2025年四川省成都市中考数学试卷

第51页（共51页）2025年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）（2025•成都）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（）A．2℃ B．﹣2℃ C．﹣5℃ D．﹣7℃2．（4分）（2025•成都）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2025•成都）下列计算正确的是（）A．x+2y＝3xy B．（x3）2＝x5 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．2xy•3x＝6x2y4．（4分）（2025•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（4分）（2025•成都）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：人数元宇宙16脑机接口a人形机器人14根据图表信息，表中a的值为（）A．8 B．10 C．12 D．156．（4分）（2025•成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（）A．x+B．x+C．x+D．x7．（4分）（2025•成都）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等8．（4分）（2025•成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（）A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明在体育馆锻炼的时间为45min C．小明家到书店的距离为1km D．小明从书店到家步行的时间为40min二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）（2025•成都）若ab=3，则a+bb的值为10．（4分）（2025•成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为．11．（4分）（2025•成都）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为．12．（4分）（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，则电流I的值随电阻R值的增大而（填“增大”或“减小13．（4分）（2025•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（2025•成都）（1）计算：（14）﹣1-9+2cos45°+|（2）解不等式组：5x15．（8分）（2025•成都）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：物品完好度服务态度物流时长平台A92m90平台B95n88（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是；（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？16．（8分）（2025•成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈1.7317．（10分）（2025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使EC=BC，连接BE，交AC于点（1）求证：BE∥CD；（2）若sinD=23，BD＝1，求半圆O的半径及18．（10分）（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，（1）求k的值；（2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；（3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）（2025•成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是（填一个即可）．20．（4分）（2025•成都）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为．21．（4分）（2025•成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为．22．（4分）（2025•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为．23．（4分）（2025•成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：35=12+110．将311拆分成两个单位分数相加的形式为；一般地，对于任意奇数k（k＞2二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）（2025•成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的45，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7（1）求每个A种挂件的价格；（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．25．（10分）（2025•成都）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q．【特例感知】（1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ；【问题探究】（2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长；【拓展延伸】（3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若CQDQ=1n，求26．（12分）（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

2025年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCDBBADC一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）（2025•成都）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（）A．2℃ B．﹣2℃ C．﹣5℃ D．﹣7℃【考点】有理数的减法．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据题意列式计算即可．【解答】解：5﹣7＝﹣2（℃），即傍晚的气温是﹣2℃，故选：B．【点评】本题考查有理数的减法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．2．（4分）（2025•成都）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（）A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】C【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．【解答】解：A．主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；B．主视图是一个矩形（矩形内部有一条纵向的虚线），俯视图是三角形，故本选项不合题意；C．主视图和俯视图是圆，故本选项符合题意；D．主视图是三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，俯视图是四边形，四边形的内部有一点与三角形的四个顶点相连，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．（4分）（2025•成都）下列计算正确的是（）A．x+2y＝3xy B．（x3）2＝x5 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．2xy•3x＝6x2y【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】利用完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式法则逐项判断即可．【解答】解：x与2y不是同类项，无法合并，则A不符合题意，（x3）2＝x6，则B不符合题意，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则C不符合题意，2xy•3x＝6x2y，则D符合题意，故选：D．【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（4分）（2025•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】点的坐标．【专题】平面直角坐标系；运算能力．【答案】B【分析】根据各象限内点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵﹣2＜0，a2+1＞0，∴点P所在的象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．（4分）（2025•成都）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：人数元宇宙16脑机接口a人形机器人14根据图表信息，表中a的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【考点】统计表．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】B【分析】先根据“元宇宙”的人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再根据三个选项人数之和等于被调查的总人数即可求出选择“脑机接口”的人数a的值．【解答】解：由题意知，被调查的总人数为16÷40%＝40（人），则选择“脑机接口”的人数为40﹣（16+14）＝10（人），故选：B．【点评】本题主要考查统计表，解题的关键结合图标求出被调查的总人数及各项目人数之和等于总人数．6．（4分）（2025•成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（）A．x+B．x+C．x+D．x【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】根据等量关系：合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，即可列出方程组．【解答】解：依题意有：x+故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．7．（4分）（2025•成都）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等【考点】命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，即可判断．【解答】解：A、B、C中的命题是真命题，故A、B、C不符合题意；D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，掌握以上知识点是解题关键．8．（4分）（2025•成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（）A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明在体育馆锻炼的时间为45min C．小明家到书店的距离为1km D．小明从书店到家步行的时间为40min【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；几何直观．【答案】C【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：由图象可知：A．小明家到体育馆的距离为2.5km，故本选项不符合题意；B．小明在体育馆锻炼的时间为：45﹣15＝30（min），故本选项不符合题意；C．小明家到书店的距离为1km，故本选项符合题意；D．小明从书店到家步行的时间为：100﹣80＝20（min），故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）（2025•成都）若ab=3，则a+bb的值为【考点】比例的性质．【专题】分式．【答案】见试题解答内容【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：∵ab∴a+故答案为：4【点评】本题主要查了比例的性质，掌握其性质是解题的关键．10．（4分）（2025•成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为3．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】3．【分析】根据程序框图列出算式（15+3）÷6，进而计算即可．【解答】解：由题意知，输入的数x＝（15+3）÷6＝18÷6＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序框图列出算式．11．（4分）（2025•成都）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为2．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆．【答案】2．【分析】如图，连接AC，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出∠BCA的度数，进而推出△ACD为含30度角的直角三角形，进行求解即可．【解答】解：连接AC，∵正六边形ABCDEF，∴AB＝BC＝CD＝1，∠ABC∴∠BCA＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，∵正六边形为轴对称图形，∴∠CDA∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，12．（4分）（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，则电流I的值随电阻R值的增大而减小（填“增大”或“减小【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】减小．【分析】依据题意，由用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，则I是R的反比例函数，且k＝36＞【解答】解：由题意，∵用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36∴I是R的反比例函数，且k＝36＞0．∴电流I的值随电阻R值的增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．13．（4分）（2025•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为455【考点】勾股定理；作图—基本作图；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；尺规作图；运算能力；推理能力．【答案】45【分析】连接AD、CD，由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，则AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，再由勾股定理求出AC=5，然后由三角形面积求出OB【解答】解：如图，连接AD、CD，由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，∴AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC=A∵S△ABC=12AC•OB=12∴OB=AB∴BD＝2OB=4故答案为：45【点评】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、作图—基本作图以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（2025•成都）（1）计算：（14）﹣1-9+2cos45°+|（2）解不等式组：5x【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数幂．【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）3；（2）2＜x≤8．【分析】（1）利用负整数指数幂，算术平方根的定义，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可；（2）解各不等式得到对应的解集后再求得它们的公共部分即可．【解答】解：（1）原式＝4﹣3+2×22＝4﹣3+2+＝3；（2）解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≤8，故原不等式组的解集为2＜x≤8．【点评】本题考查解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握解不等式组的方法及相关运算法则是解题的关键．15．（8分）（2025•成都）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：物品完好度服务态度物流时长平台A92m90平台B95n88（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是10分；（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？【考点】极差；加权平均数．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】（1）10分；（2）m＝91，n＝90，平台A的服务态度更好；（3）该公司会选择平台B．【分析】（1）根据极差的概念求解即可；（2）根据算术平均数的定义列式计算出A、B平台服务态度的平均分，比较大小即可得出答案；（3）根据加权平均数的定义列式计算，继而比较大小即可得出答案．【解答】解：（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是96﹣86＝10（分），故答案为：10分；（2）m=17×（86+88+89+91+92+95+96n=17×（86+86+89+90+91+93+95∵91＞90，∴平台A的服务态度更好；（3）xA=110×xB=110×∵91.3＜92.1，∴该公司会选择平台B．【点评】本题主要考查极差、平均数，解题的关键是掌握极差、加权平均数和算术平均数的定义．16．（8分）（2025•成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈1.73【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米．【分析】根据题意，易得，∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，分别解Rt△ACD，Rt△ABC，进行求解即可．【解答】解：由题意，得：∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，在Rt△ACD中，AC＝CD•tan63.4°≈120米；在Rt△ABC中，AB=答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握以上性质是解题的关键．17．（10分）（2025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使EC=BC，连接BE，交AC于点（1）求证：BE∥CD；（2）若sinD=23，BD＝1，求半圆O的半径及【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．【专题】三角形；圆的有关概念及性质．【答案】（1）见解析；（2）半圆C的半径为2，EF=【分析】（1）连接AE，OC，切线得到OC⊥CD，等边对等角得到∠OAC＝∠OCA，圆周角定理得到∠EBC＝∠CAO，∠ACB＝90°，同角的余角得到∠OCA＝∠BCD，等量代换得到∠CBE＝∠BCD，即可得证；（2）连接AE，过点F作FH⊥AB于点H，设半圆O的半径为r，解直角三角形OCD，求出半径的长，进而求出AB的长，平行得到∠ABE＝∠D，解直角三角形ABE，求出AE，BE的长，根据EF＝FH，得到EFFB【解答】（1）证明：连接AE，OC，则OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，∴OC⊥CD，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠OCA＝∠BCD，∴∠CAB＝∠BCD，∵EC=∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD，∵∠CAE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠BCD，∴BE∥CD；（2）解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r．∵BD＝1，∴OD＝r+1，∵OC⊥CD，∴sinD=解得r＝2，∴半圆O的半径为2，∴AB＝2r＝4，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵EC=∴∠EAF＝∠BAF，∴AF平分∠BAE，如图，连接AE，过点F作FH⊥AB于点H，则EF＝FH，∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠HBF＝∠D，在Rt△ABE中，sin∠在Rt△HBF中，sin∠∵sinD=∴AEAB由AB＝4，解得AE=∴BE=∵EF＝FH，∴EFFB∴EFBEEF=2【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．18．（10分）（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，（1）求k的值；（2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；（3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）k＝2；（2）直线AD的函数表达式为y=12x+32；（3）点E【分析】（1）把B（3，0）代入y＝﹣x+b，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解；（2）连接AD，求出点C的坐标为（﹣1，﹣2），可得AC2＝20设点D的坐标为(m，2m)，可得到A（3）设点E的坐标为（t，2t），求出直线AE的解析式，可用t表示点E【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴的交点为B（3，0），∴0＝﹣3+b，解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，把A（a，2）代入y＝﹣x+3，得2＝﹣a+3，解得：a＝1，∴点A（1，2），把点A（1，2）代入y=k得k＝1×2＝2；（2）如图，连接AD，由（1）得：反比例函数的解析式为y=∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点A（1，2），∴点C的坐标为（﹣1，﹣2），∴AC2＝（1+1）2+（2+2）2＝20，设点D的坐标为(m∴AD2=(1-∵∠ACD＝90°，∴AD2＝CD2+AC2，∴(1-m解得：m＝﹣4或﹣1（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，-1设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1（k1≠0）把点（﹣4，-12）（1，2）代入得：解得：k∴直线AD的函数表达式为y=1（3）设点E的坐标为（t，2t设直线AE的解析式为y＝k2x+b2，把点（t，2t），（1，2得tk解得：k2∴直线AE的解析式为y=-2当y＝0时，0=-2解得x＝t+1，∴点P的坐标为（t+1，0），∴BP＝|t+1﹣3|＝|t﹣2|，∴S△∵△BEP的面积为2，∴12解得t=23或t＝﹣∴点E的坐标为（﹣2，﹣1）或(2【点评】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）（2025•成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是4x（答案不唯一）（填一个即可）．【考点】完全平方式；整式的加减．【专题】整式；运算能力．【答案】4x（答案不唯一）．【分析】根据完全平方公式进行解答即可．【解答】解：∵4x2+4x+1＝（2x+1）2，∴加上的单项式是：4x，故答案为：4x（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式．20．（4分）（2025•成都）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为12【考点】列表法与树状图法；解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好使得关于x的方程ax2+bx+1＝0有实数解的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，因为b2﹣4a≥0，所以能使该一元二次方程有实数根占3种，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为36故答案为：12【点评】此题考查了概率公式的应用，二元一次方程组的解以及根的判别式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（4分）（2025•成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为π6【考点】垂径定理；扇形面积的计算；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】π6【分析】根据菱形的判定与性质证明证明OB⊥AC，根据等边三角形的判定与性质证明∠AOB＝60°，利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOB计算即可．【解答】解：如图，连接OB．∵四边形OABC为平行四边形，∴AB＝OC，∵OA＝OC，∴OA＝AB，∴▱OABC是菱形，∵OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴S阴影＝S扇形AOB=60360π×12故答案为：π6【点评】本题考查垂径定理、菱形的性质，掌握垂径定理、菱形的判定与性质、扇形面积计算公式是解题的关键．22．（4分）（2025•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为4；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为2173【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】三角形；图形的相似．【答案】4，217【分析】作AH⊥BC．DG⊥BC．DF⊥AH，垂足分别为H．G．F，易得四边形DFHG为矩形，得到DG＝FH，DF＝HG，证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG＝DG，三线合一得到BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，证明△ADF∽△ACH，得到DFCH=ADAC=ADAD+CD=35，设DF＝3x，CH＝5x，求出DG，CG的长，正切的定义求出【解答】解：作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形，∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH，∵∠DBC＝45°∴△BDG为等腰直角三角形，∴BG＝DG，∵AB＝AC，∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACH，∴DFCH∴设DF＝3x，CH＝5x，则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x，∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x，∴BD=8∴在Rt△CGD中，tan∠由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22，∴x=∴BD=82x=83417，BC＝∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB，∴∠CDE＝∠CBD＝45°，又∵∠E＝∠E，∴△DEC∽△BED，∴DEBE∴DE=834CE，DE2＝BE•CE＝（BC+CE∴(8解得：CE＝0（舍去）或CE=2故答案为：4，217【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形是解题的关键．23．（4分）（2025•成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：35=12+110．将311拆分成两个单位分数相加的形式为311=14+144【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法；真分数、假分数和带分数；分数的加减法．【专题】规律型．【答案】311=1【分析】先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空分别求得k＝3、5、7…2n+1对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案．【解答】解：311由题意，当k＝3＝2×1+1时，23当k＝5＝2×2+1时，25当k＝7＝2×3+1时，27…，当k＝2n+1时，2k又∵n=k∴对于任意奇数k（k＞2），2k故答案为：311=1【点评】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）（2025•成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的45，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7（1）求每个A种挂件的价格；（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元；（2）该游客最多购买11个A种挂件．【分析】（1）依据题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为45x元，可得30045x（2）依据题意，设该游客购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为45×25＝20元，可得25m+20（m+5）【解答】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为45x∴30045∴x＝25．经检验：x＝25是原方程的根．答：每个A种挂件的价格为25元．（2）由题意，设该游客购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为45×25＝∴25m+20（m+5）≤600．∴m≤50045=又∵m为整数，∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件．【点评】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．25．（10分）（2025•成都）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q．【特例感知】（1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ；【问题探究】（2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长；【拓展延伸】（3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若CQDQ=1n，求【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2n【分析】（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，再结合平行四边形的性质可得∠PCG＝∠QFG，然后根据三角形内角和定理可得∠CQE＝∠P，即可求证；（2）根据全等三角形的性质可得EQ＝EP，从而得到FQ＝CP，可证明△FQG≌△CPG，从而得到FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，再由折叠的性质得：AF＝AB，再根据△CGP∽△BAP，可得AB＝12，即可求解；（3）延长AD，EQ交于点M，设CQ＝a，BE＝b，证明△DQM∽△CQE得出DM＝2bn，证明△FEP∽△CEQ，得出PF=12a，证明△AMF∽△PEF，得出EP=3+2n2n+2b，进而求得【解答】解：（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＝∠PCG，∴∠AFE＝∠PCG，∵∠AFE＝∠QFG，∴∠PCG＝∠QFG，∵∠FGQ＝∠CGP，∴∠CQE＝∠P，∵CE＝BE，BE＝EF，∴EF＝EC，又∵∠CEQ＝∠FEP，∴△EFP≌△ECQ（AAS）；（2）∵△EFP≌△ECQ，∴EQ＝EP，∵EF＝EC，∴FQ＝CP，∵∠FGQ＝∠CGP，∠CQE＝∠P，∴△FQG≌△CPG（AAS），∴FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，由折叠的性质得：AF＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△CGP∽△BAP，∴CGAB∴3AB=5AB+3+5∴CD＝12，∴DQ＝CD﹣CG﹣QG＝4；（3）如图，延长AD，EQ交于点M，设CQ＝a，BE＝b∴CQDQ=1n，CE∴DQ＝an，EC＝2b，∴AB＝CD＝（n+1）a，AD＝3b，∵△ABE关于AE折叠，∴AF＝AB＝（n+1）a，∵AD∥BC，即DM∥EC，∴△DQM∽△CQE，∴DMEC=DQ∴DM＝2bn∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADQ，又∵△ABE关于AE折叠，∴∠AFE＝∠B，∵∠AFQ+∠AFE＝180°，∴∠AFQ+∠ADQ＝180°，∴∠DAF+∠DQF＝180°，∵∠EQC+∠DQF＝180°，∴∠EQC＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠FPE，∴∠EQC＝∠FPE，又∵∠FEP＝∠CEQ，∴△FEP∽△CEQ，∴EFEC=FP∴PF=∵AD∥BC，∴△AMF∽△PEF，∴AMEP∴(3+2n解得：EP=∴CP=又∵PC∥AD，∴△GPC∽△GAD，∴CGDG【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．26．（12分）（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）-14≤h≤2+2；（3）抛物线的对称轴上存在T(1【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）求出D，E点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，根据抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，得到抛物线与直线AB有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果；（3）先求出C点坐标，进而求出直线PQ的解析式，联立抛物线与直线AB，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出M点坐标，同理求出N点坐标，作MH⊥CT，NF⊥CT根据TC平分∠MTN，得到tan∠NTF＝tan∠MTH，设T（1，t），根据正切的定义，列出比例式进行求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，∴-b解得a=1则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x；（2）当k＝1时，则y＝x﹣1，∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1，∴D（0，﹣1），E（2，1），∵y＝（x﹣h）2﹣1，∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，∴联立y=(整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0，∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0，即h=-将y=(x-h)2-1从h=-14开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1，解得：h=2-∴当-14≤h≤2+2时，抛物线y＝（x﹣h）2（3）存在，∵y＝kx﹣k，∴当y＝0时，x＝1，∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点C在抛物线的对称轴上，∵PQ过点C，且与直线AB垂直，∴直线PQ的解析式为：y=-1k联立y=kx-ky=x2-2x，整理，得x∴xA+xB＝k+2，yA∵M为AB的中点，∴M(k联立y=-同理可得：N(1-1作MH⊥CT，NF⊥CT，∵TC平分∠MTN，∴∠NTF＝∠MTH，∴tan∠NTF＝tan∠MTH，∴MHTH设T（1，t），则k+2解得：t=-∴抛物线的对称轴上存在T(1，-12)，使得【点评】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．

考点卡片1．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．2．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．5．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．6．整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．（2）整式的加减实质上就是合并同类项．（3）整式加减的应用：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题．【规律方法】整式的加减步骤及注意问题1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．7．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．8．单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．9．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．10．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”11．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．12．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．13．由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．14．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．15．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．16．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．17．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．18．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．20．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．21．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．22．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．23．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．24．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．25．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．26．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．27．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．28．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．29．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、30．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．31．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．32．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．33．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．34．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．35．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．