第01讲直线的方程（高效培优讲义）（原卷版）

第01讲直线的方程目录TOC\o"12"\h\u考情探究 1知识梳理 2探究核心考点 5考点一直线的倾斜角与斜率 5考点二三点共线问题 6考点三过定点的直线与线段相交问题 6考点四直线的方程 7考点五直线与坐标轴围成的三角形问题 8考点六两直线的夹角问题 9考点七直线过定点问题 9考点八直线方程的综合应用 9三阶突破训练 10基础过关 10能力提升 11真题感知 12一、5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2025全国一卷，第7题，5分求点到直线的距离直线与圆的位置关系圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）2025天津卷，第12题，5分直线的方程圆的弦长与中点弦已知圆的弦长求方程或参数2024甲卷理科，12题，5分直线过定点问题圆的弦长与中点弦等差中项的应用2024北京卷，3题，4分求点到直线的距离由圆的一般方程确定圆心和半径2023新课标II卷，15题，5分求点到直线的距离圆的弦长与中点弦二、命题规律及备考策略【命题规律】近5年高考聚焦直线与圆的位置关系，以“求点到直线的距离”“直线方程与定点”“圆的弦长与中点弦”为核心考点，多以选择、填空题（45分）呈现，注重知识点综合（如直线与圆、直线与数列结合）。【备考策略】夯实直线、圆的公式与定理基础，强化“直线定点”“圆弦长”等问题的通法训练，精选综合题提升知识迁移能力，通过错题复盘攻克薄弱环节，同时进行限时训练提高解题效率。【命题预测】核心考点将延续，题型可能融入实际情境或新定义进行创新，考查综合运用能力，但整体难度稳定在中档，仍以基础知识和基本方法的考查为主。1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为2．直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0(3)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为.3．直线的方向向量.4.直线的点斜式方程我们把方程称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的，简称点斜式．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.5.直线的斜截式方程(1)直线l与y轴的交点(0，b)的叫做直线l在y轴上的截距．(2)把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.6.直线的两点式方程经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称．注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．7.直线的截距式方程我们把方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线，此时直线在y轴上的截距是b.注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．8.直线的一般式方程我们把关于x，y的二元一次方程(其中A，B不同时为0)叫做直线的，简称一般式．注意点：(1)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．考点一直线的倾斜角与斜率A． B． C． D．A． B． C． D．考点二三点共线问题A． B． C． D．A． B． C． D．2考点三过定点的直线与线段相交问题考点四直线的方程考点五直线与坐标轴围成的三角形问题A．12 B． C．8 D．6A．4 B．7 C．8 D．14(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．考点六两直线的夹角问题A．1 B． C． D．或1考点七直线过定点问题A．5 B．4 C．3 D．3考点八直线方程的综合应用典例1．【多选】（2526高三·广东中山）下列说法正确的是（）典例2．【多选】（2526高三·河南南阳·期中）下列说法中正确的