专题07 幂函数与二次函数9大考点40题（高效培优期中专项训练）（解析版）高一数学上学期北师大版

PAGE专题07幂函数与二次函数考点01幂函数的概念（共4小题） 1考点02幂函数的图象（共4小题）（重点） 2考点03幂函数的单调性（共3小题）（重点） 4考点04幂函数的奇偶性（共5小题） 5考点05二次函数的图象（共5小题）（重点） 7考点06二次函数的单调性及应用（共6小题）（重点） 10考点07二次函数的最值（共4小题）（难点） 13考点08二次函数与恒成立（有解）的综合（共3题）（难点） 16考点09二次函数性质的综合（共5小题）（难点） 18考点01幂函数的概念（共4小题）1．（24-25高一上·江西·期中）已知幂函数，则（

）A．8 B．4 C． D．【答案】A【分析】由幂函数的定义，知，解得：，再解出，求解即可.【详解】由幂函数的定义，知，解得：，所以，.故选：A.2．（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（

）①；②；③；④；⑤．A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤【答案】C【分析】根据幂函数的定义判断即可.【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数，故选：C.3．（24-25高一上·河南开封·期中）已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（

）A． B． C．3 D．9【答案】D【分析】利用幂函数的定义与性质求得，进而得到的解析式，从而得解.【详解】因为是幂函数，则，解得，因为的图象经过原点，则，得，则，所以.故选：D.4．（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可.【详解】因为幂函数的图象不过原点，则，解得.故选：B.考点02幂函数的图象（共4小题）（重点）5．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式，方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断；方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断．【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得，于是．方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D；因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C．方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D；又，排除C．故选：B．6．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可.【详解】当时，幂函数在上单调递增，当时，幂函数在上单调递减，并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大，所以，所以.故选：A7．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的图象一定经过（

）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限和原点 D．第二、四象限和原点【答案】C【分析】根据幂函数的解析式确定图象特征即可判断得解.【详解】幂函数是定义在R上的奇函数，其图象经过第一、三象限和原点.故选：C8．（24-25高一上·福建厦门·期末）函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可.【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D；由，得函数在上单调递增，排除C；且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求.故选：B9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为．【答案】(1,2)【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点．【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有，所以，即的图象经过定点(1,2)，故答案为：．考点03幂函数的单调性（共3小题）10．（24-25高一上·四川泸州·期中）幂函数在上是减函数，则的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】利用幂函数单调性列式计算得解.【详解】由幂函数在上是减函数，得，解得，符合要求的选项只有A.故选：A11．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知幂函数在区间上单调递减，则函数（且的图像过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据幂函数的定义和性质求出，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】由题意得且，解得，，令得，此时，故的图像过定点．故选：A.12．（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为幂函数在上单调递增，则，解得或.故选：B.考点04幂函数的奇偶性（共5小题）13．（24-25高一上·山东淄博·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性一一分析即可.【详解】根据幂函数奇偶性知和为奇函数，故BD错误；对C，，当时，，此时单调递增，故C错误；对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在上单调递减，故A正确.故选：A.14．（24-25高一上·辽宁·期末）若幂函数是偶函数，则（

）A．-2 B．3 C．1 D．1或3【答案】C【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出或，结合函数奇偶性排除，得到答案.【详解】因为是幂函数，所以，解得或.当时，是偶函数，符合题意；当时，是奇函数，不符合题意.故选：C15．（多选）（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数是幂函数，则（

）A． B．C．是偶函数 D．当时，【答案】ABD【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D.【详解】由是幂函数知，所以或-2，所以或，所以，，AB正确；当时，，是奇函数，C错误；对于，当时，，对于，当时，不成立，故当时，，D正确故选：ABD.16．（24-25高一上·山西朔州·期中）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】由幂函数的定义，得，解得或.若，则，其图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；若，则，其图象不过原点，且关于原点对称，符合题意.故选：A17．（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且．(1)求；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值；（2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围．【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数，所以，解得，又因为，则m的值为，函数为偶函数，所以为偶数，所以．（2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数，所以不等式，即为，解得或，即的取值范围是．考点05二次函数的图象（共5小题）（重点）18．（2025高一上·全国·专题练习）函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分类讨论的范围，求出对应解析式，再画出对应函数图象.【详解】函数，当时，，对称轴是；当时，，对称轴是；故选：C.19．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（

）A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④.【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以，又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确；二次函数图像过，所以，则，又，，所以，则，故②正确；由，所以，又，所以，故③正确；，故④正确.故选：D.20．（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据已知的解集为，结合函数图象的开口方向及各选项图象，即可得.【详解】由题设，不等式的解集为，且的开口向上，结合图象知A正确.故选：A21．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（

）A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，①说法正确；因为图象经过、两个点，所以，解得，因为，，所以，②说法正确；由得，即，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，，又，，，所以，即，④说法正确；综上①②③④正确；故选：D22．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有；其中正确的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可.【详解】由抛物线的对称轴，得，故①正确；因为抛物线开口向下，且与轴交于正半轴，所以，又由，得，所以，故②错误；由于抛物线的顶点坐标为，故抛物线与直线相切，所以方程有两个相等的实数根，故③正确；由于抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，故另一个交点为，故④错误；观察图形可知在的图象中，抛物线在直线上方，故，故⑤正确.故选：C考点06二次函数的单调性及应用（共6小题）（重点）23．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．，【答案】A【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断.【详解】函数，当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；所以函数的单调递减区间为.故选：A.24．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函数的性质即可得出递减区间.【详解】由二次函数图象的对称轴方程为，且开口向下，可知该函数的单调递减区间是.故选：B．25．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围．【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减，对指数函数在单调递减，需，对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求，此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或，结合，可得，故选：B．26．（22-23高一上·四川广安·期中）若在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可.【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为，若在上是单调函数，则或，解得或，所以的取值范围是.故选：D.27．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围.【详解】令，则，.已知在上单调递增，则在上单调递增，且.若，则，此时在单调递增，且，符合题意.若，则须满足：即.综上，.故选：C.28．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由二次函数性质得，即，即，解一元二次不等式即可得解.【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为，则原函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；由，得，即，两边平方后，再通过移项和平方差公式化简得，而，所以，得．故答案为：.考点07二次函数的最值（共4小题）（难点）29．（2025高三·全国·专题练习）设函数．(1)若为大于2的常数，求函数的最小值；(2)若函数的最小值大于3，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）化简式子可知，根据，可知结果；（2）按照、、，讨论即可.【详解】（1）由题意得，设，．由，得，得（最小值在处取得）（2）若，即，则，解得；若，即，则，解得；若，即，则，解得．综上，或．30．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数是上的奇函数，函数.(1)求实数的值；(2)若函数在上的最小值为11，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值；（2）利用换元法，结合函数单调性和二次函数的性质来求实数的值.【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，整理得，所以，，所以，检验可知符合题意，所以.（2）由（1）知，，所以.令，因为函数和在上区间都单调递增，所以函数在区间上单调递增，所以，则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线，当，即时，，解得.当，即时，，解得，无解.综上所述，实数的值为.31．（2025高三·全国·专题练习）设函数．(1)若为大于2的常数，求函数的最小值；(2)若函数的最小值大于3，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）化简式子可知，根据，可知结果；（2）按照、、，讨论即可.【详解】（1）由题意得，设，．由，得，得（最小值在处取得）（2）若，即，则，解得；若，即，则，解得；若，即，则，解得．综上，或．32．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中.(1)若在区间上具有单调性，求的取值范围；(2)当时，函数的最大值为，求实数的值.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案；（2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值.【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性，所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，.所以，实数的取值范围是．（2）二次函数的图象开口向下，对称轴为，①当时，在上单调递减，此时，因为当时，函数的最大值为，即，解得或，所以；②当时，在上单调递增，在上单调递减，此时，无解，所以不存在，③当时，在上单调递增，此时，因为当时，函数的最大值为，所以，解得或，所以综上所述，或.考点08二次函数与恒成立（有解）的综合（共3题）（难点）33．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可.【详解】如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；并且，，；因为，令，则；不等式恒成立等价于在恒成立；当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件，故有，即，解得；且有，，即，则，解得；，则，解得，故；综上，由，；故选：B.34．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数．(1)若且在上的最大值为，求函数的解析式；(2)若对任意的实数，都存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）的最大值为或，而，所以，求出即可；（2）当时，取时，即可满足条件，当时只需举反例说明不等式不成立即可.【详解】（1）若，则，当时，，故，解得：，故．（2）当时，对于任意实数，取，则，满足题意；当时，取，当时，所以，当时，所以，所以任意均有成立，此时不存在使成立．故不满足题意.综上，的取值范围是．35．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数.(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；(2)若，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的性质，和参数的范围，判断函数在定义域上的单调性，进而求出函数的值域，求出参数的值；（2）根据参数的范围，判断函数在定义域上的单调性，求出函数在区间上的最小值，根据最小值的正负，讨论目标函数值的正负情况，进而求出结果.【详解】（1）由可知，函数对称轴为，因为，所以函数在上单调递减，的定义域和值域均是，可得，即，解得.（2）由可知，函数对称轴为，在上单调递减，，由可知恒成立，当时，即，在上恒大于零，则此时，因为当时，，故且，对任意的都有恒成立；当时，，则，不符合题意；当时，因为且，所以存在，使得，则当时，，，此时，不符合题意；综上所述，的取值范围为.考点09二次函数性质的综合（共5小题）（难点）36．（多选）河南省部分学校2025-2026学年高三上学期顶尖计划（一）数学试题）已知函数，则（

）A．“”是“为偶函数”的充要条件B．“在区间上单调递减”是“”的充要条件C．“在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件D．“在区间上仅当时取最大值”是“”的充分不必要条件【答案】AC【分析】根据二次函数的对称性及偶函数性质及充要条件的概念可判断A；根据二次函数单调性与充分条件、必要条件的概念判断BC，根据二次函数的最值求得，然后利用充要条件的概念可判断D.【详解】对于A，为偶函数，故选项A正确；对于B，若在区间上单调递减，则，反之，当时，，满足，但是在区间上先减后增，故“在区间上单调递减”是“”的充分不必要条件，选项B错误；对于C，若在区间上单调递增，则，由得不到，由可推出，故“在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件，选项C正确；对于D，因为在区间上仅当时取最大值，所以，故“在区间上仅当时取最大值”是“”的充要条件，选项D错误.故选：AC37．(多选)（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，下列说法正确的是（

）A．存在实数，使得为偶函数；B．存在实数，使得为奇函数；C．任意，存在实数，使得；D．若在区间上单调递减，的最大值为.【答案】BCD【分析】由题设，结合奇偶性定义确定的存在性判断A、B；写出的分段函数性质，结合二次函数性质确定函数的区间单调性，即可判断C、D.【详解】由，显然时，但不存在实数，使成立，故A错，B对；由题设，结合二次函数性质，讨论如下：时，在、上单调递增，在上单调递减；时，在、上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；所以值域可取到任意负实数，则任意，存在实数，使得，C对；由上分析，当时，则；当时，则，所以的最大值为，D对.故选：BCD38．(多选)（24-25高一上·安徽·期中）设，下列四个命题中，正确的是（

）A．当时的单调递增区间是和B．当时的图象与直线有两个交点C．在内单调递减的充要条件是D．若的最小值是零，则【答案】AC【分析】当，时，分别作出图象逐项判断即可.【详解】对于A，当时，二次函数与x轴交于点和，画出函数的图象如下：的单增区间是和，故A正确