专题55用二次函数解决问题（高效培优讲义）

专题5.5用二次函数解决问题教学目标1.了解销售利润、抛物线型、几何图形三类实际问题的背景，能分析其中变量与常量的关系；2.会根据三类问题的等量关系（如总利润公式、几何公式）列二次函数解析式，确定自变量取值范围；3.能在自变量范围内，用公式法或配方法求二次函数最值，检验结果合理性教学重难点1.重点：根据实际问题列二次函数解析式；确定自变量取值范围并求最值2.难点：将实际场景（如抛物线型物体、几何图形）转化为数学模型；判断最值是否在顶点处（需结合增减性分析）知识点01二次函数与销售利润的问题解决此类问题的基本思路:（1）理解问题;（2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系;（3）利用总利润=单件利润×销售量，或总利润=总售价一总成本，列出二次函数的解析式，（4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量≥0;②降价要保证单件利润≥0.（5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值【即学即练】1．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价元，才能使每日利润最大．【答案】8【分析】【详解】解：设当涨价a元时，单日利润为W元，即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大．故答案为：8．2．陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱．(1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式；(2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润．【分析】知识点02二次函数与抛物线型问题解决此类问题的基本思路:（1）建立恰当的直角坐标系（2）能够将实际距离准确地转化为点的坐标；（3）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值【即学即练】1．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是．【分析】(1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？(3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【答案】(1)(2)或(3)【分析】答：当小球的飞行时，飞行高度是；答：小球从飞出到落地所用时间是；知识点03二次函数与几何图形的问题解决此类问题的基本思路:（1）理解问题;（2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系;（3）利用几何图形的周长及面积公式列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围;（4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值;（5）检验结果的合理性。注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定【即学即练】(1)与之间的关系式为______．【分析】(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？【分析】题型01投球问题例1．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，O、两点相距米．(1)求出点的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式；(2)请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞．(2)不能【分析】∴小明这一杆不能把球直接打入球洞．(1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________；(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？【答案】(1)；4(2)不能，前进或后退【分析】∴篮球飞行的最大高度是．故答案依次为：；．∴他在原地不能接到球．【答案】B故选：B．变式12．发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律．如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题：(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；(3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米．(2)石块不能飞越防御墙(3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米【分析】∴石块不能飞越防御墙．∴在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米．变式13．综合与实践(2)求站立点与壶的距离．(3)该同学再次抛出箭，仅调整了抛出点的高度，其他条件不变．若要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围．(2)站立点与壶的距离为2.4米【分析】抛物线过点，（3）解：设点调整的高度为米，题型02销售问题例3．某商家销售一种糕点，每盒进价为40元，在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：销售单价x（元）…606570…周销量y（盒）…240210180…(1)求y关于x的函数表达式．(2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？(2)当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元【分析】（2）解：设销售利润为W元，(3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］【分析】∴抛物线开口向下，又∵B产品每日最多产销300件，【详解】解：设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，由题意得；变式22．某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：销售单价/元…406080…每天销售数量/件…806040…(1)直接写出y与x之间的函数关系式________．(2)设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？(3)公司想要每天获利2000元，销售单价应定为多少元？(2)当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元(3)70元或80元【分析】【详解】（1）解：∵商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，∴当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元．∴公司想要每天获利2000元，销售单价应定为70元或80元．(1)当销售单价定为元时，求月销售量和月销售利润；(2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？(3)销售单价应定在元到元之间(包括元和元)【分析】【详解】（1）解：当销售单价定为元时，∵二次函数开口向上，答：销售单价应定在元到元之间(包括元和元)．nn题型03图形问题例5．有6长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是．【答案】【分析】即当为时，窗框的采光面积最大．故答案为：(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？【分析】【答案】故答案为：．变式32．《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边长为米．(1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米；(2)求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？(2)垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米．【分析】【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，设垂直于墙的篱笆边长为米，（2）解：设围成菜地的面积为平方米，∵墙的最大可用长度为米，∴垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米．(1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长；(2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值．【分析】【详解】（1）解：如图为两个无盖纸盒的展开图：题型04拱桥问题【答案】B【分析】故选：B．(1)求图（2）中这条抛物线的解析式；(2)该大桥拱内实际桥长为388米【分析】该大桥拱内实际桥长为388米．变式41．如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？(1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________．(2)依据你的建系方案：①设出抛物线解析式为___________________．②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可）(3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？【答案】(1)见解析【分析】【详解】（1）解∶如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，【答案】40【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，故答案为：40．(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由．(2)的宽为米；(3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析．【分析】答：的长为米；答：的宽为米；（3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由，∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过．题型05喷水问题(1)求喷头P与地面的距离OP；(2)离点远【分析】答：喷头P与地面的距离为0.4m．答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B3m远．【答案】此时两条水柱相遇点距地面米两辆消防车同时后退米，答：此时两条水柱相遇点距地面米．A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】A∵抛物线开口向下，∴二次函数有最大值为4，∴水喷出的最大高度是4米．故选：A．(1)直接写出点P的坐标__________；【分析】(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；(2)她不会被水喷到【分析】∴她不会被水喷到．nnnn题型06动点问题A． B．C． D．【答案】B【详解】解：如图，连接．∵点在边上移动（不与点B，C重合），∴该函数图象不包含原点和x轴的交点，故选：B．(1)写出关于的函数解析式及的取值范围．【分析】∴方程无解，【答案】B如图，故选：B延长交轴于点，①______（用含的代数式表示）；②当______秒时，的最小值为______．【分析】故答案为：2，48．一、单选题1．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（

）【答案】A故选：A．其中正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】∴正确的个数有2个，故选：C．3．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；③宾馆每天的最大利润为12250元．其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】每增加10元，空闲房间数增加1个，综上，仅结论①正确，正确个数为1．选B．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点．二、填空题【答案】14万元故最大利润为14万元．故答案为：14万元．5．如图，要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，若水管高度为，要使水柱落地处在水池内，水池半径至少应为m．【答案】4【分析】水池半径至少应为，故答案为：．【答案】【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，∵点的横坐标为，∴点到的距离为，故答案为：．三、解答题

(1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为；(2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？【分析】（2）解：设围成的花圃面积为y，【答案】【分析】∵点B在此抛物线上，∵小孔顶点距水面4.5m,答：当水位上涨刚好淹没小孔时，此时大孔的水面宽度为．(1)求篮球运行路线所在抛