2025年浙江省杭州市中考数学模拟试卷

第50页（共50页）2025年浙江省杭州市中考数学模拟试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）（2025•杭州模拟）某校对班级考核打分方案为：卫生分数占40%，课间纪律分数占30%，课堂纪律分数占30%．九年级（1）班某学期这三部分的成绩依次为91分、95分、93分，则九年级（1）班某学期的考核分数为（）A．92 B．92.5 C．92.8 D．932．（3分）（2017•罗山县三模）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（ab）2＝a2b2 C．（a3）2＝a5 D．a8÷a2＝a43．（3分）（2025•盐都区模拟）十八世纪，德国物理学家恩斯特•克拉德尼通过实验揭示了振动与几何对称性的关联：当金属薄板受迫振动时，表面均匀分布的细沙会因振动模态差异形成各式图案，这些图案均称为克拉尼图形．下列四幅克拉尼图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）（2025•杭州模拟）由5个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）（2025•杭州模拟）把抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣3）2+2 B．y＝﹣2（x+1）2+4 C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣3）2+46．（3分）（2025•杭州模拟）如果x=my=n是方程2x﹣3y＝2025的一组解，那么代数式2024﹣A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）（2022•达州）下列命题是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是18．（3分）（2025•鲁山县二模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A＝87°，∠B＝51°，AB＝60，则点A到BC的距离（）A．60sin51° B．60cos51° C．60sin51° D9．（3分）（2025•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝8，点D为AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△B′CD，过点A作AF∥BC交DB′于点E，交CB′于点F，若AE＝B′E，则BD的长为（）A．4 B．4011 C．5 D．10．（3分）（2025•杭州模拟）顶角等于36°的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比5-12．如图①，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C匀速运动至点C，若点P的运动速度为4cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP长度为y（cm），y与t函数图象如图②所示，当AP恰好平分∠BACA．85-8 B．85+8 C．二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．11．（3分）（2025•杭州模拟）杭州市人民政府发布的信息，2024年末全市户籍人口875.7万．用科学记数法表示为．12．（3分）（2015•景德镇三模）使得函数y=1-xx-1有意义的x13．（3分）（2025•杭州模拟）分解因式：3am2﹣27a＝．14．（3分）（2025•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1；若将Rt△ABC绕C点按顺时针旋转到△A1B1C1的位置（A、C、B1在同一直线上），那么AC运动到A1C1所经过的图形的面积是．15．（3分）（2025•杭州模拟）已知3x﹣2y＝5，且x＞﹣1，y≤2，若k＝x﹣y，则k的取值范围是．16．（3分）（2025•杭州模拟）如图，点A在反比例函数y1=6x的图象上，点B在反比例函数y2=kx的图象上，且AB∥x轴，若△AOB的面积为7，则k的值为17．（3分）（2025•杭州模拟）一个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是．18．（3分）（2025•杭州模拟）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是．19．（3分）（2025•平房区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC=34，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠20．（3分）（2025•杭州模拟）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是°．三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（6分）（2025•杭州模拟）请你说明，在代数式x2-222．（9分）（2025•杭州模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数；（3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8．23．（9分）（2020•香坊区模拟）哈尔滨市某校成立了“航模”、“古诗词欣赏”、“音乐”、“书法”四个兴趣小组，为了解兴趣小组报名的情况，对本校参加报名的部分学生进行了抽查（参加报名的学生，每名学生必报且限报一个兴趣小组），学校根据调查的数据绘制了以下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）此次共调查了名学生，扇形统计图中“航模”部分的圆心角是度；（2）补全条形统计图；（3）现该校共有800名学生报名参加了这四个兴趣小组，请你估计其中有多少名学生选修“古诗词欣赏”．24．（9分）（2024•丽江二模）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属于违法行为．为确保行安全，丽江到攀枝花270千米的高速公路全程限速120千米/小时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/小时）．以下是王师傅和李师傅在全程行驶完这段高速公路后的对话片断．王师傅：“李师傅，你的平均车速是我的1.2倍，行驶完全程比我少用了半个小时．”李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊!”根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由．25．（9分）（2025•杭州模拟）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式．（2）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作PD∥y轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝15，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（9分）（2021•无棣县二模）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，其外接圆的半径为r．【探究】（1）如图甲，作直径BD，若r＝3，发现asinA的值为（2）猜想asinA，bsinB，【应用】（3）如图乙，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．27．（9分）（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，tan∠BAO=43（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，P为x轴正半轴上一点，C为AB的中点，连接CP，设△ACP的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，直线y＝kx﹣12k交x轴、y轴于点D、E，交直线AB于点F，OP-DP=13OA，G为y轴负半轴上一点，连接CG交x轴于点H，OH=117AH，过点P作PI⊥x轴交DE于点I，L为PI上一点，连接EL，J为EL上一点，连接JG，∠DIP+∠EJG＝180°，且∠FAD﹣∠FDA＝2∠OED﹣∠BFE，EJ：I＝5；42，M为x轴负半轴上一点，连接EM、LM、LN，若N为EM

2025年浙江省杭州市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBCBBADABB一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）（2025•杭州模拟）某校对班级考核打分方案为：卫生分数占40%，课间纪律分数占30%，课堂纪律分数占30%．九年级（1）班某学期这三部分的成绩依次为91分、95分、93分，则九年级（1）班某学期的考核分数为（）A．92 B．92.5 C．92.8 D．93【考点】加权平均数；有理数．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】C【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：九年级（1）班某学期的考核分数为91×40%+95×30%+93×30%＝36.4+28.5+27.9＝92.8（分），故选：C．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．2．（3分）（2017•罗山县三模）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（ab）2＝a2b2 C．（a3）2＝a5 D．a8÷a2＝a4【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【答案】B【分析】依据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则进行计算即可．【解答】解：A．a2•a3＝a5，故A错误；B．（ab）2＝a2b2，故B正确；C．（a3）2＝a6，故C错误；D．a8÷a2＝a6，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是幂的运算性质，熟练掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则是解题的关键．3．（3分）（2025•盐都区模拟）十八世纪，德国物理学家恩斯特•克拉德尼通过实验揭示了振动与几何对称性的关联：当金属薄板受迫振动时，表面均匀分布的细沙会因振动模态差异形成各式图案，这些图案均称为克拉尼图形．下列四幅克拉尼图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】C【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．【解答】解：根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合进行判断如下：A、原图既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、原图既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；D、原图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，正确记忆相关知识点是解题关键．4．（3分）（2025•杭州模拟）由5个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；几何直观．【答案】B【分析】根据从上面看到的图形就是俯视图即可得到答案．【解答】解：该几何体从上向下看，其俯视图是：，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．5．（3分）（2025•杭州模拟）把抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣3）2+2 B．y＝﹣2（x+1）2+4 C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣3）2+4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣1+2）2+3+1，即y＝﹣2（x+1）2+4．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．（3分）（2025•杭州模拟）如果x=my=n是方程2x﹣3y＝2025的一组解，那么代数式2024﹣A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】二元一次方程的解；代数式求值．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据二元一次方程的解的定义把x=my=n代入方程2x﹣3y＝2025中得到2m﹣【解答】解：把x=my=n代入方程2x﹣3y＝2025中，得2m﹣∴2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2025＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，正确求出2m﹣3n＝2025是解题的关键．7．（3分）（2022•达州）下列命题是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1【考点】命题与定理；概率公式；不等式的性质；对顶角、邻补角；圆周角定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】根据对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式判断即可．【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；C、若a＜b，c＝0时，则ac2＝bc2，原命题是假命题；D、在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是13故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式等知识，难度不大．8．（3分）（2025•鲁山县二模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A＝87°，∠B＝51°，AB＝60，则点A到BC的距离（）A．60sin51° B．60cos51° C．60sin51° D【考点】解直角三角形的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】A【分析】过点A作AD⊥BC，构造Rt△ADB，则AD的长度就是点A到BC的距离，利用sin∠B=【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°，∵∠B＝51°，AB＝60，∴sin51°=∴AD＝60sin51°．故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．9．（3分）（2025•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝8，点D为AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△B′CD，过点A作AF∥BC交DB′于点E，交CB′于点F，若AE＝B′E，则BD的长为（）A．4 B．4011 C．5 D．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】过F作FH⊥BC于H，设BD＝x，由折叠的性质得到B′D＝BD＝x，B′C＝BC＝8，∠B′＝∠B＝90°，判定四边形ABHF是矩形，推出FH＝AB＝5，BH＝AF，判定△AED≌△B′EF，推出DE＝EF，FB′＝AD＝5﹣x，得到CF＝CB′﹣FB′＝x+3，AF＝DB′＝x，求出CH＝BC﹣BH＝8﹣x，由勾股定理得到（x+3）2＝52+（8﹣x）2，求出x=4011，得到BD的长为【解答】解：过F作FH⊥BC于H，设BD＝x，∴AD＝AB﹣BD＝5﹣x，∵将△BCD沿CD翻折得到△B′CD，∴B′D＝BD＝x，B′C＝BC＝8，∠B′＝∠B＝90°，∵AF∥BC，∠B＝90°，∴四边形ABHF是矩形，∴FH＝AB＝5，BH＝AF，∵AE＝B′E，∠AEF＝∠B′EF，∠DAE＝∠B′，∴△AED≌△B′EF，∴DE＝EF，FB′＝AD＝5﹣x，∴CF＝CB′﹣FB′＝x+3，∵AE+EF＝B′E+DE，∴AF＝DB′＝x，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝8﹣x，∵CF2＝FH2+CH2，∴（x+3）2＝52+（8﹣x）2，∴x=40∴BD的长为4011故选：B．【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于x的方程．10．（3分）（2025•杭州模拟）顶角等于36°的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比5-12．如图①，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C匀速运动至点C，若点P的运动速度为4cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP长度为y（cm），y与t函数图象如图②所示，当AP恰好平分∠BACA．85-8 B．85+8 C．【考点】动点问题的函数图象．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】作∠BAC的平分线AP交BC于点P，先证AP＝AC＝BP，再证△APC∽△BAC，利用相似三角形的性质，即可求解．【解答】解：如图，作∠BAC的平分线AP交BC于点P，由题意中的函数图象得：AB＝BC＝4×4＝16，∵∠B＝36°，∴∠BAC＝∠＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝∠B+∠BAP＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴APBA∴AP×AC＝AB×PC，∴AP2＝AB•PC＝16（16﹣AP），解得：AP=85-∴BP=8∴AB+BP＝16+85-8=8∴点P运动的路程是85故选：B．【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．11．（3分）（2025•杭州模拟）杭州市人民政府发布的信息，2024年末全市户籍人口875.7万．用科学记数法表示为8.757×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】8.757×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：875.7万＝8757000＝8.757×106．故答案为：8.757×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）（2015•景德镇三模）使得函数y=1-xx-1有意义的x的取值范围是x≥0【考点】函数自变量的取值范围．【答案】见试题解答内容【分析】根据分母不为0，二次根式中被开方数为非负数，列出不等式，即可解答．【解答】解：根据题意得，x≥0且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1，所以自变量x的取值范围是x≥0且x≠1．故答案为：x≥0且x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：使函数关系式成立，若函数关系中有分母则分母不为0，若含二次根式，则二次根式中被开方数为非负数，然后建立不等式组，求出不等式的解集得到自变量的取值范围．13．（3分）（2025•杭州模拟）分解因式：3am2﹣27a＝3a（m+3）（m﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】整式；运算能力．【答案】3a（m+3）（m﹣3）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：3am2﹣27a＝3a（m2﹣9）＝3a（m+3）（m﹣3），故答案为：3a（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．14．（3分）（2025•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1；若将Rt△ABC绕C点按顺时针旋转到△A1B1C1的位置（A、C、B1在同一直线上），那么AC运动到A1C1所经过的图形的面积是43π【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；扇形面积的计算；旋转的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．【答案】43π【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可求AC，根据直角三角形的性质和旋转的性质可求∠A1CA＝120°，再根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AC＝2，∠ACB＝60°，由旋转的性质可求，∠A1C1B1＝60°，∴∠A1CA＝120°，∴AC运动到A1C1所经过的图形的面积是120×π×故答案为：43π【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质和旋转的性质，关键是求出AC，∠A1CA＝120°．15．（3分）（2025•杭州模拟）已知3x﹣2y＝5，且x＞﹣1，y≤2，若k＝x﹣y，则k的取值范围是1≤k＜3．【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】1≤k＜3．【分析】先把3x﹣2y＝5，变形为y=3x-52，再由y≤2，可得3x-52≤2，解得x≤3，从而可得﹣1＜x≤3，再把y=3x-5【解答】解：∵3x﹣2y＝5，∴y=3∵y≤2，∴3x-∴x≤3，∵x＞﹣1，∴﹣1＜x≤3，∵k＝x﹣y，∴k＝x-3当x＝﹣1时，k＝3，当x＝3时，k＝1，∴1≤k＜3，∴k的取值范围是：1≤k＜3，故答案为：1≤k＜3．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（3分）（2025•杭州模拟）如图，点A在反比例函数y1=6x的图象上，点B在反比例函数y2=kx的图象上，且AB∥x轴，若△AOB的面积为7，则k的值为【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】20．【分析】延长BA交y轴于点D，利用反比例系数k的几何意义和△AOB的面积求k．【解答】解：延长BA交y轴于点D，∵AB∥x轴，∴BD⊥y轴，∴S△AOD=|6|2=3，S△∵S△AOB=|6|2∴|k|2-解得：k＝±20，∵函数图象经过第一象限，∴k＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，关键是延长BA交y轴于点D，表示出△BDO和△ADO．17．（3分）（2025•杭州模拟）一个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是23【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．【答案】23【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，恰好摸出1颗红球1颗白球的结果有8个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好摸出1颗红球1颗白球的结果有8个，∴恰好摸出1颗红球1颗白球的概率为812故答案为：23【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（3分）（2025•杭州模拟）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是（7522020）°【考点】等腰三角形的性质；规律型：图形的变化类．【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（7522020）【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C=12×150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1=12∠BA【解答】解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．∴2∠BA1C＝150°．∴∠BA1C=12×150°∵A1A2＝A1D，∴∠DA2A1＝∠A1DA2．∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．∴∠DA2A1=12∠BA1C=同理可得：∠EA3A2=12∠DA2A1=…以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An＝（12）n×150°＝（12）n﹣1∴以A2021为顶点的内角度数是（12）2020×75°＝（7522020故答案为：（7522020）【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．19．（3分）（2025•平房区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC=34，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠【考点】作图—基本作图；解直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】12【分析】由作图知，BP是∠ABC的角平分线，得到∠CBP＝∠PBA，求得tan∠PBA＝tan∠CBP，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理得到AB=BC2+AC2=5x，设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，得到【解答】解：由作图知，BP是∠ABC的角平分线，∴∠CBP＝∠PBA，∴tan∠PBA＝tan∠CBP，∵∠C＝90°，tan∠∴BCAC∴设BC＝3x，AC＝4x，∴AB=BC2设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，∴CD＝DE，∴S△ABC=12AC•BC=12BC•CD+∴3x•4x＝（3x+5x）•CD，∴CD=32∴tan∠PBA＝tan∠CBP=CD故答案为：12【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．20．（3分）（2025•杭州模拟）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是15°．【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】见试题解答内容【分析】如图，延长EC交AB于H．利用三角形的外角的性质求出∠AEH，再证明∠DEB＝∠AEH即可解决问题．【解答】解：如图，延长EC交AB于H．∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠EHB＝60°，∵∠EHB＝∠A+∠AEH，∠A＝45°，∴∠AEH＝60°﹣45°＝15°，∵∠AEB＝∠CED，∴∠DEB＝∠AEH＝15°，故答案为15．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（6分）（2025•杭州模拟）请你说明，在代数式x2-2【考点】分式的化简求值；分式有意义的条件．【专题】分式；运算能力．【答案】答案见解析．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据化简结果证明即可．【解答】解：原式=(x=1=3＝3，所以在代数式有意义的情况下，无论x取何值，代数式的值都不变．【点评】本题考查的是分式的化简，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．22．（9分）（2025•杭州模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数；（3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8．【考点】作图—应用与设计作图；无理数；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】图（1）直角三角形，使它的三边长都是有理数三边可以分别为：3，4，5；图（2）等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数三边可以分别为：10，10，20；图（3）画一个正方形，使它的面积是【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理逆定理是解题关键．23．（9分）（2020•香坊区模拟）哈尔滨市某校成立了“航模”、“古诗词欣赏”、“音乐”、“书法”四个兴趣小组，为了解兴趣小组报名的情况，对本校参加报名的部分学生进行了抽查（参加报名的学生，每名学生必报且限报一个兴趣小组），学校根据调查的数据绘制了以下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）此次共调查了200名学生，扇形统计图中“航模”部分的圆心角是144度；（2）补全条形统计图；（3）现该校共有800名学生报名参加了这四个兴趣小组，请你估计其中有多少名学生选修“古诗词欣赏”．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】数据的收集与整理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据阅读写作的有50人，所占的百分比是25%，即可求得调查的总人数，利用360°乘以对应的比例即可求得扇形圆心角的度数；（2）用总人数减去其它各组的人数，求得“音乐”兴趣小组的人数，即可作出统计图；（3）根据选修“古诗词欣赏”的人数所占的百分比，即可估计全校有多少名学生选修“古诗词欣赏”．【解答】解：（1）调查的总人数是：50÷90360扇形统计图中“航模”部分的圆心角是：360×80200故答案为：200，144；（2）“音乐”兴趣小组的人数是：200﹣80﹣30﹣50＝40（人）．如图所示：（3）根据题意得800×30200答：估计其中有120名学生选修“古诗词欣赏”．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（9分）（2024•丽江二模）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属于违法行为．为确保行安全，丽江到攀枝花270千米的高速公路全程限速120千米/小时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/小时）．以下是王师傅和李师傅在全程行驶完这段高速公路后的对话片断．王师傅：“李师傅，你的平均车速是我的1.2倍，行驶完全程比我少用了半个小时．”李师傅：“虽然我的平均车速比你的快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊!”根据以上对话，你认为李师傅在行驶过程中是否有超速？请说明理由．【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】设王师傅的平均车速为x千米/小时，则李师傅的平均车速为1.2x千米/小时，列出方程求解比较即可．【解答】解：李师傅在行驶过程中没有超速．理由：设王师傅的平均车速为x千米/小时，则李师傅的平均车速为1.2x千米/小时．得270x-2701.2x经检验：x＝90是分式方程的解．∴平均车速为1.2x＝108（千米/小时），∴最快车速为108×（1+10%）＝118.8（千米/时）．∵120＞118.8，∴李师傅在行驶过程中没有超速．【点评】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题关键．25．（9分）（2025•杭州模拟）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式．（2）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作PD∥y轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝15，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，y＝x﹣1；（2）最大值为94，点P的坐标为(（3）存在，（﹣1，8）或（6，15）．【分析】（1）分别求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设P（t，t2﹣4t+3），则D（t，t﹣1），可得DP＝﹣（t-52）2+94，当t=52时，线段DP有最大值，最大值为9（3）过点Q作QG∥y轴交AB于点G，设Q（n，n2﹣4n+3），则G（n，n﹣1），则S△ABQ=12×3×|n2﹣5n+4|＝15，求出n【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4+m，∴C（0，4+m），∵二次函数y＝（x﹣2）2+m的对称轴为直线x＝2，∴B（4，4+m），将A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m，∴m+1＝0，解得m＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，∴C（0，3），B（4，3），将A（1，0），B（4，3）代入y＝kx+b，∴k+解得k=1∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；（2）设P（t，t2﹣4t+3），则D（t，t﹣1），∵点P从A点沿抛物线向B点运动且点P不与A、B重合，∴1＜t＜4，∴DP＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t-52）2∴当t=52时，线段DP有最大值，最大值为94，此时点P的坐标为（3）存在点Q，使S△ABQ＝15，理由如下：∵B（4，3），A（1，0）过点Q作QG∥y轴交AB于点G，设Q（n，n2﹣4n+3），则G（n，n﹣1），∴QG＝|n2﹣4n+3﹣n+1|＝|n2﹣5n+4|，∴S△ABQ=12×3×|n2﹣5n+4|解得n＝6或n＝﹣1，∴Q（﹣1，8）或（6，15）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．26．（9分）（2021•无棣县二模）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，其外接圆的半径为r．【探究】（1）如图甲，作直径BD，若r＝3，发现asinA的值为6（2）猜想asinA，bsinB，【应用】（3）如图乙，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．【考点】圆的综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）在图甲中，连接DC，推出∠A＝∠D，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出sinD=BCBD=a2r，得到sinA=a（2）由（1）推出，在Rt△DBE中，asinA=BD=2r，同理，b（3）在图乙中，先求出∠ACB＝60°，∠ABC＝75°，∠A＝45°，再求出BC＝30海里，由（2）所得结论，在△ABC中，通过ABsin∠ACB【解答】解：（1）如图甲，连接DC，则∠A＝∠D，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴在Rt△BCD中，sinD=BC∴sinA=a∴asinA=2r＝故答案为：6；（2）asinA理由如下：如图甲，由（1）知，∠D＝∠A，∠BCD＝90°，在Rt△DBE中，asinA同理：bsinB=2r∴asinA（3）作如图乙所示辅助线，则∠BHC＝90°，∴∠HBC＝90°﹣∠HCB＝60°，∠HBA＝90°﹣75°＝15°，∴∠ABC＝∠HBC+∠HBA＝75°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝45°，由题意知，BC＝60×0.5＝30（海里），由（2）知，在△ABC中，ABsin即ABsin解得，AB=15∴货轮距灯塔的距离为156【点评】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数等，解题关键是掌握探究推理的过程，并能够将推理的结论运用于解决问题．27．（9分）（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，tan∠BAO=43（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，P为x轴正半轴上一点，C为AB的中点，连接CP，设△ACP的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，直线y＝kx﹣12k交x轴、y轴于点D、E，交直线AB于点F，OP-DP=13OA，G为y轴负半轴上一点，连接CG交x轴于点H，OH=117AH，过点P作PI⊥x轴交DE于点I，L为PI上一点，连接EL，J为EL上一点，连接JG，∠DIP+∠EJG＝180°，且∠FAD﹣∠FDA＝2∠OED﹣∠BFE，EJ：I＝5；42，M为x轴负半轴上一点，连接EM、LM、LN，若N为EM【考点】一次函数综合题．【专题】一次函数及其应用；推理能力．【答案】（1）y=（2）S＝4t+48；（3）y=【分析】（1）根据已知条件易得点A和点B的坐标，设出直线的解析式，代入点的坐标计算求解即可；（2）易知点C到AP的距离，用点P的横坐标表示AP的长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可；（3）根据已知条件易得点D、点P、点E、点H的坐标，从而可得直线CH的解析式，易得点G的坐标，进而可得线段EO、GO、OP、OD的长度，根据已知条件可判定△ELI和△GEJ相似，结合已知相似比可得线段EL的长度，可得点L的坐标，作MS⊥EL，综合三角形相似的判定和性质可得LN⊥ME，进而得出ML的长度，根据勾股定理可得线段MP的长度，进而得出点M的坐标，设直线ML的解析式，代入点L和点M的坐标，计算求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，tan∠BAO=43∴BO=45∴A（﹣12，0），B（0，16），设直线AB的解析式为y＝ax+b，则-12解得，a=∴y=（2）如图，作CQ⊥x轴于点H，则CH=∵点P在x轴正半轴上，且横坐标为t，∴OP＝t，∴S=（3）∵直线y＝kx﹣12k交x轴于点D，∴D（12，0），∴OP+DP＝OD＝12，∵OP-DP=13∴OP＝8，∵OH=117AH，OH+AH＝∴OH=∴H(-∵∠FAD﹣∠FDA＝2∠OED﹣∠BFE，∴∠FAD﹣∠FDA＝2（90°﹣∠FDA）﹣（∠FAD+∠FDA）＝180°﹣3∠FDA﹣∠FAD，∴∠FAD+∠FDA＝90°，∴∠AFD＝90°，∵C（﹣6，8），H(-∴直线CH的解析式为y=-∴G（0，﹣1），∵OD＝12，tan∠∴E（0，9），∴EG＝10，∵PI⊥x轴，EG⊥x轴，∴PI∥EG，∴∠ELI＝∠GEJ，∵∠DIP+∠EJG＝180°，∴∠EJG＝180°﹣∠DIP＝∠LIE，∴△EJG∽△LIE，∴EG：∴LE=如图，作MS⊥EL于点S，交NL于点T，连接NS，则∠LEN+∠EMS＝90°，∵点N为EM的中点，∴NS=∴∠NSM＝∠NMS，∵∠LEN+∠MLN＝∠AFD，∠AFD＝90°，∴∠NLM＝∠EMS＝∠NSM，又∵∠NTS＝∠LTM，∴△NST∽△MTL，∴TNTM又∵∠NTM＝∠STL，∴△NTM∽△STL，∴∠MNT＝∠LST＝90°，又∵点N为EM的中点，∴LM=如图，作LK⊥EG于点K，则KL＝OP＝8，∴EK=∴LP＝KO＝1，∴L（8，1），MP=∴M(8-设直线ML的解析式为y＝mx+n，则8m解得：m=∴y=【点评】本题主要考查了一次函数和几何的综合，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理．

考点卡片1．有理数我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数．我们还学习过正分数，如12，23，157，0.1，5.32，0.3⋅，……；负分数，如-52，-23，进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=21；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3=-31；可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．0.1=110，﹣0.5=-12，0.2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如2，（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．4．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．5．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．6．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．7．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．8．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．9．提公因式法与公式法的综合运用先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．10．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．11．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．12．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．13．解二元一次方程二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．14．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．15．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．16．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．17．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．18．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．19．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．20．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|21．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．22．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．23．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．24．角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．25．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．26．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．27．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．28．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE29．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．30．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．31．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．32．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．33．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．34．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：235．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．36．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．37．圆的综合题考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．38．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．39．作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．40．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．41．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割