第05讲二项分布超几何分布及正态分布（复习讲义）

第05讲二项分布、超几何分布及正态分布目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 2TOC\o"13"\h\u02体系构建·思维可视 203核心突破·靶向攻坚 3知能解码 3知识点1二项分布 3知识点2超几何分布 4知识点3正态分布 4题型破译 6题型1二项分布 6题型2超几何分布 11题型3正态分布 1604真题溯源·考向感知 2205课本典例·高考素材 24考情分析：北京卷中对常见概率分布的考查常融入概率统计解答题中，作为核心建模与计算环节，属于“中档区分题”。核心考查二项分布与超几何分布的模型识别、概率计算、期望与方差，以及正态分布的对称性、3σ原则及概率估计。试题强调对分布模型适用条件的深刻理解（如“有放回”与“无放回”抽样的本质区别），常以生活或科学实验情境为载体。聚焦于准确识别并区分二项分布与超几何分布、正态分布下给定区间的概率求解与转化，是解题的关键，也是主要的失分点。复习目标：1.理解n次独立重复试验模型，掌握二项分布的定义、概率公式、期望与方差及其推导过程。2.理解超几何分布模型，掌握其定义、概率公式及适用场景（无放回抽样）。3.能准确辨析实际问题中的条件，正确选择应用二项分布或超几何分布模型进行计算。4.理解正态分布曲线的特点（对称性、钟形曲线），了解参数μ和σ的统计意义。5.掌握正态分布的3σ原则，能利用对称性计算给定区间的概率，并进行简单的概率估计。6.能综合运用常见分布模型解决简单的实际应用问题，并给出合理的解释。知识点1二项分布二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1−p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且PX=k=CnkpkX01…k…nPCC…C…C注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q+p)n的展开式中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X∼Bn,p且有E(X)=np，D(X)=np(1−p).注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是Pn(k)=C（3）二项分布的增减性与最大值记pk=P(x=k)，则当k<(n+1)p时，pk>pk−1，pk递增；当k<(n+1)p时，pk<p(n+1)p非整数，则k取(n+1)p的整数部分时，pk自主检测某篮球运动员投篮的命中率为0.2，现投了3次球．(1)求恰有2次命中的概率；(2)设命中的次数为X，求EX【答案】(1)0.096(2)0.6【分析】（1）利用二项分布可求恰有2次命中的概率；（2）利用二项分布求出分布列后可求EX【详解】（1）设A为：“投了3次球，恰有2次命中”，故PA（2）由题设可得X∼B3,0.2故PX=0=CPX=2=C故EX知识点2超几何分布超几何分布：若X∼HN,M,n，则EX=自主检测一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数ξ的数学期望．【答案】1【分析】由题设可得ξ服从超几何分，根据公式可求数学期望.【详解】袋中球的总数为50+45+5=100，根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数ξ服从超几何分布，即ξ~H100,5,20因为N=100，M=5，n=20，所以Eξ知识点3正态分布（1）连续型随机变量：随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.（2）正态分布：函数f（x）＝1σ2πe−(x−μ)22o2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布.记为X～N（μ，σ2）.特别地，当若X～N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积.（3）正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.④在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.

图1⑤当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定.当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示.

图2（4）正态分布的均值、方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2.（5）正态分布在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.（6）正态分布计算常用结论①P（X<a）＝1－P（X≥a）.②P（X<μ－a）＝P（X≥μ＋a）.③P（X<μ－b）＝1−P(μ−b≤X≤μ+b)2（b自主检测1设随机变量ξ～N(0,1)，若P(ξ≥1)=p，则P(−1<ξ<0)=．（用含有P(ξ≥1)=p的式子表示）【答案】1【分析】根据正态分布的对称性计算．【详解】∵ξ~N(0,1)，∴P(ξ≤−1)=P(ξ≥1)=p，∴P(−1<ξ<0)=1故答案为：12自主检测2已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布N300,2500，若录取分数线为350分，则录取人数约为．（结果四舍五入取整数）(参考数据：若ξ服从正态分布Nμ,δ2【答案】1587【分析】首先确定正态分布的参数，然后计算分数线对应的标准分数，利用已知的概率数据求出超过分数线的概率，最后用总人数乘以该概率得到录取人数.【详解】因为考试成绩服从正态分布N(300,2500)，故P(ξ≥350)=P(ξ≥300+50)=1−0.6827所以录取人数为0.15865×10000≈1587人.故答案为：1587题型1二项分布例11有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为12(1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率；(2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为X，求X的分布列与期望.【答案】(1)3(2)分布列见解析，E【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为1−1−（2）由题意得X∼B3,则PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为X0123P192727EX例12某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球．(1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率；(2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为X，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)1(2)X的分布列为X01234P81432864768256X的数学期望是EX【详解】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B.PB所以PA|B故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为12（2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为47，摸到绿球的概率为3记四次摸球活动中，摸到红球的次数为Y，则Y~B4,因为四次摸球总得分为X，所以Y=X.所以X~B4,所以PX=0PX=1PX=2PX=3PX=4所以X的分布列为X01234P81432864768256所以X的数学期望是EX例13某企业的生产设备控制系统由2k−1k∈N*个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p0<p<1，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为Pk(1)若p=23，当（i）求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望；（ii）求P2(2)讨论Pk与P【答案】(1)（i）分布列见解析，2；（ii）20(2)答案见解析【详解】（1）（1）（i）因为k=2，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为p=23，所以所以PX=0=CPX=2=C所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为：X0123P1248控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为EX（ii）P2（2）由Pk+1表示系统在原来2k−1个元件增加2个元件，则至少要有k+1个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为ξ第一类：原系统中至少有k+1个元件正常工作，其概率为Pξ≥k+1第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为Pξ=k第三类：原系统中恰好有k−1个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为Pξ=k−1所以P=所以Pk+1所以当12<p<1时，当0<p<12时，当p=12时，【变式训练11】某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为10%(1)从一批产品中随机抽取4件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率；(2)若从另一批产品中随机抽取3件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为X，求X的分布列与期望.【答案】(1)0.9477(2)分布列见解析，E【详解】（1）从一批产品中随机抽取4件，抽到的零部件中正品数多于次品数，则次品数为0件或1件，所以所求概率为C4（2）设抽取的零部件次品数为ξ，则X=3−ξ−ξ所以X可能的取值依次为1，3，ξ∼B3,0.1PX=1PX=3所以X的分布列为：X13P0.270.73故EX【变式训练12】甲、乙两位同学参加答题活动，已知两人各答3道试题，答对每道试题的概率均为13(1)记甲同学答对的试题数为X，求X的分布列与期望；(2)求甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多的概率.【答案】(1)分布列见详解，EX(2)242729【详解】（1）由题意可知，X~B3,所以PX=0=CPX=2=C所以X的分布列为X0123P81261EX（2）记乙同学答对的试题数为Y，则Y~B3,由（1）可知PY=0=827，PY=1所以PX=Y=0=8PX=Y=2=6所以PX=Y易知PX>Y所以PX>Y【变式训练13】为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图：用样本估计总体，以频率代替概率.现从该市的高中学生中随机抽取n人，用X表示成绩在80,90的人数.(1)若n=3，求X的分布列与数学期望；(2)若n=20，求使得PX=k取得最大值时k【答案】(1)分布列答案见解析，E(2)6【详解】（1）由频率分布直方图中所有直方图的面积之和为1，可得0.005+0.01+0.015+x+0.04×10=1，所以x=0.03样本中，成绩在80,90的高中生所占的频率为0.03×10=3当n=3时，由题意可知X~B3,所以PX=0=7PX=2=C故随机变量X的分布列如下表所示：X0123P34344118927所以，EX（2）由题意可知X~B20,310，因为P所以C20k⋅因为k∈N，可得k=6，故使得PX=k取得最大值时k的值为6题型2超几何分布例21为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：

类别科室志愿者医生护士A科室23B科室33(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)2(2)分布列见解析，E【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，有C22C所以所求的概率为C2（2）随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3、4，PX=0=CPX=2=C52所以随机变量X的分布列为X01234P110521所以EX例22甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有m2≤m≤6个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是1(1)求m的值；(2)若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)m=4(2)分布列见解析，数学期望为1.【详解】（1）由题意可知，掷一枚骰子，点数为1或2的概率为26=1由于掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是13则P=13×解得m=4或者m=−3（舍去）.所以m=4.（2）由题意可知，随机变量X可能取值为0，1，2.则PX=0PX=1PX=2所以X的分布列为：X012P131所以EX例23某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：时长（小时）0,22,2.52.5,33,3.53.5,4人数（人）34334218用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有Y人可以在3小时内完成各科作业，求Y的分布列和方差DY【答案】(1)2(2)分布列见解析，E(X)=(3)分布列见解析，D【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，则P(A)=3+4+33（2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有3+4=7（人），其中可以在2小时内完成的有3人，X的所有可能取值为0，1，2，3.PX=0=C43C7X的分布列为：X0123P418121∴E(X)=0×4（3）由题意得，Y∼B3,P(Y=0)=(3P(Y=2)=C3∴Y的分布列为：Y0123P2754368∴DY【变式训练21】为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；(2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望【答案】(1)1(2)分布列见解析；期望为12【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有C4当两名高级导游来自乙旅游协会时，有C2则PA（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，Pξ=0=CPξ=2=CPξ=4随机变量ξ的分布列为ξ01234P14381随机变量ξ的数学期望为Eξ=0×1【变式训练22】某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：时长（小时）0,22,2.52.5,33,3.53.5,4人数（人）34334218用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望E（X）；(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有Y人可以在3小时内完成各科作业，直接写出EY【答案】(1)2(2)分布列见解析，E(X)=(3)E【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，则P(A)=3+4+33则从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业的概率为25（2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有3+4=7（人），其中可以在2小时内完成的有3人，X的所有可能取值为0，1，2，3.PX=0=C43C7∴X的分布列为：X0123P418121∴E(X)=0×4（3）由题意得，Y∼B3,∴EY【变式训练23】某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为120(1)现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数ξ的分布列和数学期望；(2)若智能自动检测的准确率为98%【答案】(1)分布列见解析，数学期望为67(2)233【详解】（1）ξ可能取的值为0，1，2，且Pξ=0=C20所以ξ的分布列为ξ012P241则Eξ（2）记A=“智能自动检测为合格品”，B=“产品为合格品”，则由题意知PAB=98100则PB所以由全概率公式知P=19所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为233250题型3正态分布例31若随机变量X服从正态分布N1,σ2，且PX≥0.5=0.86A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.86【答案】B【详解】因为随机变量X服从正态分布N1,σ2所以P1<X≤1.5=P0.5≤X<1故选：B.例32已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布Nμ,(1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数x作为μ的估计值，样本标准差s作为σ的估计值．若质量指标值在43,87内的产品为优等品，根据正态分布Nμ,附：取30=5.5Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ【答案】(1)x=65，(2)0.9545【详解】（1）x=0.01×10×45+0.02×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75+0.01×10×85=65s+(65−75)（2）由题意知μ=65，样本方差s2=120，故所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布N65,P43≤X≤87所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545．例33某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构．下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人y数（万人）与第x个月的数据：x12345y23.137.062.1111.6150.8(1)根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，且回归方程y=bx+a中的b=32.88，请计算相关系数r(2)为更好地改进服务，景点对每位游客进行了满意度调查，已知评分X近似服从正态分布N86,9，评分低于m的游客约占15.865%，求m(3)为进一步了解游客性别与满意度的关系，随机抽查200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否推断游客是否满意与性别有关？喜欢不喜欢总计男100女60总计110参考公式：相关系数：若|r|≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性．r=回归方程y=bχ2=n临界值表：α0.0100.0050.001x6.6357.87910.828参考数据：i=15若X∼Nμ,σ，则PP【答案】(1)r≈0.98，可以认为y与x有较强的线性相关性；(2)83(3)答案见解析【详解】（1）由题可知x=1+2+3+4+55i=15则b=i=15相关系数r==328.8可以认为y与x有较强的线性相关性.（2）因X∼N86,9，则μ=86,σ=3因PX<μ−σ则m=μ−σ=86−3=83.（3）填写下面的2×2列联表喜欢不喜欢总计男7030100女4060100总计11090200由表可知，a=70,b=30,c=40,d=60,n=200，零假设H0则χ所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，能推断游客是否满意与性别有关.【变式训练31】某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N(172,4)，则P(X≥168)≈（

）（附：若X~N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772【答案】D【详解】由X∼N(172,4)，得P(X≥168)=P(172−2×2≤X≤172)+P(X>172)=1故选：D【变式训练32】已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布Nμ甲,σ甲A．μ甲>μ乙，σ甲C．μ甲<μ乙，σ甲【答案】C【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，故甲的平均数小于乙的平均数，即μ甲且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即σ甲故选：C【变式训练33】在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分X（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：满意度评分X40,5050,6060,7070,8080,9090,100频数101520301510(1)计算满意度评分X的样本平均数x和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分X近似地服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数x,σ近似为样本的标准差s，并求得(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．参考数据：若随机变量X∼Nμ,σ2【答案】(1)x=70.5，样本中位数为(2)8186(3)分布列见解析，E【详解】（1）由题意，平均数x=前3组的频率为10+15+20=45，前4组的频数为10+15+20+30=75，所以样本中位数位于70,80，设为a，则45+a−7010×30=50，解得a≈71.67（2）由题意，X近似地服从正态分布Nμ,σ2，且μ≈由于P=≈1因此估计这些车主中满意度评分位于区间41.88,84.81的人数为10000×0.8186=8186.（3）由题意，Y的所有取值为0,1000,2000,3000,4000，顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为C3顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为C3顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为1−1则PY=0=1PY=2000PY=3000PY=4000则Y的分布列为：Y01000200030004000P1910191所以EY【变式训练34】某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表：平均尺寸标准差甲生产线p件M型零件806乙生产线q件M型零件704(1)求这40件M型零件尺寸的平均数x；(2)求这40件M型零件尺寸的标准差s；(3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布Nμ,σ2，其中用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ.试估计：这一天生产的M参考数据：①n个数x1，x2，x3，…，xn的方差为s2=1ni=1nxi−【答案】(1)72；(2)6；(3)低于40件.【详解】（1）由题设，p=40×320320+1280=8所以x=（2）由题设，甲的均值x1=80，方差s12=36所以s12=而s2=1所以8(s12+80所以40(s2+（3）由（1）（2）知零件服从N(72,36)，则P(X<60)=P(X<μ−2σ)=1−P这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件有1600×0.02275=36.4<40所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm1．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111.设X是检测的总次数，求X分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）E(Y)>E(X)【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，则X的分布列:X2030P110所以E(X)=20×1（2）由题意，Y可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为P1=20则E(Y)=25×42．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为3（Ⅱ）1336,（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为200200该校女生支持方案一的概率为300300（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：(1（Ⅲ）p【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.一、解答题1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布列；(2)求PX≤1【答案】(1)分布列见解析(2)4【详解】（1）解：∵从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，∴X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C43C6∴X的分布列为：X012P131（2）解：P2．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【答案】(1)5(2)见解析【详解】（1）解：由题意可知，选出的3名同学全是男生的概率为C6所以选出的3名同学中至少有1名女生的概率1−C（2）解：根据题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ=0)=C43P(ξ=2)=C6所以ξ的分布列为：ξ0123P1311.3．某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为10000kg/cm2，标准差是(1)求抗拉强度超过10150kg(2)如果要求所有元件的规格是9800∼10200kg【答案】(1)6.68(2)4.55【详解】（1）依题意X∼N10000,10150−10000100查表可知，在标准正态分布Y∼N0,1中，P则PY>1.5所以抗拉强度超过10150kg/cm（2）依题意X∼N10000,Pμ−2σ<X<μ−2σ所以被报废的元件的比例是1−0.9545×1004．已知随机变量ξ∼N0,1，φ(1)φ−x(2)Pξ(3)Pξ(4)Pξ【答案】(1)成立(2)不成立(3)成立(4)成立【详解】（1）φx=Pξ≤x，φ−x=Pξ≤−x，根据正态分布的对称性可知φ−x（2）Pξ（3）根据（2）的分析可知（3）成立.（4）根据（2）的分析可知Pξ5．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.【详解】（1）由题意，X可取0，1，2，3，PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列如下：

X

0

1

2

3

P

64125

48125

12125

1125（2）X可取0，1，2，3，PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列如下：

X

0

1

2

3

P

0.648

0.306

0.044

0.0026．已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次．（1）当n=10时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）；（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？【答案】（1）0.267；（2）9【详解】（1）10门大炮同时对某一目标各射击一次，设击中目标的次数为X，则X∼B10,0.3故恰好击中目标3次的概率为C10（2）由题意，n门大炮同时对某一目标各射击一次，击中0次的概率为1−0.3n则至少击中一次的概率为1−0.7则1−0.7即nlg解得n>lg因为n∈N∗，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要7．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为14，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X【答案】分布列见解析；至多遇到一次红灯的概率为2732【详解】由已知，有X~B(3,1可得P(X=k)=所以随机变量X的分布列为X0123P272791设“至多遇到一次红灯的概率”的事件记为A，则P(A)=