例计数原理概率随机变量新人教B版

统计与统计案例计数原理、概率、随机变量

一、选择题

1.为了调查某县2021年高考数学成绩，在高考后对该县6000名考生进行了抽样调查,

其中2000名文科学生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名

考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是（）

A.系统抽样法B.分层抽样法

C.抽签法D.简单的随机抽样法

B［由于6000名学生各个学生层次之间存在明显差别，故要采用分层抽样的方法，故

选B.］

2.今年入夏以来，某市天气反复，降雨频繁.在下图中统计了某个月前15天的气温，

以及相对去年同期的气温差（今年气温一去年气温，单位：C）,以下判断错误的是（）

A.今年每天气温都比去年气温高

B.今年的气温的平均值比去年低

C.去年8〜11号气温持续上升

D.今年8号气温最低

A［由题图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年气温，故选项A不正确;

除6,7号今年气温略高于去年气温外，其他日子今年气温都不高于去年气温，所以今年的气

温的平均值比去年低，选项B正确；今年8〜11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去

年8〜11号气温持续上升，选项C正确；由题图可知，今年8号气温最低，选项I）正确.故

选A.］

3.（2021•黑龙江铁人中学高三三模）“幻方”最早记载于我国公元前

500年的春秋时期《大戴礼》中，〃阶幻方（〃与3,是由前〃2个止整数□□

组成的一个〃阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻□□

和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取□3ZJ

3个不同的数，记”取到的3个数和为15”为事件力，”取到的3个数可以构成一个等差数

列”为事件H则P（冽冷=（）

3B.,C.1D.1

A.

4JJ4

D［根据题怠，事件力包含的基本事件有：（8,1,6）,（3,5,7）,（4,9,2）,（8,3,4）,

(1,5,9),(6,7,2),(8,5,2),(4,5,6),共8个基本事件;事件48同时发生包含的基本事

件有：(3,5,7),(1,5,9),(8,5,2),(4,5,6)共4个基本事件,

~z、nAB41=

所以P{Ii\A)=~■=77=7-]

nnoz

4.若一个三位数的各位数字之和为10,则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136

都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有()

A.32个B.641C.54个D.96个

C[分情况讨论：(1)这个三位数中不含0,若这个三位数中有两个重复数字，数字组

合为(1,1,8),(2,2,6),(3,3,4),(4,4,2),则有“十全十美数”4C；个,若这个三位数中

的三个数字都不重复，数字组合为(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,3,5),则有4A：个“十

全十美数”；(2)这个三位数中含一个0,数字组合为(1,0,9),(2,0,8),(3,0,7),(4,0,6),

(5,0,5),则“十全十美数”有4(就+2=18(个).根据分类加法计数原理得，“十全十美数”

共有4C；+4A：+18=54(个).故选C.]

(T)

5.(工十同7的展开式中含W项的系数为()

A.-7B.-35C.-49D.-56

(叶力=>—红(>+/,

A

X

因为的展开式的通项公式为

所以。一年)(叶力的展开式中含X?的项为x••&xy=—lxy,

因此(x—的展开式中含项的系数为-7.]

6.(2021•全国新高考II卷)某物理量的测量结果服从正态分布"(10,。2),则下列结

论中不正确的是()

A.。越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大

B.0

C.。

D.”越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率

相等

D[对于A,。越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正

确.对于B,C,由于正态分布图象的对称轴为〃=10,显然B,C正确.D显然错误.选D.]

7.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了

著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线a时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线

为折线Q他时，表示收入完全不平等.记区域力为不平等区域，a表示其面积；S为H0KL

的面积.将Gini=鼠为基尼系数.对于下列说法:

①Gini越小，国民分配越公平;

②设劳伦茨曲线对应的函数为y=f(x),则对任意了£(0,1),均有人二一＞1；

X

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=l一声二？(x£[0,1]),则Gini=5-L

其中正确的是()

A.①@B.①®C.②®D.①②③

B[对于①，根据基尼系数公式Gini=*可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越

小，国民分配越公平，故①正确；对于②，—=匚^表示曲线尸F3上的点与

FX

原点连线的斜率，由图可知对任意(0,1),均有0W—W1,故②错误；对于③，将

X

y=l—4=7化简整理，得H+G，-1)2=1(*,[0,1])，表示圆心为(0,1),半径为1的

3T1

四分之一圆，所以XJ—Jx1X1=^"—5=1x1X1=1,所以1一=微~—1,

乙B乙乙乙乙

2

故③正确.故选B.]

8.已知函数〃彳)=一六,g［x}=%cosx—sinx,当4兀，4/】且彳工^时,方

程7•J)=g(x)根的个数是()

A.5B.6C.7D.8

D［由题意得，函数/'(*)=一=在＞£［一4"，4叫且正0上是奇函数且是反比例函

数，g(x)=xcosx-sinx在［―4/，4n］上是奇函数，因为g'(x)=cosx—xsinx

—cos%=—xsinx,当［(),n］U［2“，3丸］时，g'(x)W0,当(n,2“)U(3”,

4冗］时，g'(x)20,所以g(x)在［0,n］,［2n,3n］上是减函数，在(“，2n),(3n,

4冗］上是增函数，且g(0)=0,g(n)=—n,g(2n)=2n,^-(3n)=­3n,g(4八)=4n,

①汨>及；②I%-.r2|>l；③理科这10名学生的成绩更集中；④文科这10名学生

的成绩更集中，其中正确结论的个数为

理科文科

98109

3211458

7312456

861335

65141

3[条件可得小一—125,及一---=124.5,这两组数据的平均数分别为

乙9乙

x1=125.7,x2=124,故|xx2|>1,数据的方差分别s；-199,技―94,故$>及，

即文科这10名学生的成绩更集中，故正确的有①②®,即正确结论的个数为3.]

12.(2021•浙江高考)袋中有4个红球，勿个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记

取出的红球数为-若取出的两个球都是红球的概率为《，一红一黄的概率为则/〃一〃

oJ

=,£(f.

8C26

==

1Q[由题意得尸(f=2)=耳=耳T=>(^n+4369所以/n-F/j+dug,

P(一红一黄)=:；C"=^=《=；nm=3,所以〃=2,贝ij加一〃=1.

I//J。HJ

arc。c\1n/f八C；-d4X55f八、Cs105

由于尸(f=2)=]p({=l)=-^=~=-fP(<=0)=^=~=~,

155i58

;.E{n=SX2+-Xl+-X0="+-=-]

三、解答题

13.某校从参加高三化学得分训练的学生中随机抽出60名学生，将其化学成绩(均为整

数,满分100分)分成六段：[40,50),[50,60),…，[90,]()()],由此得到部分频率分布直

方图(如图).

t频率/组距

0.030[

0.025卜......r—

0.020[

0.015-------1—I—1

o.oior-p

0.005馆十]十卜-

°405060708090100分初分

观察图中的信息，回答下列问题：

(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全频率分布直方图：

(2)据此估计木次考试的平均分，

(3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在［40,60)内记0分，在［60,80)

内记1分,在［80,100］内记2分，用X表示抽取结束后的总记分，求才的分布列.

［解］(1)设分数在［70,80)内的频率为xX2+0.025+0.005)X10+x=l,解得x=

0.3.补全频率分布直方图略.

⑵抽取的60名学生的平均分为二=45X0.10+55X0.15+65X0.15+75X0.3+85X

0.25+95X0.05=71.据此估计本次考试的平均分为71分.

XXX60=18(人),易知才的所有可能取值是0,1,2,3,4,

则/v=o)*=强0=譬=告

蚂士良一四也一生

凡—2—a一590'外力一见一场一295'

p(1=4)=^=—

')590,

所以I的分布列为

01234

7272078151

P

118118590295590

14.某大学举行了一次与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校

某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7

组：［30,40),［40,50),…,［90,100］,并整理得到如下频率分布直方图：

频生

组即

0.04...............................................

0.02----------------------------------------

0.01---------1_----------~-n—1111-

030405060708090100分数

(D估计这100名学生测试分数的中位数；

(2)若分数在［30,40),［40,50),［50,60)上的频率分别为R,小A,且2R+R=0.05,

估计100名学生测试分数的平均数：

(3)把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀

的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性

别有关.

男生女生

优秀

不优秀

附:

夕(*2A)

o_________〃ad—be2________

a+bc+da+cb+d'

［解］(1)设这100名学生测试分数的中位数为a,

由前5组频率之和为0.4,前6组频率之和为0.8,可得80＜水90,

所以0.4+(a—80)X0.04=0.5,解得£=82.5.

(2)因为20+。=0.05,且R+0+a=0.1,

所以这100名学生测试分数的平均数为

35pl+45.+55(0.1—0—.)+65X0.1+75X0.2+85X0.4+95X

=5.5—10(2。+。)+6.5+15+34+19=79.5.

⑶列联表如下：

男生女生

优秀4515

不优秀2515

一加z10045X15-25X15

可得"70X30X60X40786<3,84L

所以没有95%的把握认为测试优秀与性别有关.

15.某“双一流”大学专业奖学金以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一

等奖学金（金额为3000元）、专业二等奖学金（金额为1500元）及专业三等奖学金（金额为

600元）.口专业奖学金每年评选一次，每个学牛一年最多只能获得一次.图①是该校2021

年500名学生周课外平均学习时间的频率分布直方图，图②是这500名学生2021年周课外

平均学习时间与获得专业奖学金的频率柱状图.

频率/组距

0.0S6....................—

0.04.............1-1-

0.016----1-...........—I—

0.008-]..........1

O51015202530354045周课外平均学习时间/h

图①

获奖

频

率窜跖蕊缪

业三等奖学金

5

O.r

5-2020-35

图②

(1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数.

⑵若周课外平均学习时间超过35h的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”

学生，列出2X2列联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金

与“努力型”学生有关.

(3)若以频率作为概率，从该校任选•名学生，记该学生2021年获得的专业奖学金金额

为随机变量/求随机变量I的分布列和数学期望.

附：

ka

,2nad-be',

―，+，/*十，一百丁‘其中a+ZH•，+d.

［解］(1)获得专业三等奖学金的频率为(0.008+C.016+0.04)X5X0.15+(0.04+

0.056+0.016)X5X0.4+(0.016+0.008)X5X0.4=0.32,500X0.32=160(人),故这500

名学生中获得专业三等奖学金的人数为160.

(2)周课外平均学习时间不超过35h的“非努力型”学生有500X(0.008+0.016+0.04

+0.04+0.056+0.016)X5=440(人),

其中获得专业一、二等奖学金的学生有500X(0.008+0.0164-0.04)X5X0.05+500X

(0.04+0.056+0.016)X5X(0.25+0.05)=92(人).

周课外平均学习时间超过35h的“努力型”学生有500X(0.016+0.008)X5=60(人),

其中获得专业一、二等奖学金的学生有60X(0.35+0.25)=36(人).

所以2X2列联表为

“非努力型”学生“努力型”学生总计

获得专业一、二等奖学金9236128

未获得专业一、二等奖学金34824372

总计44060500

500X92X24-348X36

〃的观测值卜=128X372X440X6。52.36>10,828,

故有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关.

(3)/的可能取值为0.600,1500,3()00.

600)=0.32,

P(TX(0.0084-0.016+0.04)XX(0.04+0.056+0.016)XX(0.016+0.008)X5=

0.198,

P(XX(0.04+0.056+0.016)XX(0.016+0.008)X5=0.058,

P(/=0)=1-0.32-0.198-0.058=0.424.所以4的分布列为

X060015003000

P

故£(心=0X0.424+600X0.32+1500X0.198+3000X0.058=663(元).

16.核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临

床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是

否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机却为了提高检测效率降低检测成本,

设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取

出〃份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为

阴性，则判定该组标本均为阴性，不