椭圆及其标准方程2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆及其标准方程第三课时②若焦点的位置不确定,可设方程为：先设后求待定系数法求椭圆标准方程的步骤：

依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；(1)作判断：(2)设方程：①依据上述判断设方程为或(3)找关系：依据条件,建立a,b或m,n的方程组.(4)得方程：

解方程组,将a,b或m,n代入所设方程即为所求。复习回顾：“坐标法”求轨迹方程题型三直接法(坐标法):题目中的条件有明显的等量

关系,或者可以利用平面几何知识推出等量关系,

列出含动点(x,y)的解析式．例1.

如图,设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是

,求点M的轨迹方程.yxMOBA若不清楚轨迹类型，常用坐标法求轨迹方程。轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系一般说来,若是“求轨迹方程”,求得方程就可以了;若是“求轨迹”,求得方程还不够,还应指出方程所

表示的曲线的类型.轨迹与轨迹方程是两个有相关性的不同概念．练习：P1094已知点M(-2,0),N(2,0),点P是曲线C:+y2=1(y≠0)上的动点,直线PM与PN的斜率之积为________.

yxPONM(x0,y0)变式：【解析】设P(x0,y0),因为点P在曲线C上,所以(y0≠0),直线PM与PN的斜率之积为

“定义法”求轨迹方程题型四定义法:分析题设几何条件,根据圆锥曲线的定义,判断轨迹是何种类型的曲线,直接求出该曲线的方程.

已知圆A:(x＋3)2＋y2＝100,圆A内一定点B(3,0),动圆P过B点且与圆A内切,求动圆心P的轨迹方程．例2.xyABPoM定义法:某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的定义,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程。"定义法"求轨迹方程的一般步骤:一定曲线二定方程三定范围[规律方法]1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法．2.一般步骤：(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;(3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程．练习:练习:解：设动圆的圆心为P(x,y),与已知圆O1、O2切于M,N两点,则：故此圆心轨迹为椭圆。MN2.求与圆外切且与圆

内切的动圆圆心P的轨迹。反思感悟

求轨迹方程的常用方法(1)直接法设出曲线上动点的坐标为(x,y)后,可根据几何条件直接转换成x,y间的关系式；(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义,可用待定系数法求出轨迹方程；(3)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去.椭圆的焦点三角形的问题椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．题型五12yoFFPxr1r2分析:(1)由|PF1|＋|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积．椭圆中的焦点三角形问题

例3.12yoFFPx例3.12yoFFPx例3.12yoFFPx例3.12yoFFPx方法总结：

椭圆上的点与两焦点组成的三角形称为焦点三角形,在处理焦点三角形时,常由正弦定理或余弦定理列出

与的关系式,并结合椭圆的定义列出,利用这两个关系式求得结果。F2xyOPF1F2xyOPF11.椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之差为2,试判断∆PF1F2的形状.F2xyOPF1练习:直角三角形依题意,有可得4c2＋36＝4a2,即a2－c2＝9,故有b＝3。F2xyOPF1练习:32.已知F1、F2是椭圆C：

的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且

，若△PF1F2

面积为9，则3.已知F1，F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,求ΔF1PF2的面积1162522=+yx练习:4.等腰直角三角形ABC中,斜边BC长为,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过点A,B.求该椭圆方程。O[解]xyACB··O|BC|=如图，D设椭圆方程为则|AD|+|AC|=2a，|BD|+|BC|=2a

所以，|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a即设椭圆的另一个焦点为D以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。练习:O[解]xyACB··O得D|AD|+|AC|=2a|AC|=|AD|=在△ADC中|DC|2=|AD|2+|AC|2=(

)2+16=242c∴c2=6,b2=a2c2=(2+)2-6=故所求椭圆方程为注：重视定义！4.等腰直角三角形ABC中,斜边BC长为,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过点A,B.求该椭圆方程。1.椭圆的两焦点为F1(－4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆标准方程为________.解析如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.巩固练习：又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，巩固练习：A.5 B.4 C.3 D.1B解析:设椭圆的右焦点为F2，又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义,知点P的轨迹是椭圆.巩固练习：A.圆

B.椭圆

C.线段

D.直线B4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为______.故b2＝a2－c2＝3，巩固练习：解得c＝2,从而|OF2|＝|PF2|＝2,连接PF1(图略),由|O