山东省名校考试联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省名校考试联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线的斜率为2，经过点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点（点不在坐标轴上），则的周长为（

）A． B．6 C． D．33．在平行六面体中，已知点，，，，则（

）A． B． C． D．4．已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．在矩形中，，，将沿对角线折起，使得点到达点的位置，若二面角的大小为，则的长度为（

）A． B． C． D．36．已知点和圆，以为直径的圆与圆交于，两点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．7．直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（

）A． B． C． D．18．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知平面的法向量为，设平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列结论正确的是（

）A．若，则平面平面B．若，则直线平面C．若，则平面平面D．若，则直线平面10．已知直线，圆，则（

）A．，与相交B．，使得圆心到的距离为C．，使得圆截所得的弦长为D．，使得圆上有4个点到的距离为211．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与的另一个交点为，过与垂直的直线与交于，两点，若，，则（

）A． B．椭圆的离心率为C．椭圆的方程为 D．的周长为13三、填空题12．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为.13．已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为.14．过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为.四、解答题15．已知圆经过，，三点.(1)求圆的方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程.16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积.17．已知正方体和平面，直线平面，直线平面，为线段的中点.

(1)证明：直线平面；(2)已知，当直线与平面所成角最大时，求的值.18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为.设，是椭圆上位于轴同侧的两点，且直线与直线平行，与交于点，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，求的长度；(3)证明：点在定椭圆上.19．在四棱锥中，，，，，且平面，(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值；(3)过点的平面与侧棱，，分别交于点，，，若四边形为菱形，求的长.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《山东省名校考试联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CBAAACDDACACD题号11答案ABD1．C【分析】根据直线点斜式方程的概念求解，再将直线方程化为一般式方程即可.【详解】直线的斜率为2，经过点，则直线的方程为，即.故选：C2．B【分析】利用椭圆的定义及标准方程即可得出结果.【详解】由题可得，所以，由，所以则的周长为，故B正确.故选：B.3．A【分析】根据向量的线性运算法则，可得，代入坐标，即可得答案.【详解】由题意所以.故选：A4．A【分析】由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列不等式求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为，若直线与圆相交，则，即，两边同时平方化简可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A5．A【分析】根据折叠前矩形的性质，结合二面角的定义，利用余弦定理和直角三角形的边角关系可求的长度.【详解】矩形中，过点作于点，过点作于点，并延长交于点.所以.因为，，所以.所以.所以.所以，所以是的中点.所以，.如图，将沿对角线折起，使得点到达点的位置.因为，所以为二面角的平面角，所以.中，，所以，所以.因为，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以.所以.故选：A6．C【分析】写出以线段为直径的圆的方程，公共弦的方程可通过两圆方程相减得到.【详解】已知点和圆以线段为直径的圆的方程为，即.两圆相交于点和，直线是两圆的公共弦。公共弦的方程可通过两圆方程相减得到：.简化得：.或等价地：.故选：C7．D【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率.【详解】设，，因为A，B两点在椭圆上，所以有，两式相减可得，即，因为点是线段AB的中点，根据中点坐标公式可得，即，．代入，可得，而就是直线的斜率k，所以直线的斜率为．因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件，故选：D8．D【分析】根据题中长度，可证OA，OB，OC两两垂直，如图建系，根据条件可得，设，，则，所以，，，四点共面，求得各点坐标，进而可得平面的一个法向量，根据点到平面距离的向量求法，即可求得答案.【详解】因为，，所以，即，同理可证OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，所以，设，，则，所以，，，四点共面，因为，，，，所以，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，因为，所以的最小值为.故选：D.9．AC【分析】由空间向量平行或垂直得到面面平行或垂直；由空间向量平行或垂直得到线面平行或垂直，逐个判断各个选项即可.【详解】设平面的法向量为∵，∴平面平面，A选项正确；∵，∴直线平面，B选项错误；∵，∴平面平面，C选项正确；∵，∴直线平面或平面，D选项错误；故选：AC.10．ACD【分析】根据直线所过的定点判断A，根据圆心到直线距离的最大值判断B，根据弦长求出后判断C，根据圆心到直线的距离小于求出的范围后判断D.【详解】由题设可得圆心，圆的半径为.对于A，直线可化为，故动直线过定点，而，故在圆的内部，故，与相交，故A正确；对于B，圆心到的距离，而，故B错误；对于C，若圆截所得的弦长为，则圆心到直线的距离，故，故，故C正确；对于D，若圆上有4个点到的距离为2，则圆心到直线的距离小于，而圆心，故圆心到直线的距离，故，故D正确；故选：ACD.11．ABD【分析】对A：结合椭圆定义与余弦定理计算即可得；对B：利用余弦定理可得，再利用等边三角形性质离心率定义计算即可得；对C：联立直线与曲线方程，结合弦长公式计算即可得；对D：由题可得为等边三角形，则为线段的垂直平分线，再利用焦点三角形周长公式计算即可得.【详解】如图：对A：，设，则，所以，化简得，即，则，故A正确；对B：由，则，，则，则，所以为等边三角形，所以，故B正确；对C：由，故，又，则，由，则、，故椭圆，，消去得，令、，则，，则，整理得，即，故，故C错误；对D：因为，为等边三角形，故为线段的垂直平分线，所以的周长为，故D正确.故选：ABD12．【分析】利用待定系数法可求椭圆的方程.【详解】设椭圆方程为，由椭圆过点，，故，故，故椭圆方程为：.故答案为：.13．/【分析】由题可建立空间直角坐标系，然后设，结合，求出，再求出平面的一个法向量，由平面，可得，即可求解.【详解】以D为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，则，，，设，因，可得，则，设平面的一个法向量为，则，令，可得，即，又因为平面，则，解得.故答案为：.14．/【分析】先表示出，问题转化为求解，即求解圆半径的最小值求解.【详解】设圆心为，则，.由题意可知，所以，因为，所以当时，有最小值，所以的最小值为.故答案为：15．(1)(2)或.【分析】（1）根据数量积为零可判断，从而可得圆是以为直径的圆，故可求其方程；（2）利用圆心到直线的距离为半径可求直线的斜率，从而可求切线方程.【详解】（1）因为，，所以，即，所以为圆的直径，且为的中点，所以，故，故圆的方程为.（2）若切线的斜率不存在，则，圆心到该线的距离为，故直线不为切线.设切线方程为，即；由题意可知，所以，即，所求直线方程为或.16．(1)(2)【分析】（1）根据椭圆定义可求长半轴长，再求出短半轴长后可求椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程后求出交点的横坐标，从而可求弦长，再求出左焦点到直线的距离后可求面积.【详解】（1）由题意可知，记.则，所以，故，所以椭圆的方程为.（2）由题设可得直线的斜率为，故其方程为，由得，所以，，所以.点到直线的距离为，所以的面积.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和向量坐标；根据线面平行的性质，平面的法向量与和都垂直，从而求解平面的法向量；再证明与该法向量平行，进而证明线面垂直.（2）用参数表示点的坐标，进而得到的坐标；根据线面角的向量公式，将线面角的正弦值表示为关于的函数；通过分析二次函数的最值，即可求出的值.【详解】（1）证明：设正方体的棱长为，以点为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，因为，所以，所以直线平面.（2）由已知，，又，则，所以，设直线与平面所成的角为，则，当时，取到最大值，此时.故当直线与平面所成角最大时，的值为.18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据轴时及离心率可求基本量，故可求椭圆方程；（2）延长交椭圆于点，由对称性求出后可得；（3）设，、，利用交轨法可求的坐标满足的方程，结合韦达定理消去所设的坐标后可得所在的轨迹方程，从而可判断点在定椭圆上.【详解】（1）当轴时，，故，解得，，所以椭圆的方程为.（2）延长交椭圆于点，由对称性可知，，所以，而直线的方程为，设，，由得，所以，，所以.所以的长为.（3）设，仍设，，设,则，由得：，,，；由题意：

①，

②；由①②：；因为，，所以③；由①+②④；由③④可得：即，所以，故，故点在定椭圆上.19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理求解即可.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用平面和平面夹角的向量求法求解即可.（3）设出关键点的坐标，结合菱形的性质建立方程组，求解参数得到，再利用建立