专题4.1函数的奇偶性（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

27/28专题4.1函数的奇偶性教学目标1.了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法.2.了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围.教学重难点重点：(1)掌握判断函数奇偶性的方法;(2)求与奇偶函数有关的函数解析式难点：处理与函数单调性、对称相关的综合问题.知识点01函数奇偶性定义（易错）1.函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于对称2.重要结论判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．【易错警示】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．【即学即练】1.下列函数是偶函数且值域是的函数是（）A． B．C． D．2.函数是定义在上的奇函数，下列说法：①；②若在上有最小值，则在上有最大值；③若在上为增函数，则在上为减函数．其中正确的个数是（）A．0B.1C.2D.3知识点02奇偶性函数的图象特征（重点）1.奇函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．2.偶函数的图象特征如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．【即学即练】1.已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（）A．，， B．，，C．，， D．，，知识点03奇偶性函数的单调性（重点）根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为．（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为，取最值时的自变量也互为．【即学即练】1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．知识点04函数奇偶性的性质（拓展）1.两个函数间奇偶性的关系，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数2.函数奇偶性的两个特殊结论(1)若奇函数在x=0处有定义，则；(2)若函数为，则【即学即练】1.（2024青海西宁·高二校考开学考试）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．2.（多选）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数知识点05函数的对称性（拓展）1．若函数为偶函数，则函数关于对称．2．若函数为奇函数，则函数关于点对称．3．若，则函数关于对称．4．若，则函数关于点对称．【即学即练】1.（2024南宁三中校考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（

）A．5 B．4 C．3 D．0题型01一般函数奇偶性的判断【典例1】判断下列函数的奇偶性.(1);(2);(3)；(4).判断函数的奇偶性的基本方法1.定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x).2.验证法:即在定义法的基础上,验证f(-x)±f(x)=0、f(-3.图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称,所以通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性.4.性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数.【变式1-1】（2024·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2025·高一课时练习）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数题型02分段函数奇偶性的判断【典例2】判定下列分段函数的奇偶性(1);(2)分段函数奇偶性的判断对于分段函数的奇偶性的判定,首先看定义域是否关于原点对称,其次要分段讨论,注意要根据x的取值范围选取相应的函数表达式.【变式2-1】判断函数的奇偶性.【变式2-2】证明函数是奇函数.题型03抽象函数奇偶性的判断【典例3】（2025·河南开封高一上联考）已知函数对一切实数都有成立，且.(1)分别求和的值；(2)判断并证明函数的奇偶性．抽象函数奇偶性的判断判定抽象函数f(x)的奇偶性时，因无具体的解析式，所以需要利用给定的函数方程式，对变量赋值，将其转化为含有f(x)、f(-x)的式子,再判断奇偶性.【变式3-1】（多选）（2024春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（

）A．为奇函数 B．为奇函数C．为偶函数 D．为偶函数【变式3-2】（2024全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.题型04利用奇偶性求解析式【典例4】（2025·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．奇偶性求解析式分正负两种情况去考虑,告诉一边求另一边,从中发现规律．【变式4-1】（2025春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求当时，函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【变式4-2】（2025秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求在上的解析式；(2)当时，求的值域.题型05利用奇偶性求值【典例5-1】(2025·上海市川沙中学高一期末)若函数为偶函数，则_______________.【典例5-2】(2025·内蒙古赤峰学院附属中学高一期末)若函数在上是奇函数，则的解析式为______．奇偶性求值根据题目特征，由奇偶性性质，代入数字可以求值．【变式5-1】(2025·吉林长春外国语学校高一开学考试)已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于()A． B． C． D．【变式5-2】(2025·云南弥勒市一中高一月考)已知，其中为常数，若，则()A．－10 B．－2C．10 D．2【变式5-3】(2025·辽宁高一期末)已知函数，若，则____________．题型06利用奇偶性求参数【典例6-1】（2025·山东枣庄·统考模拟预测）已知为偶函数，则a=（

）A． B． C．1 D．2【典例6-2】（2025秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．奇偶性求参数根据题目特征，由奇偶性性质，代入相关数字可以求参数．【变式6-1】（2025·山东枣庄·统考模拟预测）已知为偶函数，则a=（

）A． B． C．1 D．2【变式6-2】（2025·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．题型07利用奇偶性解不等式【典例7-1】（2025·河南·校联考模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【典例7-2】（2025·湖北·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．利用奇偶性求参数判断奇偶性，化不等式为对称区间形式，用单调性解，注意定义域，结合奇偶性变号规则。【变式7-1】（2024辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（

）A． B．C． D．【变式7-2】（2024·广东深圳·高一统考期末）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集________.【变式7-3】（2024广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为______.题型08奇偶性与单调性的综合【典例8-1】（(2025·浙江高一期末)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A． B． C． D．【典例8-2】（(2021年广东)已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是()A． B．C． D．奇偶性与单调性的综合运用奇偶性化对称区间，单调性定增减，结合用奇偶性变号，单调性解不等式，勿忘定义域。【变式8-1】(2025·江西南昌高一上联考)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是()A． B． C． D．【变式8-2】(2025吉林高一上期末)设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是()A．B．C．D．【变式8-3】(2025广东揭阳第一中学高一上期末)已知函数是偶函数，当时，

恒成立，设，，，则，，的大小关系为()A． B． C． D．【变式8-4】(2024·福建高一期末)若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为()A． B． C． D．题型09数形结合解决奇偶性问题【典例9】（2024上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为________．奇偶性与单调性的运用奇函数图象关于原点对称，偶函数关于y轴对称，借图象直观分析性质。【变式9-1】（2025·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式9-2】（2025·北京·高三统考学业考试）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图象如图所示．(1)求的值；(2)补全的图象，并写出不等式的解集．题型10函数性质的综合应用【典例10】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，.(1)判断函数的奇偶性并证明；(2)求证：在上是增函数；(3)解不等式：.函数性质的综合应用问题破解策略对于函数性质的综合应用问题，常采用各个击破的策略求解，如需要用到函数奇偶性的则联想函数的奇偶性，需要比较大小或解不等式则可联想函数的单调性，等等.另外要注意各种数学思想，尤其是数形结合思想和整体代换思想的应用.【变式10-1】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知定义在上的奇函数满足.(1)求的解析式；(2)证明：函数在上单调递减；(3)求关于的不等式的解集.【变式10-2】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，.(1)判断的奇偶性，并证明；(2)判断的单调性，并证明；(3)解关于的不等式.练基础1．（24-25高一上·河南商丘·期中）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．2．（2025全国·课后作业）函数，那么的奇偶性是（）A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数3．（2024甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2024广西·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．5．（2024北京·期末）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．6．（2025福建厦门·期末）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7（多选）（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（

）A． B．C． D．8.（多选）（2025全国·课后作业）下列判断正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是非奇非偶函数9.（2025上海·课后作业）若函数，（其中为常数）是奇函数，则．10．（2025上海·专题练习）若函数的图象与的图象关于轴对称，则．11．（2025全国·课后作业）已知是R上的偶函数，且在上是严格增函数，若，则a的取值范围是．12．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).13．（2025全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2).13．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，．(1)求的解析式；(2)写出的单调区间；(3)求出的值域．练提升14．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（

）A．B．C．D．15．已知定义在R上的函数满足:关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．16.(多选)（2025广东佛山·阶段练习）已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（

）A．的值域为 B．定义域为C． D．是奇函数17.（多选）（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A．