第07讲排列组合（复习讲义）

第07讲排列组合目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 4知能解码 4知识点1排列 4知识点2组合 5题型破译 7题型1相邻问题捆绑法 7题型2不相邻问题插空法 9题型3分组分配问题 11题型4隔板法 14题型5先选后排 16题型6分堆问题 18题型7间接法 2004真题溯源·考向感知 2205课本典例·高考素材 26考点要求考察形式2025年2024年2023年（1）排列（2）组合单选题多选题填空题解答题2024年天津卷，第11题,5分考情分析：本节内容是天津高考卷的常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象．设题稳定，难度中等偏难，分值为5分.复习目标：（1）理解排列、组合的概念．（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．（3）能利用排列组合解决简单的实际问题．

知识点1排列1.排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．排列数1.排列数的定义“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；阶乘表示式2.排列数公式的阶乘式：排列的常见类型与处理方法1.相邻元素捆绑法2.相离问题插空法3.元素分析法4.位置分析法A． B． C． D．【答案】B【分析】先由排列数确定总的基本事件个数，再分两类情况按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，或按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，讨论2号灯亮的情况，结合古典概型概率公式即可求解.故选：B知识点2组合（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.组合数及其公式1.组合数的定义：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．2．组合数公式：上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．组合数的性质组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．（3）分堆问题（4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．自主检测盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可.【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即种，符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶，即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次，故选：C．题型1相邻问题捆绑法例11由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足3和4相邻，则这样的八位数有（

）个.A．432 B．257 C．216 D．504【答案】D【分析】将3和4捆绑，由分步计数原理计算可得.故选：D.例12（2025·天津武清·模拟预测）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（

）A．24 B．48 C．144 D．240【答案】C【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解.【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法，捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法，再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法，故选：C方法技巧相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数【变式训练11】为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（

）A．120 B．360 C．180 D．90【答案】A【分析】相邻节目捆绑，然后捆绑的节目与器乐固定顺序，其余三个节目选三个位置排列，再按固定顺序插入捆绑的节目与器乐节目，再由分步乘法原理计算．【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序；歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共种排列顺序，故选：A．【变式训练12】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（

）A．3种 B．4种 C．6种 D．12种【答案】C【分析】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可.【详解】根据题意，可分成两类情况：故选：C【变式训练13】一个密码有9位，由4个自然数、3个“”、1个“”和1个“”组成，其中与不相邻，和不相邻，数字可随意排列，且数字之积为6，这样的密码有（

）.A．10200个 B．13600个 C．40800个 D．81600个【答案】B【分析】根据“2311”和“6111”分类结合组合数及排列数结合分类计数原理计算求解.【详解】根据题意，这4个自然数为“2，3，1，1”或“6，1，1，1”，简记为“2311”和“6111”．（1）对“2311”分两类：（2）对“6111”分两类：故这样的密码有13600个，故选：B．题型2不相邻问题插空法例21甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．96种【答案】C【分析】应用分类计数，及排列组合数求不相邻和元素位置有限制问题的排列方法数.故选：C例22某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（

）A．480种 B．444种 C．408种 D．360种【答案】C【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可.【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法：减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空，故选：C.方法技巧1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数【变式训练21】已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】A【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解.【详解】（i）若排在从左到右的第二个位置，则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能相邻，但这与题意矛盾，若不能排在从左到右的第三或第四个位置，故选：A.【变式训练22】（2025·天津·联考）2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有（

）A．16种 B．32种 C．48种 D．64种【答案】B【分析】应用排列组合数依次安排舍长、副舍长和1、2班同学，再应用分步乘法求不同的排法数.故选：B【变式训练23·变载体】（2025·天津·调研）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（

）A．144 B．240 C．336 D．456【答案】C【分析】根据题意，先让“雨水”和“谷雨”不相邻，再让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，分别求得不同的放置方式，结合间接法，即可求解.故选：C.题型3分组分配问题例31（2025·全国·模拟预测）已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】D【分析】根据题意先将4位学生分成三组，再分配到A、B、C三地学习，根据分步乘法计数原理即可求解．【详解】根据题意，先从4人中选2人组成一组，有种方法，然后将3组学生分配到A、B、C三地学习，有种方法，故选：D．例32某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作.每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（

）A．300种 B．90种 C．240种 D．150种【答案】D【分析】利用先分组后分配原则来进行求解即可.故选：D.方法技巧分组问题与分配问题Ⅰ：将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题.分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组.将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题.分配问题共分为2类：定额分配、随机分配.区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配.Ⅱ：分组问题的常见形式及快速处理方法①非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是否分完，其分法种数为：如：6个不同的球分为3组，且每组数目不同，有多少种情况？如：6个不同的球分为3组，且每组数目相同，有多少种情况？A．1080 B．1560 C．2640 D．3960【答案】B【分析】根据分类加法计数原理和部分平均分组计数方法计算即得.故选：B.【变式训练32】（2025·全国·模拟预测）2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．25200【答案】B【分析】先分组后分配，分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式，再结合排列组合数计算即可.【详解】分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式．故选：B．【变式训练33】某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（）A．60种 B．90种 C．120种 D．150种【答案】D【分析】先将论文分成3组，再分配给专家.因此总计种分配方式.故选：D题型4隔板法A．组 B．组 C．组 D．组【答案】C【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可.【详解】原题等价于下面这个问题：将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法?故选：C例4220个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（

）A．120 B．240 C．300 D．360【答案】A【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数.【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球，将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，故选：A方法技巧隔板法：解相同元素的组合问题相同元素的组合问题，即有若干组元素，每组元素相同，将这些元素排成一排的计数问题典型问题：相同小球放入不同盒中，即个相同元素分成组（每组的任务不同）的问题.A．171 B．190 C．342 D．380【答案】A【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解.【详解】因为x，y，z均为正整数，故选：AA．50组 B．58组 C．60组 D．66组【答案】B由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法，故选：B.A． B． C． D．【答案】B所以题中所求概率为，故选:B.题型5先选后排A．32 B．24 C．20 D．36【答案】A对于第一类：3必须居下面，7必须居上面，同理第二类有16种排列方法，故共有32种起伏排列.故选：A.例52甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（

）A．12 B．18 C．27 D．36【答案】B【分析】根据题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况，分别求出各种情况的种类数，从而可求解.【详解】由题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况：故选：B.方法技巧先选后排问题作倍缩放：将题干给定的总数都看成某一个独立的个体（不相同的），进行全排列故为，其次再将有顺序要求的个元素进行全排列个，其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数为。【变式训练51】现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有（

）A．36种 B．42种 C．48种 D．60种【答案】D【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数.所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，故选：D.【变式训练52】甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（

）A．96种 B．100种 C．108种 D．120种【答案】B【分析】先安排甲，再将剩余的2人进行排列，得到答案,故选：B【变式训练53】某校安排高一年级（1）~（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法种数为（

）A．24 B．36 C．60 D．240【答案】C【分析】根据只有高一（1）班被安排到A基地与还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地两种情况，结合排列组合知识求解即可.故选：C.题型6分堆问题例61某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4套，另两堆每堆2套，则不同的分堆方法种数为（

）【答案】C【分析】根据部分均分问题求解即可.故选：C．例62（2025·天津河东·一模）已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【答案】(1)15(2)60【分析】直接利用排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”的计算方法计算即可.【详解】（1）6本书平均分成3堆，（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，方法技巧【变式训练61】将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有种．【答案】25【详解】故答案为：【变式训练62】现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球.(1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；(2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；(3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.【答案】(1)576(2)40(3)490【分析】（1）排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法；（2）按照分类分步计数原理，结合组合数公式计算；（3）由每堆球数，分类计数，每类再分步完成.【详解】（1）先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种方法；接着将4个黑球看成是1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法；最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法.（2）从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2，（3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3；【变式训练63】已知有9本不同的书．(1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）【答案】(1)280(2)1260【分析】（1）根据平均分堆即可由排列组合求解，（2）根据不平均分堆即可由排列组合求解.题型7间接法例71（2025·天津·模拟预测）江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4种特色美食，每天至少选择一种（4种美食不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序），游客三天后恰好品尝完这4种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为（）A．24种 B．36种 C．42种 D．48种【答案】B【分析】由题知，4种美食的分配给3天的分配方案为2,1,1，再根据分组分配原理及部分平均分配问题可得不同选法.【详解】根据题意，4种美食的分配给3天的分配方案为2,1,1，故选：B.例72春节期间，小明要将封面分别写有“福”“禄”“寿”“喜”的四个红包分给甲、乙、丙三位亲友，要求每位亲友至少得到一个红包，且红包全部分配完，若“福”字红包不能分给甲，那么不同的分法共有（

）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种【答案】B【分析】分成两种情况：甲分得除写有“福”的另外两个红包和甲分得除写有“福”的另外一个红包计算即可.【详解】按照题意，可以分为两类.故选：B.方法技巧正难则反排除处理：对于正面不好解决的排列、组合问题，考虑反面(取补集的思想)，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。【变式训练71】某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（

）A．120 B．150 C．240 D．300【答案】B【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5天分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3人由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5天分成3组故选：B．【变式训练72】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（

）A．105种 B．455种 C．120种 D．560种【答案】A【分析】采用隔板法分析，取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，再结合组合数计算可得.【详解】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额，则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等．故选：A.【变式训练73】学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】将四名学生分为三组，再将这三组学生分配给三个项目即可，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】将四名学生分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组学生分配给三个项目即可，故选：B.(1)求，的通项公式；（ii）求所有元素之和．由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：…综上所述，中的所有元素之和为2．（2004·天津·高考真题）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛(1)求所选3人都是男生的概率；(2)求所选3人中恰有1名女生的概率；(3)求所选3人中至少有1名女生的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出3人都是男生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果；（2）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出所选3人中恰有1名女生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出所选3人中至少有1名女生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果.3．（2004·天津·高考真题）从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个.（用数字作答）【答案】198【分析】题目要求得到能被5整除的数字，注意0和5的排列，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，根据分步计数原理得到结果．4．（2006·天津·高考真题）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有个（用数字作答）．【答案】24【分析】对末位数字讨论，再结合排列知识求解即可.故答案为：24.5．（2008·天津·高考真题）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有种（用数字作答）．【答案】432【详解】数字之和为10的情况有4，4，1，1、4，3，2，1、3，3，2，2．6．（2008·天津·高考真题）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有A．1344种 B．1248种 C．1056种 D．960种【答案】B1．填空：（1）甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程，从5门课程中，甲选修2门，乙选修4门，丙选修3门，则不同的选修方案共有种．（2）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有种．（3）4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名教师，则不同的分配方案共有种．（4）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有种．（5）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有种．【分析】（1）应用分步计数，及组合数求不同的选修方案数；（2）应用分步分类计数，及组合、排列数求牌照号码数；（3）应用不平均分组，及组合、排列数求不同的分配方案数；（4）应用插空法，及组合、排列数求不同的站法数；（5）应用特殊元素法，及分步计数、组合、排列数求不同的排法数；2．从5位同学中选3位排成一列，共有多少种不同的排法？【答案】60种【分析】根据给定条件，利用排列的意义列式计算作答.【详解】从5位同学中选3位排成一列，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，3．某晩会要安排3个歌唱节目（记为A、B、C）和2个舞蹈节目（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法？【答案】72【分析】根据捆绑法与插空法求解.【详解】分成两步来完成：第一步，先确定3个歌唱节目的先后顺序（不考虑舞蹈节目），总共有种排法；第二步，歌唱节目的先后顺序确定之后，舞蹈节目共有种排法4．某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？【答案】132【分析】根据题意可得比赛场次等于从12个对象中取出2个的排列数，计算即可得出结果.【详解】如果把每一场比赛都看成主场队在前、客场队在后的一个排列，则不难看出，所求比赛数等于从12个对象中取出2个的排列数，即5．从1，3，5，7，9中任取两个数字，从2，4，6，8中任取三个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？【答案】4800个【分析】利用排列组合公式计算即可得出结论.【详解】从前5个数中选取2个数字共有种选法;从后4个数中选取3个数字共有种选法;可以组成4800个没有重复数字的五位数.6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，问：(1)能够组成多少个五位偶数？【答案】(1)(2)【分析】（1）对个位数进行分类讨论，若个数为零，其它四个数字全排列；若个位数为2,4，其首位数字不能为0，再从剩余4个数字中任选3个数排在中间即可；一位数有5个；7．4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．(1)男生和女生均相邻；(2)男生均相邻；(3)女生均不相邻；(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；(5)至少有两个女生相邻．【答案】(1)288(2)576(3)1440(4)144(5)3600【分析】（1）利用相邻问题捆绑法，即可求出结果；（2）利用相邻问题捆绑法，再把男生当成一人，与女生全排即可求出结果；（3）先排男生有种，再利用不相邻问题插空法即可求出结果；（4）先排男生有种，再把女生插入3个空格处即可求出结果；（5）分两类：一类3个女生全相邻，二类是恰有2个女生相邻，分别求出两类的站法种数，再利用分类计算原理即可求出结果.8．判断下列问题是排列问题还是组合问题．(2)某高铁线上有5个车站，则这条高铁线上共需准备多少种二等座车票？有多少种不同的二等座火车票价？（往返票价一致）(3)从2，3，5，7，9中任取两个不同的数做乘法，其结果有多少种？若任取两个不同的数做除法，其结果有多少种？【答案】(1)组合问题(2)车牌属于排列问题，票价属于组合问题(3)做乘法属于组合问题，做除法属于排列问题【分析】（1）从集合中元素的性质得到答案；（2）分析有无顺序问题，从而作出判断；（3）乘法满足交换律，除法不满足交换律，从而作出判断.【详解】（1）子集中元素具有无序性，故属于组合问题；（2）二等座车票上出发地和目的地有顺序，故属于排列问题，二等座火车票价（往返票价一致），无顺序问题，为组合问题而乘法满足交换律，故做乘法属于组合问题，除法不满足交换律，故做除法属于排列问题.9．3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？(1)男生