专题4 一元二次函数与一元二次不等式（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

27/28专题4一元二次函数与一元二次不等式教学目标(1)掌握一元二次函数的图象及性质(2).理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.(3).掌握图象法解一元二次不等式.(4)会对含参数的一元二次不等式分类讨论．教学重难点1.重点(1)一元二次函数的图象与性质；(2)解一元二次不等式．2.难点(1)解含参数的一元二次不等式；(2)一元二次不等式的实际应用．知识点01一元二次函数的图象与性质1．一元二次函数图象变换一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条___，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移______个单位长度，再向上(或向下)平移___个单位长度而得到．2.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质(1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条_______，顶点坐标是，对称轴是直线_______；(2)当a>0时，抛物线开口向______；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而________；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而_______；函数在x＝h处有最________值，记作__．当a<0时，抛物线开口向______；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而_______；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而________；函数在x＝h处有最______值，记作__【记忆口决】函数图象的平移规律可简记为：加左减右(针对x的变化)，加上减下（针对y的变化）.【即学即练】1．将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是()A．y＝－3(x－1)2－2B．y＝－3(x－1)2＋2C．y＝－3(x＋1)2－2D．y＝－3(x＋1)2＋22．（24-25高一上·河北石家庄·期中联考）如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（

）A． B． C． D．知识点02一元二次不等式及解法1．一元二次不等式(1)一般地，形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠)，叫作一元二次不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作一元二次不等式的解集．2.“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系如下表.Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集____________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集________________【易错警示】解一元二次不等式时，最后的解集要注意写成区间或集合形式.【即学即练】1．不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（）A．(−12，2) C．(−∞，−2)∪(12，+∞)2.不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（）A．{x|−23≤x≤1} C．{x|x≤−23或x≥1}知识点03分式不等式的解法（拓展）1.解分式不等式的思路解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.2.一般的分式不等式的同解变形法则(1)eq\f(fx,gx)>0⇔(2)eq\f(fx,gx)≤0⇔(3)eq\f(fx,gx)≥a⇔【即学即练】1．不等式eq\f(x－1,x－2)≥0的解集为()A．[1,2] B．(－∞，1]∪[2，＋∞)C．[1,2) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)2．（23-24高二下·北京通州·期末）不等式的解集是．知识点04穿针引线法解高次不等式（拓展）一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过就会发生一次变化，从右到左在区间上f(x)的符号正负相间．如图．故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集．【即学即练】1．不等式eq\f(x2－x－6,x－1)>0的解集为()A．{x|x<－2或x>3}B．{x|x<－2或1<x<3}C．{x|－2<x<1或x>3}D．{x|－2<x<1或1<x<3}2．（23-24高一上·黑龙江大庆·开学考试）不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．或题型01求二次函数的最值【典例】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的最小值与最大值分别为（

）A． B． C． D．求二次函数的最值时，往往先将函数配方成顶点式，则函数的最值一般在区间的端点或顶点处取得，比较这些值的大小即可得最值.【变式1】（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的最小值为【变式2】（2025高一上·河北保定·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（

）A．最大值5 B．最大值C．最小值5 D．最小值题型02求二次函数的解析式【典例】（17-18高三上·重庆铜梁·阶段练习）如果二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则（

）A．a=2，b=4 B．a=2，b=－4 C．a=－2，b=4 D．a=－2，b=－4二次函数的解析式有三种形式，应根据题设条件的不同，选择不同的形式，求二次函数解析式的基本方法是待定系数法.【变式1】二次函数的图象的顶点为，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(

)A． B．C． D．【变式2】（23-24高一上·重庆·开学考试）已知二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点为，则（

）A． B．C． D．题型03二次函数的图象分析与判断【典12．（24-25高一上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如下图所示，则（

）A． B．C． D．解决二次函数的图象与系数的关系问题有以下两种常见方法:(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点;(2)讨论函数的图象，依据b对a进行讨论,画出a值不同时对应的函数图象，从而进行判断,显然(1)对解决选择题更为有效.【变式1】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中．下列四个结论正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，其中.下列三个结论正确的有（

）

A． B．C． D．题型04二次函数的图象变换【典例】（2025高一上·河北保定·专题练习）将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（

）A． B．C． D．研究二次函数图象的变换时，一般将二次函数化为的形式，然后比较平移前后两函数式中的h和k是怎样变化的，根据结论“h决定图象的左右平移（h正左移,h负右移）”对原式进行变形即可.【变式】将一元二次函数向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的二次函数一般式为.题型05解不含参数的一元二次不等式【典例】解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(3)－2x2＋3x－2＜0；(4)－eq\f(1,2)x2＋3x－5＞0.解一元二次不等式的步骤(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集．【变式1】（24-25高二下·北京西城·阶段练习）已知全集，集合，则（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式3】解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．题型06解含有参数的一元二次不等式【典例】（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式：1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论：(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准；(2)以判别式与零的大小关系作为分类标准；(3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准．2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．【变式1】（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式．题型07一元二次不等式的整数解问题【典例】（24-25高一上·江西南昌·期中联考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或对于一元二次不等式的整数解问题，一般要对参数分类讨论，求出其解集后再考虑整数解的个数问题，然后列式求解.题型08利用三个“二次”间关系求参【典例】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（

）A． B．C．或 D．或利用三个“二次”间关系求参的具体策略(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化【变式1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式3】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则的值为．题型09简单的一元二次方程的实根分布问题【典例1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．（1）一元二次方程根的符号问题可从判别式、两根之和、两根之积等入手求解.（2）一元二次方程根的范围问题可以从判别式、特殊点的函数值、抛物线的对称轴等入手求解.【变式1】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（24-25高一上·天津河西·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A． B． C． D．题型10一元二次不等式在实数集R上恒成立问题【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【典例2】（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（

）A．； B．；C．； D．．（1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))（3）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【变式1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围.【变式2】（25-26高一上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．题型11一元二次不等式在某区间上恒成立问题【典例】（23-24高二下·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略：(1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立.（2）当a>0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是（3）当a<0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是【变式1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为.【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.题型12一元二次不等式有解问题【典例】（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围．一元二次不等式有解的问题，往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，有解；有解.【变式1】（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为．【变式2】（22-23高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是.【变式3】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数．(1)若，解关于的不等式；(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．题型13解分式不等式【例4】（2022春•临夏县校级期中）求不等式的解集：（1）﹣x2+4x+5＜0；（2）2x2﹣5x+2≤0；（3）x+1x−3（4）5x+1x+1(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【变式1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．或【变式3】（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为．题型14解高次不等式【典例】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为.高次不等式一般用穿针引线法求解.【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集是．【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）不等式的解集为．题型15一元二次不等式的实际应用【典例】（24-25高一上·江苏连云港·期末）近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.(1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式；(2)当为何值时，最小？求出的最小值；(3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围.一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．【变式1】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为时，总运费最低．【变式2】（24-25高一上·四川宜宾·期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．单选题1．（2025高三·全国·专题练习）集合，则（）A． B．C． D．2．（23-24高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．4．（20-21高一上·陕西渭南·期末）将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数图象的顶点坐标为（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．6．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（

）A．9 B．6 C． D．57．（山西省长治市2024-2025学年高二下学期县域联盟测评数学试题），不等式恒成立，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．8．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（25-26高一上·全国·课后作业）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（

）A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速10．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是

（

）A．B．的解集为C．D．的解集为11．（24-25高一上·福建福州·期中）若关于x的不等式的解集为，则函数的大致图象可能是（

）A． B．C． D．三、填空题12．（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为．14．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是.

四、解答题15．（24-25